1、第 1 页 共 19 页 2019-2020 学年江西省新余市高一下学期期末数学（理）试题学年江西省新余市高一下学期期末数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1已知已知0a ，10b ，则有（，则有（ ） ） A 2 ababa B 2 aabab C 2 abbab D 2 ababa 【答案】【答案】D 【解析】【解析】本题根据题意先确定0ab是最大的数，再确定最小的数a，从而得出正确 的结论. 【详解】 解：0a，10b ， 0ab， 2 10b， 2 0aba ， 2 ababa . 故选：D. 【点睛】 本题考察不等式的基本性质，是基础题. 2下列四式不能化简为下列四式不能化简为AD
2、的是（的是（ ） ） AMB ADBM B()()ADMBBCCM C()ABCDBC DOC OA CD 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据向量的加法和减法运算，结合排除法，即可得答案； 【详解】 对 B，()()ADMBBCCMADMBBCCMAD，故 B 正确； 对 C，()ABCDBCABBCCDAD，故 C 正确； 对 D，OC OA CDACCDAD ，故 D 正确； 故选：A. 【点睛】 本题考查向量加法和减法的运算，求解时注意向量减法起点要相同. 第 2 页 共 19 页 3(2015 新课标全国新课标全国理科理科) oooo sin20 cos10cos160 sin1
3、0 = A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】原式= oooo sin20 cos10cos20 sin10 = o sin30= 1 2 ，故选 D. 【考点】本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 4 已知向量已知向量a、b满足满足| 1a ，| 2b ， 向， 向量量a，b的夹角为的夹角为 3 ， 则， 则|2|ab的值为 （的值为 （ ） A4 B3 C2 D3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据数量积定义，可知 1a b ，再根据 22 |2|44abaa bb rrrrrr ，即可 求出结果. 【详解】 | 1a ，| 2
4、b ，且向量a，b的夹角为 3 ， 1a b ， 22 |2|444442abaa bb . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积的应用，属于基础题. 5已知等差数列已知等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，若，若 2 3a ， 6 11a ，则，则 7 S （ （ ） A91 B 91 2 C98 D49 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由等差数列的性质可得 1726 14aaaa，再利用等差数列前n项和公式 求解即可 【详解】 由等差数列的性质可得 1726 14aaaa， 第 3 页 共 19 页 17 7 77 14 49 22 aa s . 故选：D.
5、【点睛】 此题考查等差数列的性质的应用，考查等差数列前n项和公式的应用，属于基础题 6 已知在已知在ABC中， 点中， 点M在边在边BC上， 且 上， 且 2BCCM ， 点， 点E在在边边AC上， 且上， 且 1 2 AEEC， 则向量则向量EM （ ） A 11 23 ACAB B 11 62 ACAB C 11 26 ACAB D 13 62 ACAB 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据平面向量的线性运算得EM ECCM ，由此可求出答案 【详解】 解： 2BCCM ， 1 2 AEEC， 11 22 CMCBABAC， 2 3 ECAC， 11 62 EMECCMACAB， 故选
6、：B 【点睛】 本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题 7已知函数已知函数 ( )sin()0,0,| 2 f xAxA 的部分图象如图所示，则的部分图象如图所示，则 3 f （ ） 第 4 页 共 19 页 A 1 2 B1 C 2 D3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由函数( )sin()f xAx的部分图象知，2A， 182 233 T ，解得 2 4T ， 从而求出 1 2 ，又根据 212 2sin2 323 f ，求得 6 ，即可求得 1 ( )2sin 26 f xx ，代入即可得解. 【详解】 由函数( )sin()f xAx的部分图象知， 2A， 182 233 T
7、 ，解得 2 4T ， 1 2 ； 又 212 2sin2 323 f ， 可得 12 2 232 k ，Zk， 解得2 6 k ，Zk， | 2 ，可得 6 ， 1 ( )2sin 26 f xx ， 1 2sin2sin3 32363 f . 故选：D. 【点睛】 本题考查了利用三角函数的图像求三角函数的解析式，考查了振幅、周期等基本量所对 第 5 页 共 19 页 应的图像中元素，考查了数形结合，计算量不大，属于基础题. 8设设 x、y满足约束条件满足约束条件 70 310 350 xy xy xy ，则，则 z2xy的最大值为（的最大值为（ ） A10 B8 C3 D2 【答案】【答案
8、】B 【解析】【解析】 作出可行域， 将 z2xy 变形成关于y的一次函数， 得2yxz， 再根据z 为截距，结合可行域求最值即可 【详解】 作出可行域如图，z2xy 变形得2yxz，作直线 l：y2x，平移直线 l，当经过 可行域内的点 A时，z 取最小值，z取最大值， 由 310 70 xy xy 解得 5 2 x y A(5，2)，zmax2 528， 故选：B 【点睛】 本题考查由可行域求目标函数的最值，正确作图是解题关键，属于基础题 9 已知函数已知函数 ( )sinf xxx ，xR， 则， 则 4 f ，(1)f及及 3 f 的大小关系是 （的大小关系是 （ ） A (1) 43
9、 fff B(1) 34 fff C (1) 34 fff D(1) 34 fff 【答案】【答案】C 【解析】解析】先利用定义判断函数的奇偶性，再求导判断函数的单调性，即可比较大小. 【详解】 第 6 页 共 19 页 因为 sinf xxx， sinsinfxxxxxf x， 所以 f x是偶函数， 所以 44 ff ， 又0, 2 x 时， 得sincos0yxxx ， 所以此时函数是增函数， 所以(1) 43 fff . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性比较大小的问题.属于中档题. 10已知已知 3 sin 63 ，则，则 2 cos2 3 的值为（的值为（
10、 ） A 1 9 B 1 9 C 1 3 D 1 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由诱导公式得 3 cos 33 ，再由余弦的二倍角公式即可得解. 【详解】 由题意 3 sinsincos 62333 a ， 则 2 2 231 cos2cos22cos121 33333 . 故选：C. 【点睛】 本题考查了诱导公式及余弦的二倍角公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 11设函数设函数( )3sin x f x m ，函数，函数( )f x的对称轴为的对称轴为 0 xx，若存在，若存在 0 x满足满足 第 7 页 共 19 页 2 22 00 xf xm ，则，则m的取值范围为（
11、的取值范围为（ ） A(, 6) (6,) B(, 4)(4,) C( , 2)(2,) D(, 1) (1,) 【答案】【答案】C 【解析】【解析】对函数进行求导，根据极值的定义得到等式，结合特殊角的正弦值、余弦值、 二次函数的性质、解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【详解】 由函数( )3sin x f x m ，函数( )f x的对称轴为 0 xx， 可得 0 2 x k m ，Zk， 即有 0 1 2 xkmm， 0 3f x ， 则存在 0 x满足 2 22 00 xf xm ， 即为 2 2 1 3 2 kmmm ， 化为 2 31 3 22 mkk ， 由 31 0 22 k
12、k ，可得 31 22 k，即有整数1,0k ， 当1,0k 时， 2 3 3 4 m ， 解得2m或2m. 故选：C. 【点睛】 本题考查了极值的定义， 考查了不等式成立时求参数取值范围， 考查解一元二次不等式， 考查了数学运算能力. 12已知定义在已知定义在R上的函数上的函数 ( )sin()0,| 2 f xx 在在 1,2上有且仅有 上有且仅有 3 个零点，其图象关于点个零点，其图象关于点 1 ,0 4 和直线和直线 1 4 x 对称，给出下列结论：对称，给出下列结论： 12 22 f ； 第 8 页 共 19 页 函数函数 f x在在0,1上有且仅有上有且仅有 3 个最值点；个最值点
13、；函数函数 f x在在 35 , 24 上单调递增；上单调递增； 函数函数 f x的最小正周期是的最小正周期是 2.其中所有正确结论的个数是（其中所有正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由三角函数的图象与性质可得( )sin 3 4 f xx ，代入即可判断；令 0 3, 42 ()xkkZ ，化简即可判断；令 232, 242 kkxkZ ，化简即可判断；由最小正周期的公式即可 判断. 【详解】 函数 ( )f x的图象关于点 1 ,0 4 对称， 11 1 , 4 kkZ， 又函数 ( )f x的图象关于直线 1 4 x 对称， 22 1 ,
14、 42 kkZ ， 12 21kk ，即(21) ,nnZ， 函数( )sin()f xx在 1,2上有且仅有 3个零点， 24 ,)201( ，即24， 所以3，( )sin 3f xx， 1 0 4 f ， 3 , 4 kkZ ， 又| 2 ， 4 ，( )sin 3 4 f xx ； 对于， 3 sin 24 12 22 f ，故错误； 对于，令 0 3, 42 ()xkkZ ，则 0 1 , 31 ( 2 )Z k xk， 令 1 01 312 k ，则可取0,1,2k ， 0 1 12 x ， 5 12 ， 3 4 ，即函数 f x在0,1上有且仅有 3 个最值点，故正确； 第 9
15、页 共 19 页 对于，令232, 242 kkxkZ ， 则 1212 , 43123 kxkZk，当2k 时， 195 , 124 为 f x的一个递增区 间， 而 35195 , 24124 ， f x在 35 , 24 上单调递增，故正确； 对于，( )sin 3 4 f xx ，函数的最小正周期 22 33 T ，故错误. 综上所述，其中正确的结论的个数为 2个. 故选：B. 【点睛】 本题考查了三角函数解析式的确定及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能 力，属于中档题. 二、填空题二、填空题 132020是第是第_象限角象限角. . 【答案】【答案】三 【解析】【解析】把20
16、20写成360k,0 ,360 ,kZ ，然后判断所在的象限，则答 案可求 【详解】 20205360220 ， 2020与220角的终边相同，为第三象限角 故答案为三 【点睛】 本题考查了象限角，考查了终边相同的角，是基础题 14已知两个非零向量已知两个非零向量 1 e， 2 e不共线，若不共线，若 12 3ABee， 21 263BCee， 12 84CDee且且 A、B、D三点共线，则三点共线，则等于等于_. 【答案】【答案】2 【解析】【解析】 12 1015BDBCCDee，A，B，D三点共线可得：AB kBD ， 即 1212 31015eekeke，根据对应相等列式即可得解. 第
17、 10 页 共 19 页 【详解】 12 1015BDBCCDee， A，B，D 三点共线， 设AB kBD ，即 1212 31015eekeke， 10 153 k k ，解得2. 故答案为：2. 【点睛】 本题考查了向量共线问题及向量基本定理， 关键点是同一组基底表示的同一个向量其系 数对应相等，整体计算量不大，属于基础题. 15记记 n S为数列为数列 n a的前的前n项和，若项和，若21 nn Sa，则，则 6 a等于等于_. 【答案】【答案】32 【解析】【解析】利用 1 (2) nnn SSa n 得到数列 n a与 1n a 的递推关系，可得数列 n a是 等比数列，即可得到其
18、通项公式，则可解出 6 a的值. 【详解】 因为 n S为数列 n a的前 n项和，且21 nn Sa， 当1n 得 1 1a ； 故 11 21 nn Sa ， 得： 11 222(2) nnnnn aaaaan ， 所以数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 即： 5 6 1 232a . 故答案为：32. 【点睛】 本题考查了利用公式 1 (2) nnn SSa n 求解数列的通项公式，题目主要是公式的应 用，属于简单题，解题中需要注意的是写出 11 21 nn Sa ，利用公式得到数列项与项 之间的递推关系. 16当当取遍所有值时，直线取遍所有值时，直线 cossin42s
19、in 4 xy 所围成图形的面积所围成图形的面积 第 11 页 共 19 页 为为_. 【答案】【答案】16 【解析】【解析】先化简直线的方程为cossin4sincos0 xy，设点( , )A a b， 则点 A得到直线的距离为 22 |(1)cos(1)sin4| sincos ab d ，当1a ，1b时， 4d ，即得解. 【详解】 直线方程为cossin4sincosxy， 即：cossin4sincos0 xy 设点( , )A a b，则点 A 得到直线cossin4sincos0 xy的距离为 d， 则 22 |(1)cos(1)sin4| sincos ab d ， 当1a
20、 ，1b时，4d . 根据直线与圆相切时，圆心到直线的离等于半径得： 这些直线所围成的图形为以1,1为圆心，4为半径的圆， 所以围成图形的面积为16. 故答案为：16. 【点睛】 本题主要考查点到直线的距离的计算，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平. 三、解答题三、解答题 17已知角已知角的终边过点的终边过点 3,4P . （1）求）求 tan sin()cos 2 的值；的值； （2）若）若为第三象限角，且为第三象限角，且 3 tan 4 ，求，求cos(2)的值的值. 【答案】【答案】 （1） 5 6 ； （2） 4 5 . 【解析【解析】 （1）首先分别求出s
21、in，cos，tan，然后利用诱导公式化简式子，代 入数值计算； 第 12 页 共 19 页 （2）由已知为第三象限角，且 3 tan 4 ，求出的正弦和余弦值，求出2的正 弦和余弦值，利用两角差的余弦公式解答. 【详解】 解： （1）因为角的终边过点3,4P ， 所以 4 sin 5 =， 3 cos 5 ， 4 tan 3 ， 所以 4 tantan5 3 4 2sin6 2sin()cos 52 . （2）因为为第三象限角，且 3 tan 4 ， 所以 3 sin 5 ， 4 cos 5 . 由（1）知， 24 sin22sincos 25 ， 2 7 cos22cos1 25 ， 所以
22、cos(2)cos2 cossin2 sin 742434 2552555 . 【点睛】 本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，诱导公式，考查运算能力，是中档题. 18如图，在如图，在ABC中，已知中，已知2AB ，4AC ，60BAC，D为线段为线段 BC中点，中点， E为线段为线段 AD中点中点. （1）求）求AD BC 的值；的值； （2）求）求EB，EC夹角的余弦值夹角的余弦值. 第 13 页 共 19 页 【答案】【答案】 （1）6； （2） 5 217 . 【解析】【解析】 （1）建立坐标系，求出相关向量，利用向量的数量积求解即可. （2）求出EB，EC的坐标，利用向量的数量积求解
23、两个向量的夹角. 【详解】 解： （1）依题意可知ABC为直角三角形， 2 3BC ，如图建立坐标系： 则(0,0)B，(0,2)A，(2 3,0)C， 因为 D为 BC的中点，故 () 3,0D， 3, 2AD ，2 3,0BC ， 3 2 36AD BC. （2）由 E 为线段 AD 中点可知 3 ,1 2 E ， 3 , 1 2 EB ， 3 3 , 1 2 EC ， cos, | EB EC EB EC EB EC 22 22 33 3 1 1 5 22 217 33 3 ( 1)( 1) 22 . 【点睛】 此题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求解向量的夹角，属于基础题 19已
24、知等差数列已知等差数列 n a，公差，公差0d ，前，前n项和为项和为 n S， 3 6S ，且满足，且满足 31 aa ， 2 2a， 8 a成等比数列成等比数列. 第 14 页 共 19 页 （1）求）求 n a的通项公式；的通项公式； （2）设）设 2 1 n nn b aa ，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n T的值的值. 【答案】【答案】 （1） n an； （2） 311 42(1)2(2) n T nn . 【解析】【解析】 （1）直接由已知条件列关于首项和公差的方程组，求解后得 n a的通项公式； （2）把数列 n a的通项代入 2 1 n nn b aa ，由裂项
25、相消法求数列 n b的前 n 项和 n T的 值. 【详解】 解： （1）由 3 6S ， 31 aa ， 2 2a， 8 a成等比数列，得 1 2 11 336 427 ad add ad ，即 1 22 11 2 2350 ad aa dd ， 解得： 1 10 3 4 3 a d 或 1 1 1 a d . 0d ， 1 1 1 a d . 1 (1)1 1 (1) n aandnn ； （2） 2 111 11 (2)22 n nn b aan nnn . 12 11111111 1 2324352 nn Tbbb nn 1111311 1 221242(1)2(2)nnnn . 【点
26、睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，裂项求和，属于中档题目. 20已知已知 O为坐标原点，为坐标原点，(cos ,1)OAx，(2cos , 3sin2 )OBx x，xR，若，若 f xOA OB . 第 15 页 共 19 页 （1）求函数）求函数 f x的最小正周期和单调递增区间；的最小正周期和单调递增区间； （2）设）设 1 ( ) 28 g xfx ，求函数，求函数 yg x在在 5 , 12 12 上的最小值上的最小值. 【答案】【答案】 （1）, 36 kkkZ ； （2）2. 【解析】【解析】 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简化简的解析式，然
27、后求 解周期与单调区间即可； （2）化简函数的解析式，通过变量的范围求解函数的最值即可. 【详解】 （1）由题意(cos ,1)OAx，(2cos , 3sin2 )OBxx，xR， 所以 2 ( )2cos3sin2cos23sin21f xxxxx 2sin 21 6 x ， 所以函数 ( )f x的最小正周期为 2 T 2 ， 由222 262 kxk ，kZ， 得 36 kxk ，kZ， 所以 f x的单调递增区间为 , 36 kk ，kZ， （2）由（1）得( )2sin 21 6 f xx ， 5 ( )2sin1 12 g xx ， 5 , 12 12 x ， 55 , 1236
28、 x ， 当 5 12 5 6 x ，即 5 12 x 时， g x有最小值， 且 min 55 ( )2sin12 126 g xg ， 函数 yg x在 5 , 12 12 上的最小值为 2. 【点睛】 第 16 页 共 19 页 本题考查了利用辅助角公式求三角函数解析式，考查了正弦型三角函数的周期、单调区 间以及最值问题，是三角函数基本性质的运算，整体计算量不大，属于基础题. 21已知函数已知函数 2 ( )2 sin ()0,0,| 2 f xbaxa 满足如下条件：满足如下条件：函函 数数 ( )f x的最小值为 的最小值为3，最大值为，最大值为 9； 1 3 2 f 且且 10f；
29、若函数若函数 ( )f x在区间 在区间 ,m n上是单调函数，则上是单调函数，则n m 的最大值为的最大值为 2.试探究并解决如下问题：试探究并解决如下问题： （1）求）求 f x的解析式；的解析式； （2）设）设 1 x， 2 x是函数是函数 f x的零点，求的零点，求 12 tan 4 xx 的取值集合的取值集合. 【答案】【答案】 （1）( )6sin3 24 f xx ； （2）23, 1,23. 【解析】【解析】 （1）由题意利用三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，求得 f x的解析式. （2） 由题意利用正弦函数的图象和性质， 求得 12 4 xx 的值， 可得 12 tan 4
30、 xx 的 取值集合. 【详解】 解： （1）因为0a， 2 0sin ()1x， 所以， max ( )9f xb， min ( )23f xba ， 所以9b，6a. 所以， 2 ( )9 12sin ()961 cos(22 )f xxx 36cos(22 )x. 因为，若 ( )f x在区间 ,m n上是单调函数， 则nm的最大值为 2，所以2 2 T ， 所以4T ，所以 2 2 2T ，即 4 ， 所以( )6cos23 2 f xx . 第 17 页 共 19 页 因为 1 3 2 f ，所以cos20 4 . 因为| 2 ，所以 8 ，或 3 8 . 10f，所以， 3 8 .
31、 所以， 3 ( )6cos36sin3 2424 f xxx . （2）令 0f x ，则 1 sin 242 x ， 所以，函数 f x的零点都满足： 2() 246 xkkZ ，或2() 246 xkkZ . 因为 1 x， 2 x是函数 f x的零点， 所以 12 2 223 xxk 或2()kkZ， 即 12 412 xxk 或 3 4 k 或 5 () 12 kkZ . 故 12 tan 4 xx 的值的集合为23, 1,23. 【点睛】 本题考查了利用三角函数的图象和性质求解析式，考查了三角函数图象的综合应用，属 于中档题. 22将函数将函数 ( )cos4f xx 的图象向右平
32、移的图象向右平移 4 个单位，再将所得的图象上每一点个单位，再将所得的图象上每一点的纵的纵 坐标不变，横坐标伸长为原来的坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍后所得到的图象对应的函数记作倍后所得到的图象对应的函数记作 g x . （1）在）在ABC中，三个内角中，三个内角, ,A B C且且ABC，若，若 C角满足角满足 1g C ，求，求 coscosAB的取值范围；的取值范围； （2）已知常数）已知常数R， * nN，且函数，且函数 ( )( )sinF xg xx 在在0,n内恰有内恰有 2021 个零点，求常数个零点，求常数 与与n的值的值. 【答案】【答案】 （1）(1,2)； （2）
33、1 ，1347n . 【解析】【解析】（1） 首先利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式， 第 18 页 共 19 页 进一步求出函数的取值范围. （2）利用函数的图象和函数的零点的关系进一步进行分类讨论，最后求出参数的值 和 n的值. 【详解】 解： （1）函数( )cos4f xx 的图象向右平移 4 个单位， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2倍后所得到的图象. 可知 ( )cos2g xx. 因为( )1g C ，所以90C ， 90AB，cossinBA， coscoscossin2sin 4 ABAAA . 因为ABC，所以0, 4 A
34、 ， 所以, 44 2 A ， 2 sin,1 42 A ， 所以coscosAB的取值范围为(1,2). （2）依题意， 2 ( )cos2sin2sinsin1F xxxxx ， 当0时，( )cos2F xx， 则( )F x在0,n内的零点个数为偶数个，故0， 令( )0F x ，sin 1,1tx ， 得 2 210tt ， 2 80 ， 二次方程 2 210tt 必有两不等实根1t、 2 t， 由于 1 2 1 2 t t ，则 1 t、 2 t异号， （i）当 1 01t且 2 01t时， 方程 2 2sinsin10 xx 在 * 0,nnN 根的个数为偶数个，不合乎题意； （
35、ii）当 1 1t ，则 2 1 0 2 t，当(0,2 )x时， 关于x的方程 2 2sinsin10 xx 在(0,2 ) 上有三个根， 第 19 页 共 19 页 由于2021 3 673 2 ，则n为奇数 则 1 312021 2 n ， 解得： 4043 3 n ，由于不是整数，故舍去. （iii）当 1 1t 时，则 2 1 0 2 t，当(0,2 )x时， 关于x的方程 2 2sinsin10 xx 在(0,2 ) 上有三个根，且n为奇数， 1 322021 2 n ，解得1347n . 此时， 2 2 ( 1)( 1) 1 10 ，得1 . 综上所述：1 ，1347n . 【点睛】 本题考查三角函数的平移变换，恒等变换，三角函数性质等，考查分类讨论思想和数学 运算能力，是难题.
