1、第 1 页 共 16 页 2019-2020 学年江苏省镇江市高一下学期期末数学试题学年江苏省镇江市高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1已知已知aR，复数，复数 1 2zai i i （i为虚数单位）为实数，则为虚数单位）为实数，则a（ ） A1 B1 C2 D2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】求出 1 221zai iai i ，再由 z 是实数，能求出 a. 【详解】 解： 1 2zai i i （i为虚数单位）为实数， 2 2 1 2221 i zai iaiiai ii ， 10a ，解得1a . 故选：A. 【点睛】 本题考查实数值的求法，考查复数定义、运算法则等基
2、础知识，考查运算求解能力，属 于基础题 2已知直线已知直线l经过经过( 2, 1), (1, 3 1)AB 两点，则两点，则直线直线l的倾斜角是的倾斜角是( ) A30 B60 C120 D150 【答案】【答案】A 【解析】【解析】求出直线的斜率，根据斜率得倾斜角 【详解】 由题意直线的斜率为 3 1 ( 1)3 1 ( 2)3 k ，倾斜角为30 故选：A 【点睛】 本题考查直线的倾斜角，可先求出斜率根据斜率是倾斜角的正切值求出倾斜角 3 已知已知 (3,2),( 2,3),(4,5)ABC ， 则， 则 ABC的的BC边上的中线所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为( ) A 10
3、xy B 10 xy C 50 xy D50 xy 【答案】【答案】C 第 2 页 共 16 页 【解析】【解析】求出BC中点坐标，由两点式写出直线方程，再化为一般式 【详解】 由题意边BC的中点为(1,4)D，中线AD方程为 23 421 3 yx ，整理得 50 xy 故选：C 【点睛】 本题考查求直线方程，直线方程有多种形式，可根据条件用相应形式写出直线方程，然 后整理为一般式 4已知椭圆已知椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）过点）过点 4,0，则实数，则实数 a的值为（的值为（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】【答案】B 【解析】【解析】将椭圆过的点的坐标代入可得a的值
4、【详解】 解：因为椭圆过4,0，所以 2 16 1 a ，0a，所以4a， 故选：B. 【点睛】 本题考查椭圆的性质，属于基础题 5如图，在高速公路建设中，要确定隧道如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的 的长度，工程人员测得隧道两端的 A，B 两点到两点到 C点的距离分别为点的距离分别为3kmAC ，4kmBC ，且，且60ACB，则隧道，则隧道AB长度长度 为（为（ ） A2 2km B11km C2 3km D13km 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用余弦定理，不难求出AB的长，即隧道的长. 【详解】 解：在ABC中， 第 3 页 共 16 页 由已
5、知得3kmAC ，4kmBC ，且60ACB， 故 222 2cosABACBCAC BCACB 22 3423 4cos60 13，故13AB . 故选：D. 【点睛】 本题考查余弦定理在实际问题中的应用，属于基础题 6 在在ABC中， 点中， 点 D 为为AC的中点， 点的中点， 点 E在线段 在线段BC上， 且上， 且3BCBE， 则， 则DE uuu r （ ） A 52 63 ACAB uuu ruuu r B 12 63 ACAB uuu ruuu r C 5 6 ACAB uuu ruuu r D 54 63 ACAB uuu ruuu r 【答【答案】案】B 【解析】【解析】直
6、接利用平面向量的线性运算以及三角形法则求解即可. 【详解】 如图所示： 在ABC中，点 D 为AC的中点，点 E 在线段BC上，且3BCBE， 则 1 2 DEDAAEACABBE uuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruur ， 1111 2323 ACABBCACABACAB uuu ruu u ruuu ruuu ruu u ruuu ruu u r 12 63 ACAB uuu ruu u r 故选：B. 第 4 页 共 16 页 【点睛】 本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量的基本定理的应用，属于基础题. 7已知椭圆已知椭圆 22 :1 169 xy C的左、右焦
7、点分别为的左、右焦点分别为 12 FF、，过，过 2 F的直线交椭圆的直线交椭圆C于于 PQ、两点，若两点，若 1 FP 1 10FQ ，则，则PQ等于（等于（ ） A8 B6 C4 D2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】试题分析：因为直线PQ过椭圆的右焦点 2 F，由椭圆的定义，在 1 FPQ中， 11 416FPFQPQa.又 11 10FPFQ，所以6PQ ，故选 B. 【考点】椭圆的性质. 8已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 3 2 e ，过点，过点 1, 2Q的直的直 线线 1 与椭圆相交于与椭圆相交于 A，B两点，若点
8、两点，若点 Q是线段是线段AB的中点，则直线的中点，则直线 l的斜率为（的斜率为（ ） A2 或或 1 8 B2 或或 8 C 1 2 或或 1 8 D 1 2 或或 8 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由题意的离心率及 a，b，c之间的关系可得 a，b的关系，设 A，B的坐标，由 题意可得 A，B的坐标的关系，分焦点在 x，y轴两种情况讨论，将 A，B的坐标代入椭 圆的方程，作差求出AB的斜率的表达式，将坐标的关系代入求出斜率的值. 【详解】 解：由题意可得 3 2 c e a ，所以 2 2 3 4 c a ，由 a，b，c 之间的关系可得 2 2 3 1 4 b a ， 所以 2 2
9、 1 4 b a ， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由题意可得 12 1 2 xx ， 12 2 2 yy ， 因为 A，B在椭圆上， 当焦点在 x 轴上时，则 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab ，作差可得 2222 1212 22 0 xxyy ab ， 第 5 页 共 16 页 所以 2 1212 2 1212 111 428 yybxx xxayy ； 当焦点在 y 轴上时，则 22 11 22 22 22 22 1 1 yx ab yx ab 作差可得 2222 1212 22 yyxx ab ， 所以 2 1212 2 1212 1
10、42 2 yyxxa xxbyy ， 综上所述直线 l的斜率为：2或 1 8 ， 故选：A. 【点睛】 本题考查求椭圆的方程及由中点坐标作差求直线斜率的方法，属于中档题 二、多选题二、多选题 9已知向量已知向量2, 1 ,3,2 , 1,1abc rrr ，则（，则（ ） A /ab Babc Ca bc D 53cab 【答案】【答案】BD 【解析】【解析】直接计算各向量的坐标，根据向量平行、垂直、相等的概念进行验证即可 【详解】 由题意2 2( 3) ( 1)0 ，A错； 1,1 ,1 10ababcabc ，故.B正确，C 错误； 53ab rr 5(2, 1)3( 3,2)(1,1)c
11、，D 正确 故选：BD 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，考查向量平行，垂直的坐标表示，考查运算求解能力 10 点点 P在圆在圆 1 C： 22 1xy上， 点上， 点 Q在圆在圆 2 C： 22 86210 xyxy上， 则 （上， 则 （ ） APQ的最小值为的最小值为 1 BPQ的最小值为的最小值为 2 第 6 页 共 16 页 C两个圆心所在的直线斜率为两个圆心所在的直线斜率为 3 4 D两个圆的圆心所在的直线斜率为两个圆的圆心所在的直线斜率为 4 3 【答案】【答案】BC 【解析】【解析】根据配方法将圆 2 C化为标准方程，并写出两圆的圆心坐标和半径.当 1 C、P、 Q和 2
12、C按照该顺序四点共线时，PQ取得最小值，为 12 2 1CC ，代入数据进行运 算即可；而两个圆心所在的直线斜率为 303 404 ，即选项 C正确. 【详解】 解：圆 22 1: 1Cxy的圆心为0,0，半径为 1； 圆 2 C的标准方程为 22 434xy=，圆心为4,3，半径为 2. 当 1 C、P、Q和 2 C按照该顺序四点共线时，PQ取得最小值，为 22 12 2 14332CC ，即选项 B正确； 两个圆心所在的直线斜率为 303 404 ，即选项 C 正确. 故选：BC. 【点睛】 本题考查圆的一般方程与标准方程的互化、圆与圆的位置关系，考查学生的数形结合思 想、逻辑推理能力和运
13、算能力，属于中档题 11已知复数已知复数 13 22 i （i是虚数单位） ，是虚数单位） ，是是的共轭复数，则下列的结论正确的共轭复数，则下列的结论正确 的是（的是（ ） A 2 B 3 1 C 2 10 D 【答案【答案】AC 【解析】【解析】根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】 解： 13 22 i 所以 13 22 i ， 2 13313 42422 ii ，故 A 正确， 第 7 页 共 16 页 32 131313 1 222244 ii ，故 B错误， 2 1313 110 2222 ii ，故 C正确， 虚数不能比较大小，故 D错误， 故选：AC. 【点睛】 本题主要考查
14、复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关 键属于中档题 12 在在ABC中，中， a， b， c分别为角分别为角 A， B， C的对边， 已知的对边， 已知 cos cos2 Bb Cac ， 3 3 4 ABC S ， 且且3b ，则（，则（ ） A 1 cos 2 B B 3 cos 2 B C 3ac Da c3 2 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简 cos cos2 Bb Cac ，结合sin0A， 可求 1 cos 2 B ，结合范围0,B，可求 3 B ，进而根据三角形的面积公式和余 弦定理可得a c3 2 . 【详
15、解】 cossin cos22sinsin BbB CacAC ， 整理可得：sincos2sincossincosBCABCB， 可得sincossincossinsin2sincosBCCBBCAAB， A为三角形内角，sin0A， 1 cos 2 B ，故 A 正确，B错误， 0,B， 3 B ， 3 3 4 ABC S ，且3b， 第 8 页 共 16 页 3 31133 sin 42224 acBacac ， 解得3ac ， 由余弦定理得 22 22 939acacacacac， 解得a c3 2 ，故 C错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两
16、角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求 解的能力，属于中档题. 三、填空题三、填空题 13已知直线已知直线 1 l：0 xya与直线与直线 2 l：0 xy之间的距离为之间的距离为 2，则实数 ，则实数 a的值的值 为为_. 【答案】【答案】2 【解析】【解析】利用平行线之间的距离公式即可得出. 【详解】 解：由题意可得：2 2 a ，解得2a . 故答案为：2. 【点睛】 本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14圆圆 22 124xy关于直线关于直线1x 对称的圆的标准方程为对称的圆的标准方程为_. 【答案】【答案】 22 324xy 【解析】【解析】两圆
17、关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变. 【详解】 圆 22 124xy的圆心1,2关于直线1x 对称的点为3,2； 对称圆的圆心为3,2，半径为 2， 故对称圆的方程为： 22 324xy， 故答案为： 22 324xy. 第 9 页 共 16 页 【点睛】 本题主要考查考查有关圆的对称问题，属于基础题. 15在在ABC中，角中，角 , ,A B C所对的边分别为 所对的边分别为, ,a b c，且满足，且满足 2 3 sin 2 2 os 3 c A A， ， sin()4cossinBCBC，则，则 b c _ 【答案】【答案】16 【解析】【解析】试题分析：因为 2 3 sin
18、2 2 os 3 c A A，所以 3 1 cossin 3 AA，化简得 3 sin() 32 A .所以 2 3 A 又因为sin()4cossinBCBC，所以 sincoscossin6cossinBCBCBC，所以sin6cossinABC，即 222 6 2 cab ac ca ，整理得 222 2330acb .又 22222 1 2() 2 abcbcbcbc ，所以 22 250bbcc，两边除以 2 c得 2 2 ( )50 bb cc ，解得16 b c . 【考点】余弦定理. 【思路点睛】因为 2 3 sin 2 2 os 3 c A A，化简得 3 sin() 32
19、A .所以 2 3 A 又因 为sin()4cossinBCBC， 所以sin6cossinABC， 由正弦定理和余弦定理整理 得 222 2330acb .，化简可的 22 250bbcc，两边除以 2 c得 2 2 ( )50 bb cc ，即可求得 b c . 四、双空题四、双空题 16已知已知 a，bR， 123aibai，则，则a_，3abi_. 【答案】【答案】3 3 2 【解析】【解析】根据 a，bR，123aibai，利用复数相等，建立方程求出 a，b 即可得到结论. 【详解】 123aibai 第 10 页 共 16 页 1 23 b aa ， 解得 3 1 a b ， 则
20、2 2 33333183 2abii ， 故答案为： （1）3； （2）3 2 【点睛】 本题主要考查复数相等的应用以及复数的模的求法，属于基础题. 五、解答题五、解答题 17在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c，在，在 1 coscossinsin 2 bACaBCb； 1 coscossin23 cos 2 bBCcBaB； cos 2 cos bA ac B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知已知D是是BC 上的一上的一点，点，2BCBDAB，2 7AD ，6AB，若，若_，求，求ACD的面
21、积的面积. 【答案】【答案】选法见解析，面积为：6 3 【解析】【解析】分别对三个条件进行变形化简，均可得到 3 B ，然后在ABD中利用余弦 定理求出BD，再利用三角形的面积公式可得其面积. 【详解】 若选择，则 1 sincoscossinsinsinsin 2 BACABCB， 因为sin0B.所以 1 coscossinsin 2 ACAC ，即 1 cos 2 AC ， 因为BA C，所以 1 coscos 2 ACB ，即 1 cos 2 B ， 因为0B.所以 3 B . 若选择，则 2 cossin 1 ssiin 2 n23sincosCCBBAB， 即 2 sincossi
22、nsincos3sincosBCCBBAB 故sinsin3sincosBBCAB. 因为sinsin0BCA.所以sin3cosBB，所以tan3B ， 第 11 页 共 16 页 因为0B，所以 3 B . 若选择，则sincossincos2sincosBAABCB， 即sin2sincosBACB， 因为sinsin0BAC.所以 1 cos 2 B ， 因为0B，所以 3 B . 在ABD中，由余弦定理可得 222 2cosADABBDAB BDB， 即 2 28362 6 1 2 BDBD，解得4BD 或2BD . 因为26BCBDAB，所以4BD ， 因为2BCBD，所以s 11
23、 in 3 6 46 3 222 ACDABD BDSSABB . 【点睛】 此题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查了学生的计算能力，属于中档题. 18在直角坐标系中，已知四边形在直角坐标系中，已知四边形ABCD的三个顶点分别为的三个顶点分别为 5, 1A，1,1B， 2,3C . （1）证明：）证明：ABBC； （2）若四边形）若四边形ABCD为平行四边形，求点为平行四边形，求点 D的坐标以及直线的坐标以及直线AD的方程的方程. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）6,1，2110 xy. 【解析】【解析】 （1）证明 0AB BC ，即可得出结论. （2）若四边形ABCD为
24、平行四边形，可得CD BA ，OD OCBA uuu ruuu ruur .利用斜率计算 公式可得： AD k，利用点斜式即可得出直线AD的方程. 【详解】 （1）证明：4,2AB ，1,2BC ， 440AB BC uu u r uuu r ， AB BC ，即ABBC； （2）解：若四边形ABCD为平行四边形，则CD BA ， 2,34, 26,1ODOCBA uuu ruuu ruur . 第 12 页 共 16 页 点 D的坐标为6,1. 1 1 2 56 AD k ， 直线AD的方程为：126yx ，化为：2110 xy. 【点睛】 本题考查了向量垂直与数量积的关系、直线的点斜式，考
25、查了推理能力与计算能力，属 于基础题 19已知向量已知向量1,3a ， 1,3b ， ,2c . （1）若）若 3ambc ，求实数，求实数m，的值；的值； （2）若）若2abbc，求，求a与与2b c 的夹的夹角角的余弦值的余弦值. 【答案】【答案】 （1） 0 1m （2） 3 10 10 【解析】【解析】（1） 根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得m, 的值. （2） 根据向量坐标的加减法运算,可得2,ab,bc结合向量垂直的坐标关系,即可求得 的值.进而表示出2b c ,即可由向量的坐标运算求得夹角的余弦值. 【详解】 （1）由 3ambc ,得 1,3,33
26、 ,6m m , 即 13 336 m m ,解得 0 1m . （2）21,9ab,1,1bc . 因为2abbc,所以190 ,即8. 令26,8dbc, 则 303 10 10 cos 10 10 a d a d . 【点睛】 本题考查了向量的坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积 求夹角的余弦值,属于基础题. 第 13 页 共 16 页 20已知椭圆已知椭圆M与椭圆与椭圆 22 :1 95 xy N有相同的焦点，且椭圆有相同的焦点，且椭圆M过点过点 0,2. . （1 1）求）求M的长轴长；的长轴长； （2 2）设直线）设直线2yx与与M交于交于,A B两点两点
27、（A在在B的右侧） ，的右侧） ，O为原点，求为原点，求 OAOB. . 【答案】【答案】(1)4 2；(2) 4 3 . 【解析】【解析】 【详解】 【分析】试题分析： （1）根据题意，列出 22 4,2abb，求得a的值，即可得到椭 圆的长周长； （2）把直线的方程代入椭圆的方程，利用根与系数的关系得 12 ,x x，得,A B的坐标，即 可求解故OA OB . 试题解析： （1）由题意得设椭圆M的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，则 22 954,2abb， 所以 2 8a ，则的长轴长为24 2a . （2） 由 22 2 1 84 yx xy ， 得 2 380
28、xx， 解得 12 8 0, 3 xx ， 则 82 0,2 , 33 AB ， 故 4 3 OA OB . 21已知圆已知圆 C的圆心在的圆心在 x轴正半轴上，且圆轴正半轴上，且圆 C与 与 y轴相切，点轴相切，点2,4P在圆在圆 C上上. （1）求圆）求圆 C的方程；的方程； （2）若直线）若直线 l：140mxym与圆与圆 C交于交于 A，B两点，且两点，且8AB ，求实数，求实数 m的值的值. 【答案】【答案】 （1） 2 2 525xy； （2）3；m的值 7 3 或1. 【解析】【解析】 （1）由题意设圆心坐标，由圆 C与 y轴相切，可得半径，再根据点2,4P在 圆 C 上，由两点
29、间的距离公式求出参数的值，进而写出圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据圆的弦长公式 22 2ABrd求解. 【详解】 第 14 页 共 16 页 （1）由题意设圆心坐标为,0C a，0a，半径ra， 因为点 P 在圆上，所以PCr，即 22 2 204aa，0a， 解得：5a， 所以圆 C 的方程为： 2 2 525xy； （2）由（1）得圆心5,0到直线 l的距离 22 51469 1111 mmm d mm ，半 径=5r， 所以弦长 222 22 25ABrdd，即 2 82 25d ， 整理得： 2 9d ，即3d ， 所以 2 69 3 11 m m ， 整理 2 31
30、070mm， 解得： 7 3 m 或1，都符合题意， 所以 m的值 7 3 或1. 【点睛】 本题主要考查圆的方程的求法以及弦长公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中 档题. 22 如图，如图，O为坐标原点， 椭圆为坐标原点， 椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右顶点和上顶点分别为的右顶点和上顶点分别为A， B，3OAOB，OAB的面积为的面积为 1 （1）求）求C的方程；的方程； （2）若）若M，N是椭圆是椭圆C上的两点，且上的两点，且/MN AB，记直线，记直线BM，AN的斜率分别为的斜率分别为 1 k， 21 2 0kk k ，证明：，证明： 12 k k为定值为定值
31、第 15 页 共 16 页 【答案】【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）求出, a b后可得C的方程. （2）设直线MN的方程 1 2 yxm ，设 11 ,M x y， 22 ,N x y，用此两点的坐标 表示 12 k k，联立直线MN的方程和椭圆的方程后消去y，利用韦达定理可证 12 k k为 定值.也可以设 00 ,M x y，求出MN的方程后再求出N后可证 12 k k为定值. 【详解】 （1）解：由题意知， 3, 1 1, 2 ab ab 由于0ab，解得2a，1b，故C的方程为 2 2 1 4 x y （2）证明：由(1)得2,
32、0A，0,1B，直线AB的斜率为 1 2 （方法一）因为/AB MN，故可设MN的方程为 1 2 yxm 设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 联立 2 2 1 , 2 1, 4 yxm x y 消去y，得 22 2220 xmxm， 所以 12 2xxm，从而 21 2xmx 直线BM的斜率 1 1 1 11 1 1 1 2 xm y k xx ，直线AN的斜率 2 2 2 22 1 2 22 xm y k xx ， 所以 211221 12 2121 11111 111 22422 22 xmxmx xmxmxm m k k xxxx 12122121 121121 111111
33、 1221 422422 22 x xm xxxm mx xmmmxm m x xxx xx 第 16 页 共 16 页 121 121 11 1 42 24 x xx x xx 故 12 1 4 k k为定值 （方法二）设 00 ,M x y， 2 2 0 0 1 4 x y 因为/MN AB，所以MN的方程为 00 1 2 yxxy ， 联立 00 2 2 1 , 2 1, 4 yxxy x y 消去y，得 2 0000 220 xxyxx y， 解得 0 xx（舍去）或 0 2xy， 所以点N的坐标为 00 1 2, 2 yx ， 则 0 0 12 00 1 11 2 224 x y k k yx ，即 12 k k为定值 1 4 【点睛】 求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥 曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y的一元二次方程， 再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的 关系式， 该关系中含有 1212 ,x x xx或 1212 ,y yyy， 最后利用韦达定理把关系式转化为 若干变量的方程（或函数） ，从而可求定点、定值、最值问题.
