1、第 1 页 共 15 页 2019-2020 学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期末考试数学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期末考试数 学试题学试题 一、单选题一、单选题 1若角若角600的终边上有一点的终边上有一点 4,a，则，则a的值是（的值是（ ） A 4 3 3 B 4 3 3 C4 D 4 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用三角函数定义直接计算得到答案. 【详解】 根据题意得到：tan600tan603 4 a ，故4 3a . 故选：D. 【点睛】 本题考查了三角函数定义，意在考查学生的计算能力. 2已知向量已知向量(5,3),(2, )axbx ，且，且ab，则由，则由 x
2、的值构成的集合是（的值构成的集合是（ ） A2,3 B 1,6 C 2 D6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由ab，得 =0a b r r ，列方程即可求得。 【详解】 因为向量(5,3),(2, )axbx，且ab， 所以2(5)35100a bxxx，解得2x，故选 C. 【点睛】 本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题。 3如图，正方形如图，正方形OACB 的边长为的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则 它的原图形面积（它的原图形面积（ ） 第 2 页 共 15 页 A2 2 B 2 4 C2(13) D6 【答案】【答案】A
3、 【解析】【解析】由题意求出直观图中OB 的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形 的底和高，求出面积即可. 【详解】 由正方形OACB 的边长为1cm，所以 2OB ，又正方形OACB 是水平放置的 一个平面图形的直观图， 所以它对应的原图为平行四边形高为2 2 2 OB ， 底边长为 1，所以原图形的面积为1 2 2 2 2 . 故选：A 【点睛】 本题主要考查斜二测画法，属于基础题. 4已知已知0，2sin2sin ，则，则 sin 2 （ ） A 15 4 B 1 4 C 15 4 D 1 4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用二倍角公式计算余弦值，再利用诱导公式计算即可.
4、【详解】 2sin2sin，4sincossin，而0，sin0 1 cos 4 ， 1 sinsincos 224 . 故选：B. 【点睛】 本题考查了二倍角公式和诱导公式，属于基础题. 5在在ABC中，角中，角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a， ，b，c，若，若 1 cos 2 A， 3a ， 则则 sinsinsin abc ABC + + = + （ ） A 1 2 B 3 2 C 3 D2 【答案】【答案】D 第 3 页 共 15 页 【解析】【解析】 1 cos 2 A得， 3 sin 2 A ， 所以由正弦定理可知，2 sinsinsinsin a b ca ABCA ，
5、故选 D 6在在 200200 米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30 ,60 ，则塔高，则塔高 为为 ( )( ) A 200 3 m B100m C 400 3 m D90m 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由 tan30 = 200DEx BEBE 得到 BE 与塔高 x 间的关系，由 tan60 = 200 BE 求出 BE 值，从而得到塔高 x的值 【详解】 如图所示： 设山高为 AB，塔高为 CD为 x，且 ABEC 为矩形，由题意得 tan30 = 200DEx BEBE ，BE= 3（200 x） tan60
6、 = 200 BE = 3，BE= 200 3 ， 200 3 = 3（200 x），x= 400 3 （m）， 故选：A 【点睛】 这个题目考查的是解三角形在几何中的应用，应用到了直角三角形的性质，解三角形问 题的技巧：作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及 其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；它毕竟是三角变 换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三 统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口 7在直角三角形在直角三角形ABC中，角中，角C为直角，且为直角，且 2ACBC，点，点P是
7、斜边上的一个三等是斜边上的一个三等 第 4 页 共 15 页 分点，则分点，则 CPCBCPCA（ （ ） A0 0 B4 4 C 9 4 D 9 4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意可建立如图所示的坐标系： 可得 A(2,0)B(0,2), 2 4 , 3 3 P 或 4 2 , 3 3 P ， 故可得 2 4 , 3 3 CP 或 4 2 , 3 3 ，2,0 ,0,2CACB， 所以 2,00,22,2CACB， 故 2 4 ,2,24 3 3 CP CBCP CACPCBCA 或 4 2 ,2,24 3 3 CP CBCP CACPCBCA ， 本题选择 B选项. 点睛：求两
8、个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算； 利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要 注意数量积运算律的应用 8 若将函数若将函数 2sin 6 f xx 图象上各点的横坐标缩短到原来的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2（纵坐标不变） ， （纵坐标不变） ， 再向下平移一个单位得到的函数再向下平移一个单位得到的函数 g x的图象，函数的图象，函数 g x（ ） A图象关于点图象关于点 ,0 12 对称对称 B最小正周期是最小正周期是 2 第 5 页 共 15 页 C在在0, 6 上递增上递增 D在在0, 6 上最大值是上最大值是1 【答案】【答案】C
9、【解析】【解析】根据三角函数的图象变换关系求出函数 yg x的解析式，结合三角函数的 性质分别进行判断即可. 【详解】 若将函数 2sin 6 f xx 图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ， 得到函数2sin 2 6 yx 的图象， 向下平移一个单位得到的函数 yg x的图象，则 2sin 21 6 g xx ， A.20 126 ，则函数 g x关于, 1 12 对称，故 A错误， B.函数的周期 2 2 T ，故 B错误， C.当 0, 6 x 时，2, 66 2 x ，此时函数 yg x为增函数，故 C正确， D.由 C 知当 0, 6 x 时，2, 66 2 x
10、，此时函数 yg x无最大值，故 D错 误， 故选：C. 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象变换法则求出函数的解析 式，以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大. 9已知已知 ,m l是两条不同的直线， 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出 是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出 ml的所有序号是的所有序号是( )( ) , ml ； , /,/ml ； ,/ml ； , /,ml A B C D 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项即可得到结 第 6 页 共 15 页
11、果. 【详解】 m， /m 或m，又l ml，正确； m， / m ，又/l ml，正确； l ，/ l ，又m ml，正确； 在如图所示的正方体中： 11/ AD平面ABCD， 平面 11 ADD A 平面ABCD， 1 AD 平面 11 ADD A， 此时 1 AD与 11 AD不垂直，错误. 故选：A 【点睛】 本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中直线与平 面、平面与平面位置关系的相关定理. 10ABC中，若中，若sin( )sin()ABCABC ，则，则ABC必是（必是（ ） A等腰三角等腰三角形形 B直角三角形直角三角形 C等腰三角形或直角三角形等腰
12、三角形或直角三角形 D等腰直角三角形等腰直角三角形 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 结合三角形的内角和公式可得ABC，A CB， 代入已知化简 可得，sin2sin2CB，结合,B C的范围从而可得22BC或22BC，从而可 求得结果. 【详解】 ABC，A CB， sin ABC sin 2C sin2sin()CABC， sin(2 )B 第 7 页 共 15 页 sin2B， 则sin2sin2BC，BC或22BC， 即： 2 BC，所以ABC为等腰或直角三角形，故选 C 【点睛】 本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，由三角函数值寻求角的关 系，属于基础题. 11
13、已知函数已知函数 sin0 3 f xx ，若，若 f x在在 2 0, 3 上恰有两个零点，则上恰有两个零点，则 的取值范围是（的取值范围是（ ） A 5 1, 2 B 5 1, 2 C 5 ,4 2 D 5 ,4 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由题 2 0, 3 x ，所以 2 , 3333 w x ，根据 f x在 2 0, 3 上恰 有两个零点，得到 2 2 33 w 且 2 3 33 w ，即可求解，得到答案 【详解】 由题意，函数 sin()0 3 f xx ，因为 2 0, 3 x ，所以 2 , 3333 w x ， 又由 f x在 2 0, 3 上恰有两个零点， 所
14、以 2 2 33 w 且 2 3 33 w ，解得 5 4 2 w， 所以的取值范围是 5 ,4 2 ，故选 D 【点睛】 本题主要考查了三角函数的综合应用，其中解答中熟记函数零点的概念，合理应用三角 函数的图象与性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基 础题 12 如图， 在直三棱柱如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中中， 底面为直角三角形， 底面为直角三角形， 90ACB，6AC ， 1 2BCCC，点，点P是线段是线段 1 BC上一动点，则上一动点，则 1 CPPA的最小值是（的最小值是（ ） 第 8 页 共 15 页 A26 B5 2 C371 D62 【
15、答案】【答案】B 【解析】【解析】连 A1B，沿 BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内，不难看出 CP+PA1 的最小值是 A1C的连线 （在 BC1上取一点与 A1C 构成三角形，因为三角形两边和大于 第三边）由余弦定理即可求解 【详解】 连 A1B，沿 BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内， 连接 A1C，长度即是所求 直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BC CC1 2 ， 矩形 BCC1B1是边长为 2的正方形；则 BC12； 另外 A1C1AC6； 在矩形 ABB1A1中，A1B1AB 38，BB12 ，则 A1 B40； 易发现
16、 62+2240，即 A1C12+BC12A1B2， A1C1B90，则A1C1C135 故 A1C 22 111111 2 21353622 625 2 2 ACC CAC C C cos 故答案为 B. 【点睛】 本题考查的知识是棱柱的结构特征及两点之间的距离， 其中利用旋转的思想， 将CBC1 沿 BC1展开，将一个空间问题转化为平面内求两点之间距离问题是解答本题的关键 第 9 页 共 15 页 二、填空题二、填空题 13已知单位向量已知单位向量a与与b的夹角为的夹角为120，则，则 3ab rr _. 【答案】【答案】13 【解析】【解析】结合1ab rr ，a与b的夹角为120，先求
17、 2 3ab，再开方即可得3ab 的值. 【详解】 因为a与b是单位向量，所以1ab rr ， 2222 22 339696cos120abababa baba b o rrrrrrr rrrr r 1 1 96 1 113 2 ， 所以313ab. 故答案为：13 【点睛】 本题主要考查了向量的模的求法，属于基础题. 14在钝角在钝角ABC中，已知中，已知2a，4b，则最大边，则最大边c的取值范围是 的取值范围是_ 【答案】【答案】(2 5,6) 【解析】【解析】利用三角形三边大小关系、余弦定理即可得出 【详解】 因为三角形两边之和大于第三边，故6cab 222 24 cos0 2 2 4
18、c C ，解得2 5c (2 5,6)c 故答案为：(2 5,6) 【点睛】 本题考查了三角形三边大小关系、 余弦定理， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 15已知已知 ,0 22 ， 3 tan 4 ， 5 cos 13 ，则，则sin的值为的值为 . 【答案】【答案】 63 65 第 10 页 共 15 页 【解析】【解析】 【详解】 0 ，又因为 5 cos0 13 ， 所以0 2 ， 2 12 sin()1cos () 13 ， 因为 3 tan 4 ，得 3 sincos 4 代入 22 sinco 2 s1, ， 所以sin0,cos0，解得 34 sin,cos 55 ，
19、sinsin()sincos()cossin()babaabaaba=+-=-+- 3541263 51351365 ， 故答案为： 63 65 . 16已知已知ABC是等腰直角三角形，斜边是等腰直角三角形，斜边2AB ，P是平面是平面ABC外的一点，且满足外的一点，且满足 PAPBPC，120APB，则三棱锥，则三棱锥PABC外接球的表面积为外接球的表面积为_ 【答案】【答案】 16 3 【解析】【解析】P在平面ABC的投影为ABC的外心，即AB中点 1 O，设球半径为R，则 2 22 11 RCORPO，解得答案. 【详解】 PAPBPC，故P在平面ABC的投影为ABC的外心，即AB中点
20、1 O， 故球心O在直线 1 PO上， 1 1 1 2 COAB， 11 33 33 POBO， 设球半径为R，则 2 22 11 RCORPO，解得 2 3 3 R ，故 2 16 4 3 SR. 故答案为： 16 3 . 第 11 页 共 15 页 【点睛】 本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 三、解答题三、解答题 17 已知角已知角的终边与单位圆的终边与单位圆 22 1xy在第一象限交于点在第一象限交于点P， 且点， 且点P的坐标为的坐标为(3, 5 )y . （1）求）求tan的值；的值； （2）求）求 22 sin (2)cos (4) sincos
21、 的值的值. 【答案】【答案】(1) 4 3 ;(2) 7 12 . 【解析】【解析】 （1）利用三角函数的定义,建立关于y的方程,即可求得y. （2）先利用诱导公式化简,再将已知条件代入即可. 【详解】 （1）由题得 22 3 5) 1(=y,点P在第一象限所以 4 5 y ,所以 4 tan = 3 . （2） 2 22222 4 1 sin (2)cos (4)sincostan173 = 4 sincossincostan12 3 . 【点睛】 本题主要考查三角函数的坐标定义,考查同角的商数关系和诱导公式,意在考查学生对这 些知识的掌握水平和分析推理能力,难度较易. 第 12 页 共
22、15 页 18在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别是的对边分别是a， ，b，c，30B，且，且 2 sin2sin2sinaAbcBcbC. （1 1）求）求sin AC的大小；的大小； （2 2）若）若ABC的面积为的面积为3 3，求，求ABC的周长的周长. . 【答案】【答案】 （1）1； （2）4 36 【解析】【解析】 （1）由正弦定理化简已知可求 222 bcabc ，由余弦定理可得 cosA，结 合 B，可得所求 （2）利用ABC的面积可求 b=c=2 3，利用余弦定理可得 a=b，从 而求得周长 【详解】 （1）因为2 sin2sin2sinaAbcBcbC，由正弦定理可得
23、： 2 222abbcccb，整理得 222 bcabc ， 222 1 cos 22 bca A bc ，解得 120A. 又30B，所以1801203030C ，即30CB， sinsin 120301A C . （2）由（1）知bc，120A， 2 1 sin1203 3 2 b ，解得 2 3bc . 由余弦定理，得 222 1 2cos12 122 1236 2 abcbcA ，即6a. ABC的周长为4 36. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转 化思想，属于基础题 19如图，在三棱锥如图，在三棱锥ABCD中，中，BCD，ABD
24、均为边长为均为边长为 2 的正三角形的正三角形. 第 13 页 共 15 页 （1）若）若6AC ，求证：平面，求证：平面ABD 平面平面BCD； （2）若）若 2 2AC ，求三棱锥，求三棱锥ABCD的体积的体积. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 2 3 . 【解析】【解析】(1)利用线面垂直判定面面垂直即可； (2)求三棱锥的高，利用体积公式计算即可. 【详解】 取BD边中点O，连接AO，CO， BCD，ABD为边长为 2 的正三角形，BDOA，3OCOA， 222 6OCOAAC，OA OC，OCBDO，BD 面BCD， OA平面BCD， OA平面ABD，平面ABD B
25、CD. （2）BDOC，BDOA，且OAOCO，OC，OA面AOC， BD 平面AOC. 在AOC中，3OAOC， 2 2AC ， 22 1 2 2322 2 AOC S ， 112 2 22 333 A BCDAOC VSBD . 第 14 页 共 15 页 【点睛】 本题考查了面面垂直的判定和三棱锥的体积，属于中档题. 20已知函数已知函数 2 3sin cos2coscos 44 f xxxxx . （1）求函数）求函数 f x的最小正周期和图象的对称轴方程；的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数）求函数 f x在区间在区间 , 12 2 上的值域上的值域. 【答案】【答案】 （
26、1）最小正周期T ，对称轴方程为 32 k x ，kZ； （2）3,2 . 【解析】【解析】 （1）先将 f x化简，再利用周期公式以及sinyAx的性质求对称轴 即可. （2）由（1）得 2sin 2 6 f xx ，由 , 12 2 x ，求出 2 6 x 的范围，进一 步求出 sin 2 6 x ，从而可得 f x的值域. 【详解】 22 22 3sin22cossin 22 f xxxx 22 3sin2cossinxxx 3sin2cos2xx 2sin 2 6 x . （1）函数 f x的最小正周期 2 2 T ， 由 2 62 xk，得对称轴方程为 32 k x ，kZ. （2）
27、 122 x， 5 2 366 x， 由正弦函数的图象 3 sin 21 26 x ， f x的值域是3,2 . 【点睛】 本题主要考查了三角函数的周期，对称轴和值域，涉及两角和差的余弦公式，二倍角公 式，辅助角公式，属于中档题. 21在在ABC中，中， , ,a b c分别是角 分别是角, ,A B C的对边的对边()()3abc abcab. . 第 15 页 共 15 页 （1 1）求角）求角C的值；的值； （2 2）若）若2c ，且，且ABC为锐角三角为锐角三角形，求形，求2a b的范围的范围. . 【答案】【答案】 （1） 3 ； （2）0,2 3 【解析】【解析】 （1）由题结合余
28、弦定理得角C的值； （2）由正弦定理可知， 24 3 sinsin3 sin 3 ab AB ， 得 84 23sin3sin 33 abAB， 利用三角恒等变 换得 A的函数即可求范围 【详解】 （1）由题意知()()3abc abcab， 222 abcab， 由余弦定理可知， 222 cos 1 22 abc C ab ， 又(0, )C， 3 C . （2）由正弦定理可知， 24 3 sinsin3 sin 3 ab AB ， 即 44 3sin,3sin 33 aA bB， 84 23sin3sin 33 abAB 842 3sin3sin() 333 AA 8 32 3 sin2cossin 33 AAA 6 331 sin2cos4(sincos)4sin() 3226 AAAAA ， 又ABC为锐角三角形， 0 2 2 0 32 A BA ， 则 62 A 即0A 63 ， 所以， 3 0sin() 62 A 即0 4sin( -)2 3 6 A ， 综上2a b的取值范围为(0,2 3). 【点睛】 本题考查正余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，注意锐角三角形的应用，准确计算 是关键，是中档题
