1、第 1 页 共 20 页 2019-2020 学年内蒙古包头市高一下学期期末考试数学试题学年内蒙古包头市高一下学期期末考试数学试题 一、单选题一、单选题 1与直线与直线3 450 xy 关于坐标原点对称的直线方程为（关于坐标原点对称的直线方程为（ ） A3 450 xy B 3450 xy C3 450 xy D 3450 xy 【答案】【答案】D 【解析】【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线 方程，即可. 【详解】 设所求对称直线上任意一点的坐标为, x y，则关于原点对称点的坐标为, xy，该 点在已知的直线上，则3450 xy，即3450 xy.
2、故选：D. 【点睛】 本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题. 2下列命题为真命题的是（下列命题为真命题的是（ ） A若若0ab，则，则 22 acbc B若若0ab，则，则 22 ab C若若0ab，则，则 22 aabb D若若0ab，则，则 11 ab 【答案】【答案】B 【解析】【解析】取特殊值判断,A C D选项，根据不等式的性质判断B选项. 【详解】 解：A 中， 2 c 0时， 22 acbc； B 中，0ab，由性质 7 可得 22 ab； C中，令 2,1ab ，则 22 4,2,1aabb，显然 22 aabb； D中，令 2,1ab ，则 11 1 ,
3、1 2ab ，显然 11 ab . 故选：B 【点睛】 本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于基础题. 第 2 页 共 20 页 3用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（ ） ） 平行的线段在直观图中仍然平行；平行的线段在直观图中仍然平行；相等的线段在直观图中仍然相等；相等的线段在直观图中仍然相等； 相等的角在直观图中仍然相等；相等的角在直观图中仍然相等；正方形在直观图中仍然是正方形正方形在直观图中仍然是正方形 A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据斜二侧画法的
4、基本概念和作图原则，对每一个选项进行判断，即可得到结 果 【详解】 对于，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以正确； 对于，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于x轴的线段，长度不变，平行 于y轴的线段，变为原来的 1 2 ，所以错误； 对于，相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二 测画法内是45和135，所以错误； 对于，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以错误； 综上，正确的命题序号是，共 1个 故选：A 【点睛】 本题主要考查了斜二侧画法的基本概念和作图原则，是基础题 4点点 ( , )P x y在直线 在直线20 xy上，上，O是坐标原点
5、，则是坐标原点，则| |OP的最小值是（ 的最小值是（ ） A1 B2 C2 D2 2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用点到直线的距离公式，求出原点到直线20 xy的距离，即为OP的 最小值. 【详解】 原点到直线20 xy的距离为 22 0022 2 2 11 . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 5已知已知 n a为等比数列，下面结论中正确的是（为等比数列，下面结论中正确的是（ ） 第 3 页 共 20 页 A若若 13 aa，则，则 12 aa B若若 21 aa，则，则 32 aa C 132 2aaa D 222
6、 132 2aaa 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用等比数列的通项公式和性质，结合基本不等式，逐项进行判断即可 【详解】 设等比数列 n a的公比为q， 若 13 aa，则 2 11 aa q， 2 1q ， 1q ， 12 aa或 12 aa ，故 A 不正确； 若 21 aa， 则 11 a qa， 所以 2 111321 ()qqaaaaaqqa， 当0q 时， 32 aa； 当0q 时， 32 aa，故 B 不成立. 若 13 0,0aa，则 112233 2 222aaa aaa，当且仅当 13 aa，即1q 时取等号； 若 13 0,0aa， 则 1313132 2 2 (
7、) ()222a aaaa aaa， 当且仅当 13 aa ，即1q 时取等号，故 C 不正确； 因为 22222 2 1322 (2) a aaa qa q ，当且仅当 22 2 2 ()() a a q q ，即1q 时取等号， 故 D 正确. 故选：D 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质、基本不等式等知识的综合应用，解 题的关键是灵活利用基本不等式和等比数列的性质 6在在ABC中，中，sin:sin:sin7:3:5ABC ，那么这个三角形的最大角是（，那么这个三角形的最大角是（ ） A 2 B 2 3 C 4 5 D 5 6 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由正
8、弦定理，可得: :7:3:5a b c，设7 ,3 ,50ak bk ck k，易知 该三角形的最大角是角A，由余弦定理，可求出cosA，进而可求出角A. 【详解】 由正弦定理，: :sin:sin:sin7:3:5a b cABC， 设7 ,3 ,50ak bk ck k， 显然该三角形的最大角是角A， 第 4 页 共 20 页 由余弦定理，可得 222222 925491 cos 22 352 bcakkk A bckk ， 因为0,A，所以 2 3 A. 故选：B. 【点睛】 本题考查正弦、 余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算求解能力， 属于基础题. 7某几何体的三视图如图所示，
9、该几何体由一平面将正方体截去一部分后所得，则截某几何体的三视图如图所示，该几何体由一平面将正方体截去一部分后所得，则截 去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（ ） A 1 3 B 1 4 C 1 5 D 1 6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】如图，正方体截去三棱锥DABC后，所得图形为三视图所对应的几何体， 设正方体的棱长为0a a ，求出正方体的体积为V，及三棱锥DABC的体积，从 而可求出截去几何体的体积与剩余几何体的体积的比值. 【详解】 如下图，正方体截去三棱锥DABC后，所得图形为三视图所对应的几何体， 设正方体的棱长为0a a ，则正
10、方体的体积为 3 Va， 三棱锥DABC的体积为 3 111 326 Vaaaa ， 第 5 页 共 20 页 则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为 3 33 1 1 6 1 5 6 a V VV aa . 故选：C. 【点睛】 本题考查三视图，考查几何体的体积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于 基础题. 8 已知在正方体已知在正方体 1111 ABCDABC D中，中，,P Q分别为分别为 111 ,AB CC的中点， 则异面直线的中点， 则异面直线 1 BC 和和PQ所成的角为（所成的角为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】建立空间直
11、角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角. 【详解】 解：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则0,2,0C， 1 2,2,2B，2,1,2P，0,2,1Q 2,1, 1PQ ， 1 2,0,2CB 设异面直线 1 BC和PQ所成的角为，则 1 22 222 1 2 2 1 23 cos 2 21122 PQ CB PQ CB 0, 2 6 故选：A 第 6 页 共 20 页 【点睛】 本题考查利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题. 9已知点已知点 ( 4,0)A ，(3, 1)B，若直线，若直线2ykx与线段与线段AB恒有公共点，则恒有公共点，则k的取的取 值范围是（
12、值范围是（ ） A 1 1, 2 B 1 ,1 2 C 1 ,1,) 2 D 1 (, 1, 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】作出图形，直线2ykx恒过定点0,2C，求出AC、BC的斜率，由直 线2ykx与线段AB恒有公共点，可求出k的取值范围. 【详解】 直线2ykx恒过定点0,2C， 直线AC的斜率 1 201 042 k ，直线BC的斜率 2 21 1 03 k ， 当 1 2 k 或1k 时，直线2ykx与线段AB恒有公共点. 故选：D. 【点睛】 第 7 页 共 20 页 本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中等题 10已知已知01a，01b，则，则
13、22222222 (1)(1)(1)(1)abababab的最小值为（的最小值为（ ） A2 B2 2 C2 3 D4 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据两点之间的距离公式，令0,0 ,0,1 ,1,0 ,1,1 , ( , )PABaCbO，可 得 22222222 (1)(1)(1)(1),abPOabPCabPAabPB ，做出草图，再根据三角形的性质，即可求出结果 【详解】 如图，令0,0 ,0,1 ,1,0 ,1,1 , ( , )PABaCbO， 则 22222222 (1)(1)(1)(1),abPOabPCabPAabPB 可得 22222222 (1)(1)(1)(1)
14、abababab POPCPAPB， 又在PAC中，PAPCAC，在POB中，POPBOB 2 2POPCPAPBACOB 当P是AC与OB的交点时，=2 2POPCPAPBACOB， 所以2 2POPCPAPBACOB 即 22222222 (1)(1)(1)(1)abababab的最小值为2 2 故选：B 【点睛】 第 8 页 共 20 页 本题主要考查了两点间距离公式的应用，函数最值得几何意义，考查了转化思想、数形 结合思想，属于中档题 11 九章算术 中， 将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑九章算术 中， 将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥 若三棱锥ABCD为为 鳖臑
15、，鳖臑，AB 平面平面BCD，2ABBC， 2 2BD ，且三棱锥，且三棱锥ABCD的四个顶的四个顶 点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（ ） A12 B18 C24 D36 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据题意作出四个面都为直角三角形的三棱锥ABCD，并根据该三棱锥的 特点，作出满足题意的正方体，由此可知DC为该正方体的一条棱，再根据题中所给数 据，即可求出结果. 【详解】 由于在三棱锥ABCD中，AB 平面BCD，且四个面都为直角三角形，作出三棱锥 ABCD，如下图所示： 其中DCBC，DCAC，又ACBCC，所以DC 平
16、面ABC ； 又因为三棱锥ABCD四个面都为直角三角形且四个顶点都在一个正方体的顶点上， 所以该正方体如下图所示，可知DC为正方体的一条棱； 又2ABBC， 2 2BD ， 所以在Rt BCD中， 22 8 42DCBDBC ; 该正方体的表面积为 2 6224 . 故选：C. 【点睛】 第 9 页 共 20 页 本题主要考查了线面垂直关系，同时考查了对三棱锥的认识和空间想象能力，解题时要 认真审题，注意空间思维能力的培养 12已知函数已知函数 ( )yf x满足满足( )(1)1f xfx，若数列，若数列 n a满足满足 121 (0)(1) n n afffff nnn ， 则数列， 则数
17、列 n a的前的前 10 项和为 （项和为 （ ） A 65 2 B33 C 67 2 D34 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据( )(1)1f xfx，并结合倒序相加法可求出 1 2 n n a ，再利用等差 数列求和公式得到答案. 【详解】 函数( )yf x满足( )(1)1f xfx， 121 (0)(1) n n afffff nnn ， 121 (1)(0) n nn afffff nnn ， 由+可得2 1 n an， 1 2 n n a ， 所以数列 n a是首项为 1，公差为 1 2 的等差数列，其前 10项和为 101 10 1 652 22 . 故选：A. 【点睛
18、】 本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能 力，属于中档题. 二、填空题二、填空题 13已知实数已知实数x，y满足满足 10 1 xy xy y ，则，则 2zxy 的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】3 【解析】【解析】画出不等式组所对应的可行域，当目标函数 2zxy 过点P时，z取得最小 第 10 页 共 20 页 值，求解即可. 【详解】 画出不等式组所对应的可行域，如下图阴影部分， 当目标函数 2zxy 过点P时，z取得最小值， 联立 0 1 xy y ，解得1xy ，即1, 1P ， 所以 2zxy 的最小值为1 213 . 故答案为：3.
19、 【点睛】 本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14若关于若关于x的方程的方程 2 (1)0mxmxm没有实数根，则实数没有实数根，则实数m的取值范围的取值范围 是是 . 【答案】【答案】 1 (, 1)( ,) 3 【解析】【解析】试题分析：若,则,有实数根,故,由题设, 即,解之得或,故应填 1 (, 1)( ,) 3 . 【考点】二次不等式及解法 15 莱因德纸草书 （莱因德纸草书 （RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一 书中有这样一 道题目：把道题目：把 100 个面包分给个面包分给 5 个人，使得每个人
20、所得成等差数列，且较大的三份之和的个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的 1 7 是较小的两份之和，则最大的是较小的两份之和，则最大的 1 份为份为_. 【答案】【答案】 115 3 【解析】【解析】设每个人所得由少到多为 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a，公差为d，从而可得 第 11 页 共 20 页 11 34512 7 5 4 5510100 2 1 adad aaaaa ，进而求出 5 a即可. 【详解】 设每个人所得由少到多为 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a，公差为d， 由题意， 11 34512 7 5 4 5510100 2 1 adad
21、 aaaaa ，即 1 1 1111 220 4723dd ad aaaadad ， 整理得 1 1 220 112 ad ad ，解得 1 5 3 55 6 a d ， 所以最大的 1份为 51 555115 44 363 aad . 故答案为： 115 3 . 【点睛】 本题考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 三、双空题三、双空题 16设三棱锥设三棱锥SABC的底面和侧面都是全等的正三角形，的底面和侧面都是全等的正三角形，P是棱 是棱SA的中点的中点.记直线记直线 PB与直线与直线AC所成角为所成角为， 直线， 直线PB与平面与平面ABC所成角为所成角为， 二面角，
22、二面角PACB的的 平面角为平面角为，则，则，中最大的是中最大的是_，最小的是，最小的是_. 【答案】【答案】 【解析】【解析】作出线线角，线面角，二面角，根据它们的正弦值，比较出它们的大 小关系. 【详解】 第 12 页 共 20 页 作/PD CA交SC于D，由于ABBCCA，SASBSC， 所以SABC为正三棱锥，由对称性知BDPB， 取PD中点E，连接BE，作EH 平面ABC，交平面ABC于H，连接BH， 作PF 平面ABC，交平面ABC于F，连接BF， 作PGAC，交AC于G，连接GF，所以BEPD， 由于/PD AC，所以BPD， 由于PF 平面ABC，所以PBF ， 由于PGAC
23、，PF 平面ABC，所以PGF ， 222 sin BEEHBHEHEH BPBPBPBP ， 因为/PD CA，E在PD上，EH 平面ABC于H，PF 平面ABC于F， 所以EHPF.所以sin PFEH BPBP .所以sinsin， 由于, 都是锐角，所以， 由于P在SA上，由对称性PBCP，而CPPG，则 sinsin PFPFPF PGCPBP ，由于也是锐角，所以， 由PBBG, 222 sin BEEHBHEHEHPF BPBPBPBPBP sin PF PG ，所以 综上所述，三个角中的最小角是，最大角是. 故答案为：；. 【点睛】 本小题主要考查线线角、线面角、二面角的概念，
24、考查数形结合的数学思想方法，考查 空间想象能力，属于中档题. 第 13 页 共 20 页 四、解答题四、解答题 17已知已知 0 xy ，0z，求证：，求证： （1） zz xy ； （2）()()()8xyxzyzxyz . 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】【解析】 （1）由0 xy，可得 11 yx ，结合0z，可得 zz xy ； （2）由0 x，0y ，0z，利用基本不等式可得2xyxy，2xzxz， 2yzyz，三个式子相乘，进而可证明结论成立. 【详解】 证明： （1）因为0 xy，所以0 xy ， 1 0 xy ， 于是 11 xy xyxy ，即
25、 11 yx ， 由0z，得 zz xy . （2） 因为0 x，0y ，0z， 所以2xyxy，2xzxz，2yzyz， 所以()()()2228xy xz yzxyxzyzxyz， 当且仅当x yz 时，等号同时成立，因为x y ，所以上式中等号不能同时取得. 所以()()()8xyxzyzxyz. 【点睛】 本题考查不等式的证明， 考查不等式的性质、 基本不等式的应用， 考查学生的推理能力， 属于基础题. 18已知已知 4 sin 5 =， , 2 ， 5 cos 5 ，是第三象限角是第三象限角. （1）求）求cos()的值；的值； （2）求）求tan()的值的值. 第 14 页 共 2
26、0 页 【答案】【答案】 （1）11 5 25 ； （2）2 【解析】【解析】 （1）求出cos及sin，进而利用cos()coscossinsin， 可求出答案； （2）由 sin tan cos ， sin tan cos ，并结合 tantan tan() 1tantan ，可求 出答案. 【详解】 由 4 sin 5 =， , 2 ，得 2 2 43 cos1sin1 55 ， 由 5 cos 5 ，是第三象限角，得 2 2 52 5 sin1cos1 55 . （1）cos()coscossinsin 3542 511 5 555525 . （2）由 sin tan s 4 3co
27、， sin tan2 cos ， 得 4 2 tantan 3 tan()2 41tantan 12 3 . 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系的运用，考查两角和与差的余弦、正切公式的运用， 考查学生的计算求解能力，属于基础题. 19 ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a， ，b，c.已知已知2a，5b ，2BA . （1）求）求sin A； （2）求）求 ABC的面积的面积. 【答案】【答案】 （1） 11 4 ； （2） 55 16 第 15 页 共 20 页 【解析】【解析】 （1）由正弦定理可得 255 sinsin22sincosAAAA ，从而可求出cosA
28、，进而 可求出sin A； （2）由余弦定理 222 2cosabcbcA，可求出c，进而由ABC的面积 1 sin 2 ABC SbcA，可求出答案. 【详解】 （1）由正弦定理， sinsin ab AB ，即 255 sinsin22sincosAAAA ， 因为0A，所以sin0A，所以 5 2 2cos A ，即 5 cos 4 A. 所以 2 2 511 sin1 44 1 cos AA . （2）由余弦定理， 222 2cosabcbcA，即 222 5 2( 5)2 5 4 cc ， 整理得 2 2520cc ，解得2c 或 1 2 c . 当2c 时，ac，得AC，又2BA，
29、故 4 AC， 2 B ，所以 22 2ba ，与5b 矛盾，舍去； 当 1 2 c 时，经检验符合题意. 所以ABC的面积 1111155 sin5 222416 ABC SbcA . 【点睛】 本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积，考查学生的计算求 解能力，属于中档题. 20已知已知 ( 3,0)A ， (1,0)B ，(0,3)C，试求点，试求点D的坐标，使四边形的坐标，使四边形ABCD为等腰梯形为等腰梯形. 【答案】【答案】( 2,3) 或 16 3 , 5 5 【解析】【解析】设所求点D坐标为( , ) x y，若 /AB CD，则| | |BCAD ，可求出
30、, x y；若 /AD BC，则| |ABCD，可求出 , x y，即可得出点D坐标. 【详解】 第 16 页 共 20 页 设所求点D坐标为( , ) x y. 若/AB CD，| |BCAD，则 2222 3 (0 1)(30)(3) y xy ， 解得 2 3 x y 或 4 3 x y ， 当 2 3 x y 时，经验证ABCD，符合题意； 当 4 3 x y 时， 2 3 104AB ， 22 403 34CD ， ABCD，不符合题意，舍去； 若/AD BC，| |ABCD，则 2 22 3 10 030 30 1 (0)(3) y x xy ， 解得 16 5 3 5 x y 或
31、 4 3 x y ， 当 16 5 3 5 x y 时，经验证ADBC，符合题意； 当 4 3 x y 时， 2 2 43310AD ， 2 2 1310BC ， ADBC，不符合题意，舍去. 综上，所求点D的坐标为( 2,3) ，或 16 3 , 5 5 . 【点睛】 本题考查等腰梯形的性质，考查平行线的性质，考查两点间距离公式的运用，考查学生 的计算求解能力，属于中档题. 21设等差数列设等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且，且 42 4SS， 2 21 nn aa . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； 第 17 页 共 20 页 （2）求数列）求数列 1
32、 2 n n a 的前的前n项和项和 n T . 【答案】【答案】 （1）21 n an； （2） 1 23 6 2 n n n T 【解析】【解析】 （1）设 n a的公差为d，由 42 4SS， 2 21 nn aa，可得 111 11 4 3 44 2 (21)22(1)1 d aaad andand ，即可求出 1 a，d，进而可求出 n a的通项公式； （2）由 11 21 22 n nn an ，进而可利用错位相减法求出该数列的前n项和. 【详解】 （1）设等差数列 n a的公差为d， 由 42 4SS， 2 21 nn aa， 则 111 11 4 3 44 2 (21)22(1
33、)1 d aaad andand ，即 1 1 2 1 da ad ， 解得 1 1a ，2d . 所以21 n an. （2）由 11 21 22 n nn an ， 则 231 35721 1 2222 n n n T ， 231 11352321 222222 n nn nn T ， -得， 2 22 11 1 111121212322 223 1 2222222 1 2 n n nnnn nnn T . 故 1 23 6 2 n n n T . 【点睛】 本题考查等差数列的性质，考查利用错位相减法求数列的前n项和，考查学生的计算求 解能力，属于中档题. 第 18 页 共 20 页 22
34、如图，长方体如图，长方体 1111 ABCDABC D的底面的底面ABCD是正方形，点是正方形，点E在棱在棱 1 AA上，上， 1 B EEC . （1）证明：）证明： 1 B E 平面平面EBC； （2）若点）若点E为棱为棱 1 AA的中点，的中点， 2AB . 求四棱锥求四棱锥 11 EBBCC的体积；的体积； 求直线求直线 1 EC与平面与平面 11 BBCC所成角的正弦值所成角的正弦值. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）16 3 ； 3 3 . 【解析】【解析】 （1）由BC平面 11 ABB A，可得 1 BCBE，结合 1 B EEC，可证明 1 B E 平面EBC；
35、（2）由 1 B E 平面EBC，可得 1 B EBE，进而可证明 11 ABEAB E，可知 11 AB EABE，从而 1111 45AB EAEB ，由AB 平面 11 BBCC，可知E到 平面 11 BBCC的距离dAB，进而可求出四棱锥 11 EBBCC的体积; 先证明EF 平面 11 BBCC，从而可得 1 EFFC，即 1 EC F为直线 1 EC与平面 11 BBCC所成的角，求解即可. 【详解】 （1）证明：由长方体 1111 ABCDABC D，可知BC平面 11 ABB A. 1 B E 平面 11 ABB A， 1 BCBE. 1 B EEC，BCECC，且,BC EC
36、 平面EBC， 第 19 页 共 20 页 1 B E 平面EBC. （2） 1 B E 平面EBC，且BE 平面EBC， 1 B EBE，即 1 90BEB ， 11 90AEBAEBAEBABE ， 11 AEBABE， 又 1 11 111 AEEA ABAB BAEB AE ， 11 ABEAB E， 11 AB EABE，则 1111 45AB EAEB ， 111 2AEAB. 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1/ AA平面 11 BBCC， 1 EAA，AB 平面 11 BBCC. E到平面 11 BBCC的距离2dAB， 四棱锥 11 EBBCC的体积 116 2
37、4 2 33 V . 取F为棱 1 BB的中点，连接EF、 1 C F，则/EF AB. 由题意知AB 平面 11 BBCC，所以EF 平面 11 BBCC， 1 FC 平面 11 BBCC， 1 EFFC， 1 EC F为直线 1 EC与平面 11 BBCC所成的角. 在 11 Rt AB E中， 11 =2 2,2BEAE ， 在 11 Rt EBC中， 2222 1111 (2 2)22 3ECEBBC . 于是 1 1 23 sin 32 3 EF EC F EC . 所以直线 1 EC与平面 11 BBCC所成的角的正弦值为 3 3 . 第 20 页 共 20 页 【点睛】 本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查线面角的求法，考查学生的计 算求解能力，属于中档题.
