1、第 1 页 共 15 页 2019-2020 学年陕西省汉中市高一下学期期中数学试题学年陕西省汉中市高一下学期期中数学试题 一、单选题一、单选题 1 19 6 是（是（ ） A第一象限角第一象限角 B第二象限角第二象限角 C第三象限角第三象限角 D第四象限角第四象限角 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由题19 5 4 66 ，所以其终边在第三象限. 【详解】 由题 195 2 2 66 ，所以19 6 的终边与 5 6 的终边相同，在第三象限， 所以 19 6 是第三象限角. 故选：C 【点睛】 此题考查求角的终边所在的象限，关键在于将角写成2,kkZ的形式进行辨 析. 2设集合设集合 3
2、Ax x，2 ,Bx xk kZ，则，则AB （ ） A0,2 B 2,2 C2,0,2- D2, 1,0,1,2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】求出集合A，利用交集的定义可得出集合AB. 【详解】 333Ax xxx ，2 ,Bx xk kZ， 因此，2,0,2AB . 故选：C. 【点睛】 本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 3函数函数 1 ( )2 x f xa （0a，且，且1a ）的图象恒过的点为（）的图象恒过的点为（ ） A( 1, 1) B( 1,0) C(0, 1) D( 1, 2) 【答案】【答案】A 【解析】【解析】令指数为 0，
3、即可求得函数 1 ( )2 x f xa 恒过点 第 2 页 共 15 页 【详解】 解：令10 x ，可得1x，则( 1)1 21f 不论a取何正实数，函数 1 ( )2 x f xa 恒过点( 1, 1) 故选：A 【点睛】 本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题 4函数函数( )tan( ) 6 f xx 的图象的一个对称中心是（的图象的一个对称中心是（ ） A(,0) 3 B(,0) 4 C(,0) 2 D(,0) 6 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由正切函数对称中心(,0),() 2 k kZ 可以得到 62 k x ，从而解出满足条 件的对称中心. 【详解】 由
4、正切函数的对称中心(,0),() 2 k kZ 可以推出( )f x对称中心的横坐标满足 () 6262 kk xxkZ ，带入四个选项中可知，当1k 时， 3 x . 故,0 3 是图像的一个对称中心，选 A. 【点睛】 正切函数的对称中心为,0 2 k ，正弦函数的对称中心为,0k，余弦函数的对称中 心为,0 () 2 kkZ ，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整 体，从整体性入手求出具体范围. 5已知已知sin33a，cos55b， ，tan55c，则，则a、b、c的大小关系为（的大小关系为（ ） Aacb Babc Cbca Dbac 【答案】【答案】B 【解析】【解析
5、】利用诱导公式化简函数值，通过三角函数的单调性判断大小即可. 【详解】 因为sin33cos57cos551tan55abc ， 所以abc， 第 3 页 共 15 页 故选：B. 【点睛】 本题主要考查三角函数的化简求值，函数值的大小比较，属于基础题. 6直线直线 220 xay与与(1)30axay平行，则平行，则a的值为（的值为（ ） A1 B 1 2 或或 0 C 1 2 D0 【答案】【答案】B 【解析】【解析】当两条直线斜率不存在时，即0a，研究是否满足题意，当两条直线存在时， 根据直线平行的结论，得到关于a的方程，解得到答案. 【详解】 直线220 xay与(1)30axay，
6、当两条直线的斜率不存在时，即0a， 此时，两条直线方程分别为2x和3x ，满足题意， 当两条直线的斜率存在时， 由两直线平行，得 13 122 aa a ， 解得 1 2 a ， 综上，满足题意的a的值为0或 1 2 . 故选 B. 【点睛】 本题考查根据两条直线的平行关系，求参数的值，属于简单题. 7函数函数 3 ( ) xx x f x ee 的图象大致为（的图象大致为（ ） A B 第 4 页 共 15 页 C D 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据解析式求得函数奇偶性，以及 1f即可容易求得结果. 【详解】 因为 f x的定义域为,00,，且 3 xx x fxf x ee ，故
7、 f x为 偶函数， 排除 C，D，验算特值 1 1 (1)=0f ee ，排除 A, 故选：B 【点睛】 本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题. 8已知圆已知圆 1 O： 22 154xy，圆，圆 2 O： 22 219xy，则圆，则圆 1 O与圆与圆 2 O （ ） A相交相交 B内切内切 C外切外切 D内含内含 【答案】【答案】C 【解析】【解析】求出圆心距，与两圆半径的和或差比较可得 【详解】 因为 22 12 1 25 15OO ， 1 2r ， 2 3r ，所以 1212 OOrr，从而两 圆外切. 故选：C. 【点睛】 本题考查两圆位置关系，求出圆心距
8、是解题关键属于基础题 9已知函数已知函数 2 ( )f xxxa 的定义域的定义域为为R，则实数，则实数a的取值范围是（的取值范围是（ ） A(0， 1 4 B(， 1 4 C 1 4 ， ) D1， ) 【答案】【答案】C 第 5 页 共 15 页 【解析】【解析】根据函数的定义域为 R，转化为被开方数恒大于等于 0，即可得到结论 【详解】 因为 2 ( )f xxxa 的定义域为R，所以 2 0 xxa恒成立，则 1 1 40 4 aa 故选:C 【点睛】 本题考查二次不等式在 R上恒成立问题，转化为判别式小于等于 0 是关键，是基础题 10要得到函数要得到函数 cosyx 的图像，只需将
9、函数的图像，只需将函数sin 2 3 yx 的图像上所有点的的图像上所有点的 （ ） A横坐标缩短到原来的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ，再向右平移（纵坐标不变） ，再向右平移 3 个单位长度个单位长度 B横坐标缩短到原来的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变） ，再向左平移（纵坐标不变） ，再向左平移 6 个单位长度个单位长度 C横坐标伸长到原横坐标伸长到原来的来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平移倍（纵坐标不变） ，再向右平移 3 个单位长度个单位长度 D横坐标伸长到原来的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平移倍（纵坐标不变） ，再向左平移 6 个单位长
10、度个单位长度 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据诱导公式得cossin 2 yxx ，再结合三角函数变换规律即可得结 果. 【详解】 因为cossin 2 yxx ， 所以sin 2 3 yx 横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）得sin 3 yx ， 再向左平移 6 个单位长度得sinsin 362 yxx ， 故选：D. 【点睛】 本题主要考查诱导公式的应用，函数sinyAx的图象变换规律，属于中档题. 11 已知已知m，n是不重合的直线，是不重合的直线，是不重合的平面， 则下列说法中正确的是 （是不重合的平面， 则下列说法中正确的是 （ ） ） 第 6 页 共 15 页 A若若
11、m，n，则，则/mn B若若/m， / /m，则，则/ / C若若 n， /mn，则，则/m且且 / /m D若若m，m ，则，则/ / 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一分析四个选项得答案. 【详解】 对于 A，若m，n，则/mn或 m与 n 相交，故 A错误； 对于 B，若/m，/ /m，则/ /或与相交，故 B 错误； 对于 C，若n，/mn，则/m且/ /m错误，m有可能在或内； 对于 D，若m，m，则/ /，故 D正确， 故选：D. 【点睛】 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力 与思维能力，属
12、于中档题. 12已知函数已知函数 sinf xA x， 0,0, 2 A 的部分图象如图所示，的部分图象如图所示， 则使则使2fax0fx成立的成立的 a的最小正值为（的最小正值为（ ） A 6 B 4 C 5 12 D 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】首先由图象先求函数的解析式，由关系式2fax0fx可知，函数 关于,0a对称，再由函数解析式求函数的对称中心. 第 7 页 共 15 页 【详解】 由20faxfx， 得2faxfx，得函数关于,0a对称， 由图象知2A， 02sin1f， 得 1 sin 2 ，得 6 ，则 2sin 6 f xx ， 由五点对应法得11 2 126
13、，得2， 则 2sin 2 6 f xx ， 由 2 6 xk，得 212 k x ， 即函数的对称中心为 ,0 212 k ， 当0 x时，当1k 时，x 为最小值， 此时 5 12 x ，即此时 5 12 a 故选：C 【点睛】 本题考查三角函数的图象和性质，解析式，重点考查分析图象的能力，属于基础题型， 本题的关键是求函数的解析式. 二、填空题二、填空题 13已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为30，半径为，半径为6，则该扇形的弧长为，则该扇形的弧长为_. 【答案】【答案】 【解析】【解析】计算出扇形圆心角的弧度数，利用扇形的弧长公式可计算出该扇形的弧长. 【详解】 由已知条件可知，该扇
14、形圆心角的弧度数为 6 ，且半径为6， 因此，该扇形的弧长为6 6 . 故答案为：. 【点睛】 第 8 页 共 15 页 本题考查扇形弧长的计算，考查计算能力，属于基础题. 14 设函数设函数 1 2cos 23 f xx ， 若对于任意的， 若对于任意的xR都有都有 12 f xf xf x成成 立，则立，则 12 xx的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】2 【解析】【解析】由题意可知 12 f xf xf x， 1 f x是函数的最小值， 2 f x是函数 的最大值， 12 xx的最小值就是半个周期 【详解】 函数 1 2cos 23 f xx ，若对于任意的xR，都有 12 f x
15、f xf x， 1 f x是函数的最小值， 2 f x是函数的最大值， 12 xx的最小值就是函数的半周 期， 12 2 1 22 2 T ， 故答案为：2. 【点睛】 本题主要考查三角函数的周期性及最值， 熟记函数的基本性质和周期， 准确计算是关键， 属于中档题. 15在区间在区间 , 2 2 范围内范围内, ,函数函数 tanyx 与函数与函数 sinyx 的图象交点有的图象交点有_个个. . 【答案】【答案】1 【解析】【解析】 将函数图象交点个数等价于方程tansinxx在, 2 2 x 根的个数， 即可 得答案. 【详解】 函数图象交点个数等价于方程tansinxx在, 2 2 x
16、根的个数， sin1 tansinsin0sin (1)0 coscos x xxxx xx ，解得：0 x， 方程只有一解， 函数 tanyx 与函数 sinyx 的图象交点有 1个. 故答案为：1. 第 9 页 共 15 页 【点睛】 本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推 理能力和运算求解能力. 16已知三棱柱已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该三棱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该三棱 柱的体积为柱的体积为 3， ，2AB ，1AC ，3BC ，则此球的表面积为，则此球的表面积为_. 【答案】【答案
17、】8 【解析】【解析】如图取 AB 中点 D， 11 AB中点 1 D，再取 1 DD中点 O， 222 +ACBCABACBC， 所以 D为ABC的外心，D1为 111 ABC的外心， O为球的球心，进而可求出半径和面积. 【详解】 如图， 取 AB 中点 D， 11 AB中点 1 D， 再取 1 DD中点 O， 222 +ACBCABACBC 所以 D为ABC的外心，D1为 111 ABC的外心，O为球的球心. 1 =1332 2 Vhh， 1OD ， 22 =1 12 RODBD 2 42 =8S 故答案为：8 【点睛】 本题考查了三棱柱的外接球问题，考查了计算能力和空间想象能力，属于一
18、般题目. 三、解答题三、解答题 17若角若角的终边上有一点的终边上有一点 , 8P m ，且，且 3 cos 5 . （1）求）求m的值；的值； 第 10 页 共 15 页 （2）求）求 sincos 2 tancos 的值的值. 【答案】【答案】 （1）6； （2） 4 5 . 【解析】【解析】 （1）根据三角函数的概念，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果； （2）先将原式化简，再由三角函数的定义求出sin，进而可得出结果. 【详解】 （1）点P到原点的距离为 2 22 864rmm ， 根据三角函数的概念可得 2 3 cos 5 64 m m ，解得6m，6m（舍去）. （2）原式
19、sincos ( sin)( sin)2 sin tancos( tan)cos ， 由（1）可得 2 6410rm ， 84 sin 5r ， 所以原式 4 sin 5 . 【点睛】 本题主要考查由三角函数的定义求参数，以及根据诱导公式化简求值，属于常考题型. 18已知已知 ( )f x是定义在 是定义在R上的偶函数，且上的偶函数，且0 x时，时， 1 2 ( )log (1)f xx （1）求）求(3)( 1)ff； （2）求函数）求函数 ( )f x的解析式； 的解析式； 【答案】【答案】 （1）-3； （2） 1 2 1 2 log (1),0 ( ) log (1),0 xx f x
20、 xx 【解析】【解析】 （1）利用函数奇偶性的性质即可求 31ff （2）根据函数奇偶性的性质即可求函数 ( )f x的解析式； 【详解】 解： （1）( )f x是定义在R上的偶函数，且0 x时， 1 2 ( )log (1)f xx . 11 22 (3)( 1)( 3)( 1)log 4log 22 13ffff ； （2）令0 x，则0 x ， 1 2 ()log (1)( )fxxf x 第 11 页 共 15 页 0 x 时， 1 2 ( )log (1)f xx ， 则 1 2 1 2 log (1),0 ( ) log (1),0 xx f x xx ； 【点睛】 本题主要考
21、查函数解析式的求解， 根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题 的关键，属于基础题 19已知函数已知函数 2sin 20 4 f xx 的图象的对称中心到对称轴的最小距的图象的对称中心到对称轴的最小距 离为离为 4 . （1）求函数）求函数 f x的解析式；的解析式； （2）求函数）求函数 f x在区间在区间 3 , 84 上的最小值和最大值上的最小值和最大值. 【答案】【答案】 （1） 2sin 2 4 xf x （2）最大值为 2，最小值为-1 【解析】【解析】 （1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据 22 22 T 即可求 解； （2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在
22、3 , 84 的单调性，即可得到最值. 【详解】 解： （1）设 f x的周期为T，图象的对称中心到对称轴的最小距离为 4 ， 则 44 T ， 所以T， 所以 22 22 T ， 所以1. 所以函数 f x的解析式是 2sin 2 4 xf x . 第 12 页 共 15 页 （2）因为 2sin 2 4 xf x ，讨论函数的增区间： 令222, 242 kxkkZ ， 得 3 , 88 kxkkZ ， 所以函数在区间 3 , 88 上为增函数，在区间 33 , 84 上为减函数. 因为0 8 f ， 3 2 8 f ， 33 2sin2cos 4244 f 1 ， 故函数 f x在区间
23、3 , 84 上的最大值为 2，最小值为-1. 【点睛】 此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问 题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域. 20已知函数已知函数 2 2f xxxa，aR . （1）若函数）若函数 f x的值域为的值域为0,，求，求a的的值；值； （2）若函数）若函数 f x在在1,x上无零点，求上无零点，求a的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）1a ； （2）3, . 【解析】【解析】 （1）由题意可得0 ，进而可求得实数a的值； （2）分析函数 yf x在区间1,上单调递增，由题意可得 min0f x，进而 可求得实数a
24、的取值范围. 【详解】 （1）函数 2 2f xxxa aR的值域为0,， 2 24 1440aa ，解得 1a ； （2）函数 2 2f xxxa的图象开口向上，其对称轴方程为1x， 所以，函数 yf x在1,上单调递增， 第 13 页 共 15 页 由函数 yf x在1,x上无零点，则 min0f x，即 min 130f xfa ， 解得3a. 【点睛】 本题考查利用二次函数的值域求参数，同时也考查了利用二次函数的零点个数求参数， 考查计算能力，属于中等题. 21四棱锥四棱锥 PABCD 中，中，ABCD，ABBC， ，ABBC1，PACD2，PA底面底面 ABCD，E在在 PB上上.
25、（1）证明：）证明：ACPD； （2）若）若 PE2BE，求三棱锥，求三棱锥 PACE的体积的体积. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 9 【解析】【解析】 （1）过 A作 AFDC 于 F，推导出 ACDA，ACPA，从而 AC平面 PAD， 由此能求出 ACPD （2）由 VPACEVPABCVEABC，能求出三棱锥 PACE的体积 【详解】 （1）过 A 作 AFDC 于 F， 因为 ABCD，ABBC，ABBC1，所以 CFDFAF1， 所以DAC90 ，所以 ACDA， 又 PA底面 ABCD，AC平面 ABCD，所以 ACPA， 又 PA，AD平面 PAD，PAAD
26、A，所以 AC平面 PAD， 又 PD平面 PAD，ACPD. （2）由 PE2BE，可得 VPACEVPABCVEABC， 所以 111 1 1 2 323 P ABC V ， 11 39 E ABCP ABC VV ， 所以三棱锥 PACE 的体积 VPACEVPABCVEABC 112 399 . 第 14 页 共 15 页 【点睛】 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 22已知圆已知圆C： 22 24200 xyxy . （1）求圆）求圆C关于直线关于直线220 xy对称的圆对称的圆D的标准方
27、程；的标准方程； （2）当）当k取何值时，直线取何值时，直线310kxyk 与圆与圆C相交的弦长最短，求出最短弦长；相交的弦长最短，求出最短弦长； （3）过点过点4, 4P的直线的直线l被圆被圆C截得的弦长为截得的弦长为 8，求直线，求直线l的方程的方程. 【答案】【答案】（1） 22 3225xy；（2）4k ，4 2；（3）4x或3440 xy. 【解析】【解析】 （1）化圆C方程为标准方程，可得圆心1,2C，=5r，设 ,D m n，利用直 线垂直斜率之间的关系以及中点坐标公式列方程求得 3 2 m n ，进而可得结果. （2）直线l过定点3,1M ，且点M在圆C内，当CMl时，弦长最短
28、，利用垂径 定理可得结果； （3）讨论当直线l的斜率不存在时，满足题意，当直线l的斜率存在时，利用点到直线 距离公式列方程求解即可. 【详解】 （1）化圆C： 22 24200 xyxy为 22 2 125xy， 可得圆心1,2C，=5r， 设 ,D m n， 圆心C与D关于直线220 xy对称， 12 220 22 2 2 1 mn n m ，解得 3 2 m n . 第 15 页 共 15 页 圆D的标准方程为： 22 3225xy. （2）直线l过定点3,1M ，且点M在圆C内，当CMl时，弦长最短， 1 4 CM k，4k ， 此时最短弦长为 2 2 24 2rCM . （3）设点C到直线l的距离为d，由 22 283rdd ， 当直线l的斜率不存在时，直线l方程为4x，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l方程为44yk x， 2 36 3 1 k d k ，解得 3 4 k . 综上，直线l的方程为4x或3440 xy. 【点睛】 本题主要考查圆的方程、对称问题以及圆的弦长问题，属于中档题. 求圆的弦长有两种 方法：一是利用弦长公式 2 12 1lkxx，结合韦达定理求解；二是利用半弦长， 弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.
