1、第 1 页 共 17 页 2019-2020 学年四川省成都市高一下学期期末考试数学（理）学年四川省成都市高一下学期期末考试数学（理） 试题试题 一、单选题一、单选题 1cos75 cos15sin75 sin15（ （ ） A0 B 1 2 C 3 2 D1 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由两角和余弦公式知原三角函数式可化为cos90，即可求值 【详解】 根据两角和余弦公式，知： cos75 cos15sin75 sin15cos900 故选：A 【点睛】 本题考查了利用三角恒等变换化简求值， 这里应用了两角和余弦公式将三角函数式化简 并求值，属于简单题 2二次不等式二次不等式 2 0
2、axbxc的解为全体实数的条件是（的解为全体实数的条件是（ ） A 0 0 a B 0 0 a C 0 0 a D 0 0 a 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据二次函数图像的特征判断即可. 【详解】 二次不等式 2 0axbxc的解为全体实数，即二次函数 2 ( )0f xaxbxc恒成 立，即二次函数图像不在x轴下方，因此需要开口向上，并且与x轴无交点或有且只有 一个交点，因此 0 0 a . 故选：B. 【点睛】 本题考查了一元二次不等式恒成立的问题，属于基础题. 3已知已知 10 10 sin ，则则cos2（ ） 第 2 页 共 17 页 A 4 5 B 4 5 C 3 10
3、10 D 3 10 10 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由二倍角的余弦公式可直接求解. 【详解】 10 sin 10 a =， 2 14 cos21 2sin1 2 105 . 故选：A. 【点睛】 本题考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题. 4已知单调递减的等比数列已知单调递减的等比数列 n a中，中， 1 0a ，则该数列的公比，则该数列的公比q的取值范围是（的取值范围是（ ） A 1q B 0q C1q D01q 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据等比数列 n a单调递减，得到0q ， 11 1 10 n nn qaaaq ，再 根据 1 0a ，1n求解. 【详解】 因为
4、等比数列 n a单调递减， 所以0q ， 11 1111 10 nnn nn aaaqaqaqq ， 因为 1 0a ， 所以 1 10 n qq ， 又因为1n， 所以 1 0,10 n qq ， 所以01q， 故选：D 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式的应用以及数列的单调性的应用，属于基础题. 第 3 页 共 17 页 5在在ABC中，角中，角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a， ，b，c，若，若: :4:5:7a b c ，则，则 ABC为（为（ ） A直角三角形直角三角形 B锐角三角形锐角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D等腰三角形等腰三角形 【答案】【答案】C 【解析】
5、【解析】用余弦定理求最大边所对角. 【详解】 : :4:5:7a b c Q,可设457ak,bk,ck， 最大角为 C， 222 4571 cos0 2 455 kkk C kk ， 所以 C为钝角. 故选:C 【点睛】 此题也可以直接求 222 abc判断其符号，从而确定角 C是钝角、锐角、直角. 6若若abc，则下列说法正确的是（，则下列说法正确的是（ ） ） Alnlnab B 22 ab C 11 cacb D 11 22 ab 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据abc，取1c，0b，1a，则可排除错误选项. 【详解】 根据abc，取1c，0b，1a， 则 A 错误； 22 =
6、10ab ，B 错误； 11 22 21 ab ，D 错误； 排除错误选项. 故选：C. 【点睛】 本题考查不等式的性质，可用特殊值排除法. 7把四边形把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形按斜二测画法得到平行四边形ABCD （如图所示（如图所示） ，其中） ，其中 2BOOC ，3OD ，则四边形，则四边形ABCD一定是一个（一定是一个（ ） 第 4 页 共 17 页 A梯形梯形 B矩形矩形 C正方形正方形 D菱形菱形 【答案】【答案】D 【解析】【解析】还原原平面图形ABCD，计算出BC、CD的长，结合四边形ABCD 为平 行四边形可判断出四边形ABCD的形状. 【详解】 根据斜二测直
7、观图还原原平面四边形ABCD如下图所示： 由图可知，ODBC，2OCOB，22 3ODOD ， 由勾股定理可得 22 4CDOCCDBC ， 在斜二测直观图中，四边形ABCD 为平行四边形，则/AD BC 且ADBC ， 在四边形ABCD中，/AD BC且ADBC，所以，四边形ABCD为菱形. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用斜二测直观图判断原平面图形的形状，一般要求还原原平面图形，属于基 础题. 8在在ABC中，若角中，若角 4 B ， 2AC ，3AB ，则角，则角C （ ） A 6 B 3 C 6 或或 5 6 D 3 或或 2 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由正弦定理 si
8、nsin ACAB BC ，则有 sin sin ABB C AC ，再根据ACAB，从而 可求角C. 【详解】 第 5 页 共 17 页 由正弦定理可得： sinsin ACAB BC ，则 sin323 sin 222 ABB C AC ， 因为ACAB，所以BC， 故 3 C 或 2 3 . 故选：D 【点睛】 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题. 9体积为体积为 4 3 的某三棱锥的三视图如下图所示（其三个视图均为直角三角形） ，则该三的某三棱锥的三视图如下图所示（其三个视图均为直角三角形） ，则该三 棱锥四个面的面积中，最大值为（棱锥四个面的面积中，最大值为（ ）
9、A3 B2 3 C3 3 D6 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由已知三视图，作出三棱锥的直观图，求出这四个面每个面的面积，找出最大 值 【详解】 由三视图，作出三棱锥ABCD，AD 平面BCD，,BCDABDACD为等 第 6 页 共 17 页 腰直角三角形，ABC是等边三角形，,ADBDCDx 22 2ABADBDx ， 2 114 323 A BCD Vx 则2x 1 2 22 2 ABDACDBCD SSS ， 13 =2 22 22 3 22 ABC S , 故三角形ABC的面积最大，为2 3， 选 B. 【点睛】 本题主要考查三视图还原直观图及三角形面积的计算，属于基础题考查了
10、空间想象 力将三视图还原成直观图，是解题的关键 10若数列若数列 n a满足满足 1 1 21 n n n a a a （2n， * nN） ，且） ，且 1 1 2 a ，则，则 n a （ ） A 1 2n B 2 n C 1 1 22 n D 2 22 n 【答案】【答案】A 【解析】【解析】在等式 1 1 21 n n n a a a 两边取倒数，可推导出数列 1 n a 为等差数列，确定该 数列的首项和公差，进而可求得 n a. 【详解】 当2n且n N，在等式 1 1 21 n n n a a a 两边取倒数得 1 11 2111 2 n nnn a aaa ， 1 11 2 nn
11、 aa ，且 1 1 2 a ，所以，数列 1 n a 为等差数列，且首项为2，公差为2， 因此， 1 2212 n nn a . 1 2 n a n 故选：A. 【点睛】 本题考查利用倒数法求数列通项，考查计算能力，属于基础题. 11夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作.为更好地考察防汛抗洪实地 为更好地考察防汛抗洪实地 第 7 页 共 17 页 情况， 某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据情况， 某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据.如图所示，如图所示，CE是该是该 大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面
12、的大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面的A处测得处测得坝顶坝顶E的仰角为的仰角为，对着大坝在，对着大坝在 水平地面上前进水平地面上前进30m后到达后到达B处，测得仰角为原来的处，测得仰角为原来的 2 倍，继续在水平地面上前进倍，继续在水平地面上前进 10 3m后到达坡底 后到达坡底C处，测得仰角为原来的处，测得仰角为原来的 4 倍，则该大坝的高度为（倍，则该大坝的高度为（ ） A10m B15m C20m D5 3m 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意及仰角的定义，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系，求出 15，即可得出结论. 【详解】 由已知30,10 3ABBC=， 在Rt
13、AED中，cotADEDq=， 在Rt BED中，cot2BDEDq=， () cotcot2ABADBDEDqq=-=-， 同理可得 () cot2cot4BCEDqq=-, (cotcot2 ) (cot2cot4 ) ABED BCED ，即 cotcot2 3 cot2cot4 ， coscos2sin2 coscos2 sin1 cotcot2 sinsin2sinsin2sin2 ， 同理可得 1 cot2cot4 sin4 ， sin4 2cos23 sin2 ， 3 cos2 2 ，结合题意可知230，即15， sin215 cotcot2 AB EDAB . 故选：B. 第
14、8 页 共 17 页 【点睛】 本题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，考查了学生们解三角形的能力， 属于中档题. 12下列四个说法中，下列四个说法中，错误错误 的是（的是（ ） 若若a，b均为正数，则均为正数，则 112 abab 若若 0, 2 x ，则，则 1 sin sin x x 的最小值为的最小值为 2 若若1ab，则，则 1 1 bb aa 0ab，则，则 11 ab ba A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用不等式的性质以及基本不等式判断选项的正误即可 【详解】 若a，b均为正数，则 112 abab ，当且仅当ab时等号成立；满足基本不等式的 性质
15、；故正确 若 0, 2 x ，则 1 sin2 sin x x ，当且仅当 2 x 时，表达式取得最小值为 2；故 不正确； 1ab，1 a b ， ab abba 即 11 ba ， 11 11 ab ，即 1 1 bb aa ；故不正 确； 0ab，可知 11 ba ，所以 11 ab ba ；所以正确； 故选：C 【点睛】 本题主要考查了不等式的基本性质和基本不等式的应用， 注意使用基本不等式时等式成 立的条件，属于基础题 二、填空题二、填空题 13等比数列等比数列 n a中，中， 1 1a ，3q ，则，则 5 a _（用数字作答） （用数字作答）. 【答案】【答案】81 第 9 页
16、共 17 页 【解析】【解析】 已知 n a为等比数列， 且 1 1a ，3q ， 根据等比数列的通项公式即可求 5 a 【详解】 等比数列 n a， 1 1a ，3q 由等比通项公式，知： 44 51 1 ( 3)81aa q 故答案为：81 【点睛】 本题考查了等比数列，根据等比数列的通项公式求项，属于简单题 14将将 2 2sin2 3sin cosxxx 化简为化简为sin()AxB（0A，0， 2 ） 的形式为的形式为_. 【答案】【答案】 2sin(2) 1 6 x 【解析】【解析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解. 【详解】 2 2sin2 3sin cos1
17、cos23sin22sin(2) 1 6 xxxxxx 故答案为： 2sin(2) 1 6 x 【点睛】 本题考查二倍角公式及辅助角公式，属于基础题. 15 二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法， 在我国传统农耕文化中占有极其重二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法， 在我国传统农耕文化中占有极其重 要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动 人民的智慧人民的智慧.古代数学著作周髀算经中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、古代数学著作周髀算经中记载有这样一个问题：从夏至之日起
18、，小暑、 大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影 子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为暑的日影子长的和为 18 尺，立冬的日影子长尺，立冬的日影子长 为为 10.8 尺，则夏至的日影子长为尺，则夏至的日影子长为_尺尺. 【答案】【答案】3.6 【解析】【解析】根据题意列出关于首项和公差的方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】 由题意，用 123456789101112 ,a a a a a a aa a aaa分别表示夏至、小
19、暑、大暑、立秋、 处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长，且它们 依次成等差数列，设公差为d， 第 10 页 共 17 页 345 10 18 10.8 aaa a ，即 1 1 3918 910.8 ad ad 解得 1 0.8 3.6 d a 所以夏至的日影子长为 3.6 尺. 故答案为：3.6. 【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式及性质. 16已知已知A、B、C为为ABC的三内角，且角的三内角，且角A为锐角，若 为锐角，若tan2tanBA，则，则 11 tantanBC 的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】 2 3 【解析】【解析】由三角形内角
20、的性质结合tan2tanBA，可得 2 3tan tan tan2 B C B ，由目标 函数式 11 tantanBC 并利用基本不等式即可求得其最小值，注意基本不等式的使用条 件“一正二定三相等”，其中A为锐角，tan2tan0BA 【详解】 A、B、C为ABC的三内角，A为锐角，tan2tan0BA tan2tan()2tan()BBCBC 故有 2(tantan) tan tantan1 BC B BC ，即可得 2 3tan tan tan2 B C B 2 111tan2tan1tan12 2 tantantan3tan33tan33tan3 BBB BCBBBB ，当 且仅当ta
21、n1B 时等号成立 11 tantanBC 的最小值为 2 3 故答案为： 2 3 【点睛】 本题考查了由三角形内角间的函数关系， 利用三角恒等变换以及基本不等式求目标三角 函数的最值，注意两角和正切公式、基本不等式(使用条件要成立)的应用 三、解答题三、解答题 第 11 页 共 17 页 17图形图形ABCDE由矩形由矩形ABCD和扇形和扇形ADE组合而成（如图所示） ， 组合而成（如图所示） ，ADDE， 22ABAD.求将该图形沿求将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积. 【答案】【答案】表面积7S，体积 8 3 V . 【解析】【解析
22、】根据题意确定几何体的组成，结合题中数据可求得几何体的表面积和体积. 【详解】 由题意知，该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，其中圆柱和半球的底面半 径均为1，圆柱的高为2. 圆柱的底面积 2 1 1S，圆柱的侧面积 2 21 24S ， 半球面的表面积 2 3 1 412 2 S， 则该几何体的表面积 123 427SSSS， 圆柱的体积 1 22V，半球的体积 3 2 142 1 233 V， 则该几何体的体积 12 28 2 33 VVV . 【点睛】 本题考查组合旋转体的表面和体积，解题的关键就是确定组合体的构成，考查空间想象 能力与计算能力，属于基础题. 18已知等差数列已知
23、等差数列 n a中，中， 135 18aaa， 57 0aa . （1）求）求 n a的通项公式；的通项公式； （2）求）求 n a的前的前n项和项和 n S的最大值的最大值. 【答案】【答案】 （1）122 n an=-； （2）30. 【解析】【解析】 （1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入等差 数列的通项公式求数列 n a的通项公式； 第 12 页 共 17 页 （2）利用等差数列求和公式求和,再利用二次函数求得最值即可. 【详解】 解： （1）由题意得，数列 n a公差为d， 则 1351 3618aaaad 571 2100aaad 解得： 1 10a ,
24、2d 1 1 n aand1021122nn （2）由（1）可得， 1 2 n n n aa S 2 10 122 11 2 nn nn 22 11121 11() 24 n Snnn * nN，当5n或6n时， n S取得最大值 56 30SS 【点睛】 本题考查利用基本量求解等差数列的通项公式，以及前 n 项和及最值，属基础题 19已知已知 4 3 sin 7 ， 11 cos 14 ，0 2 . （1）求）求tan2的值；的值； （2）求角）求角的大小的大小. 【答案】【答案】 （1） 8 3 47 ； （2） 3 . 【解析】【解析】 （1）利用同角三角函数的基本关系求得tan的值，然
25、后利用二倍角的正切公 式可求tan2的值； （2） 利用两角差的正弦公式求得sin的值， 结合角的取值范围， 进而可求得角的 值. 【详解】 （1） 4 3 sin 7 ，0 2 ， 2 1 cos1 sin 7 ， 第 13 页 共 17 页 4 3 sin 7 tan4 3 1 cos 7 ，因此， 22 2tan8 38 3 tan2 1 tan47 14 3 ； （2）0 2 ，0 ， 11 cos 14 ， 2 5 3 sin1 cos 14 ， sinsinsincoscossin 5 31114 349 33 147147982 ， 0 2 Q， 3 . 【点睛】 本题考查利用同
26、角三角函数的基本关系以及二倍角的正切公式求值， 同时也考查了利用 三角函数值求角，考查计算能力，属于中等题. 20已知函数已知函数 2 55f xxxa a . （1）当）当1a 时，求当时，求当0,x时，函数时，函数 f x g x x 的值域；的值域； （2）解关于）解关于x的不等式的不等式 0f x . 【答案】【答案】 （1）1, ； （2）答案见解析. 【解析】【解析】(1)利用1a 代入化简 f x g x x ，再用基本不等式求值域即可； (2) 对 f x因式分解得到两根，对两根分类讨论写不等式解集即可. 【详解】 解： （1）当1a 时， 2 544 5 f xxx g xx
27、 xxx 0,x， 44 24xx xx 当且仅当 4 x x 时，即2x时，上式取“”， 所以 g x 4 5451x x ，当且仅当2x时取等号， 第 14 页 共 17 页 所以 g x的值域为1, ； （2） 2 555f xxxa axaxa 令 0f x ，得xa或5xa ， 当5aa ，即 5 2 a 时，由 0f x ，解得 5 2 x ； 当5aa ，即 5 2 a 时，由 0f x ，解得5axa ； 当5aa ，即 5 2 a 时，由 0f x ，解得5 axa； 综上所述， 当 5 2 a 时，原不等式的解集为 5 2 ； 当 5 2 a 时，原不等式的解集为5x ax
28、a； 当 5 2 a 时，原不等式的解集为5xaxa. 【点睛】 本题考查了函数值域、基本不等式和含参数的一元二次不等式，属于综合题. 21已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且满足，且满足233 nn Sa . （1）证明数列）证明数列 n a是等比数列；是等比数列； （2）若数列）若数列 n b满足满足 3 log nn ba，记数列，记数列 n n b a 的前的前n项和为项和为 n T，证明，证明 13 34 n T . 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】【解析】(1)利用 n S与 n a的递推关系，结合 1 1 ,1 ,2 n n
29、n Sn a SSn 及等比数列的定义即 可证明 n a是等比数列； (2)由数列 n b满足 3 log nn ba可得 n b， 进而可知数列 n n b a 的 通项公式，再利用错位相减法求 n T，根据数列单调性即可证结论 【详解】 证明： （1）由题意得，当 * 2nnN 时， 1 222 nnn aSS ， 11 2333333 nnnnn aaaaa 1 3 nn aa ，即 1 3 n n a a 第 15 页 共 17 页 当1n 时， 111 2233aSa 1 30a 综上，有数列 n a是以 3 为首项，3 为公比的等比数列 （2）由（1）可知3n n a 33 l3l
30、ogog n nn ban，故有 3 n n n bn a 231 1231 33333 n nn nn T 231 234 31 3333 n n n T -得： 231 1111 21 33333 n nn n T 1 1 3 1 3 1 3 n n n 331 223n n 323 1 443 n n n T 当 * 2nnN，有 1 0 3 n nn n n bn TT a ，故数列 n T为递增数列 1 1 3 n TT 又 * nN，故 23 1 0 43n n 323 13 4434 n n n T ， 综上，有 13 34 n T 【点睛】 本题考查了利用递推式证明等比数列，并
31、由新数列的前 n 项和公式求证其范围；综合应 用了 1 1 ,1 ,2 n nn Sn a SSn 、等比数列的定义、数列的单调性 222020 年年 5 月月 6 日，成都东部新区正式挂牌，标志着经过三年的规划设计后，一个日，成都东部新区正式挂牌，标志着经过三年的规划设计后，一个 承接成渝地区双城经济圈建设、 落实成都东进战略的新区正式成立承接成渝地区双城经济圈建设、 落实成都东进战略的新区正式成立.为落实东部新区为落实东部新区“双双 城一园、 一轴一带城一园、 一轴一带”的空间布局的需要， 某规划部门拟规划如图所示的三角形 （的空间布局的需要， 某规划部门拟规划如图所示的三角形 （ABC）
32、 产业园区，其中产业园区，其中3sincosACABCB . 第 16 页 共 17 页 （1）求角）求角B的大小；的大小； （2）若在该产业园区内再规划一个核心功能区）若在该产业园区内再规划一个核心功能区ADE（D、E是边是边BC上的点） ，且上的点） ，且 3 C ， 6 DAE，200AC 米，求核心功能区米，求核心功能区ADE面积的最小值面积的最小值. 【答案】【答案】 （1） 6 ； （2）30000 23平方米. 【解析】【解析】 （1）由正弦定理将3sincosACABCB边化角可求出tanB，即可求出 角B； （2） 记BAD， 则 0, 3 ， 则 5 6 B D A， 利用
33、正弦定理可以表示出AD 和AE，利用面积公式表示出面积，再根据的取值范围即可求出ADE面积的最小 值. 【详解】 （1）3sincosACABCB， 由正弦定理有：3sinsinsincosBAAB， 0,A，sin0A， sin3 tan cos3 B B B ， 0,B， 6 B ； （2）由已知及（1）可知，ABC为直角三角形且 2 BAC， 200AC 米，所以200 3AB 米 记BAD，则 0, 3 ，则 5 6 BDA， 在ABD中， 5 sinsin 66 ADAB ，得 100 3 5 sin 6 AD ， 由 3 CAE， 3 C ，则 3 CEA， 第 17 页 共 17 页 在ACE中， sinsin 33 AEAC ，得 100 3 sin 3 AE ， ADE的面积 1 sin 2 SAD AEDAE 1100 3100 3 sin 526 sinsin 63 130000 4 1331 cossincossin 2222 3000030000 4sincos32sin23 当 0, 3 时， 2 20, 3 ，当 4 时，sin2取得最大值 1， 此时ADE的面积的最小值为30000 23平方米. 【点睛】 本题考查正弦定理解三角形以及面积公式的应用，属于中档题.
