1、第 1 页 共 19 页 2019-2020 学年四川省雅安市高一下学期期末考试数学试题学年四川省雅安市高一下学期期末考试数学试题 一、单选题一、单选题 1如果如果0ab，那么下列各式一定成立的是（，那么下列各式一定成立的是（ ） ） A0ab B 22 ab C0ab D 11 ab 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】 因为0ab 所以0ab ，0ab ， 22 ab ，即 22 ab， 11 ab ， 11 ab ， 故选：C 【点睛】 本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题. 2已知已知1,2 ,1abx，且，且a与 与b是共线向量，则是共线向量，
2、则x A1 B2 C 1 2 D 1 3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【详解】试题分析：因为 /a b rr ，所以1 12x ，所以 1 2 x . 故选：C 【考点】向量共线的坐标表示 3如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两 点点 A A，B B 到点到点 C C 的距离的距离 ACACBCBC1 km1 km，且，且 C C120120，则，则 A A，B B 两点间的距离为（两点间的距离为（ ） A3 km B2 km C1.5 km D2 km 【答案】【答案】A 【
3、解析】【解析】在ABC中，由余弦定理可得 第 2 页 共 19 页 22222 2cos1 +12 1ABACBCAC BCACB 1 13 2 ， 所以 3kmAB 故选 A 【解题必备】当AB的长度不可直接测量时，求A，B之间的距离有以下三种类型 （1）如图 1，A，B之间不可达也不可视，计算方法：测量AC，BC及角C，由余弦 定理可得AB 22 2cosACBCAC BCC （2）如图 2，B，C与点 A可视但不可达，计算方法：测量BC，角B，角C，则 AB C，由正弦定理可得 sin sin BCC AB A （3）如图 3，C，D 与点 A，B均可视不可达，计算方法：测量 ,.CDB
4、DCACDBCDADC 在ACD中由正弦定理求AC，在BCD中由正弦定理求BC，在ABC中由余弦定 理求AB 图 1 图 2 图 3 4等差数列等差数列 n a中，若中，若 24 3,7aa，则，则 6 a=( )=( ) A1111 B7 7 C3 3 D2 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据 264 2aaa和已知条件即可得到 【详解】 等差数列 n a中， 264 2aaa+= 642 22 7 3 11aaa=-= ?= 第 3 页 共 19 页 故选 A 【点睛】 本题考查了等差数列的基本性质，属于基础题 5 在在ABC中， 角中， 角、 、A BC的对边分别为的对边分别为
5、ab c、 、， 已知， 已知 2a ，3b ，60B ， 那么角那么角A等于（等于（ ） A135 B90 C45 D30 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据正弦定理可求得sin A，根据大边对大角的特点求得A. 【详解】 由正弦定理 sinsin ab AB 得： sin2sin602 sin 23 aB A b ab AB 45A 本题正确选项：C 【点睛】 本题考查利用正弦定理解三角形的问题，涉及大边对大角的特点，属于基础题. 6若实数若实数x，y满足约束条件满足约束条件 20 270 30 xy xy y ，则，则2zyx的最大值为（的最大值为（ ） A1 B 5 3 C2 D
6、3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【详解】 解：由实数x，y满足约束条件 20 270 30 xy xy y ，作出可行域如图， 第 4 页 共 19 页 联立 3 270 y xy ，解得(1,3)A， 化目标函数2zyx为直线方程的斜截式：2yxz， 由图可知，当直线2yxz过A时，直线在y轴上的截距最大，2zyx有最大值 为3 2 1 1 ； 故选：A 【点睛】 本题主要考查简单的线性规划，属于基础题 7在在ABC中，中，AD为为BC边上的中线，边上的中线，E为
7、 为AD的中点，则的中点，则EB A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 【答案】【答案】A 【解析】【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 11 22 BEBABC，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到 BCBAAC ，之后将其合并，得到 31 44 BEBAAC，下一步应用相反向量，求 得 31 44 EBABAC，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得 第 5 页 共 19 页 111111 222424 BEBABDBABCBABAAC 11131 24444 BABAACBAAC
8、， 所以 31 44 EBABAC，故选 A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中 线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程 中，需要认真对待每一步运算. 8设设，为不重合的两个平面，为不重合的两个平面，m， ，n为不重合的两条直线，有以下结论：为不重合的两条直线，有以下结论： / / ,mn n，则，则/m ,nnm，则，则m ,mn，则，则mn 其中正确结论的个数是（其中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用线面平行的判定定理判断；利用面面平行的判定和线面垂直的性
9、质判 断；根据直线与直线的位置关系判断. 【详解】 / / ,mn n，则/m或m，故错误； 因为,nn，所以/ /，又m，所以m，故正确； ,mn，则 ,m n平行，相交或异面，故错误. 故选：B 【点睛】 第 6 页 共 19 页 本题主要考查线面平行的判定定理，面面平行的判定，线面垂直的性质以及直线与直线 的位置关系，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 9若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A 1 3 B 2 3 C1 D2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】试题分析：由三视图可知：原几何体为三棱柱所以体积为：
10、 【考点】三视图；空间几何体的体积公式 点评：由三视图正确还原几何体是做本题的的关键 10三棱锥三棱锥ABCD 中，中，2 5ABCD ，5ACBD ，13ADBC ， 则三棱锥则三棱锥ABCD 的外接球的表面积是（的外接球的表面积是（ ） A29 B14 C64 D10 【答案】【答案】A 【解析】【解析】三棱锥放入一个面对角线长分别为2 5，5，13的长方体中,求长方体的外 接球表面积即可. 【详解】 三棱锥放入一个面对角线长分别为2 5，5，13的长方体中， 那么三棱锥ABCD的外接球与该长方体外接球为同一个球，设长方体的长、宽、高 分别为a，b，c， 则 222222 20,25,13
11、,abbcac 其体对角线的长即球的直径2R， 故 222222 222 2025 13 229 22 abbcac Rabc ， 第 7 页 共 19 页 所以 29 2 R ， 则外接球的表面积 2 429SR 故答案为 A. 【点睛】 本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样 才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借 助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边 形的外接圆的圆心， 过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的 距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各
12、顶点距离相等的直线（这两个多边形 需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面 中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半 径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. 11已知正项等比数列已知正项等比数列 n a（*nN）满足）满足 765 2aaa，若存在两项，若存在两项 m a， n a使使 得得 1 4 mn a aa，则，则 15 mn 的最小值为（的最小值为（ ） A2 B 5 1 3 C 7 4 D 11 4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】正项等比数列an满足： 654 76511
13、1 2,2aaaa qa qa q，又 q0，解 得2q =，存在两项 am，an使得 1 4 mn a aa， 222 11 16 m n a qa ，即 2 2166 m n mn ， 15115155 61 663 nm mn mnmnmn ， 当且仅当 n m = 5m n 取等号，但此时 m，nN又6mn，所以只有当24mn， 取得最小值是 7 4 故选 C 点睛：本题解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质，利用等比数列的通项公式， 解得6mn，运用均值不等式求最值，一般运用均值定理需要要根据一正、二定、 三取等的思路去思考，本题根据条件构造 1 1 6 mn（），研究的式子乘以
14、1 后变形，即 第 8 页 共 19 页 可形成所需条件，应用均值不等式 12 如下图， 四边形如下图， 四边形OABC是边长为是边长为 1 的正方形， 点的正方形， 点 D在 在OA的延长线上， 且的延长线上， 且2OD， 点点 P为为BCD内内( (含边界含边界) )的动点，设的动点，设( ,)OPOCODR ，则，则的最大的最大 值等于值等于( ( ) ) A3 B2 C 5 2 D 3 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和y轴建立如图所示的平面直 角坐标系，设,P x y，易得 1 , 2 yx，则 1 2 xy，再将原问题转化为线性 规
15、划问题，求目标函数 1 2 xy在可行域BCD内(含边界)的最大值，即可求出结果 【详解】 以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标 系， 则 0,1 ,2,0CD ，如下图所示： 设,P x y， ( ,)OPOCODR ， ,0,12,0)2 ,(x y ， 2 ,xy ，即 1 , 2 yx， 1 2 xy， 令 1 , 2 zxy则 1 2 yxz ，其中z为直线 1 2 yxz 在y轴上的截距， 第 9 页 共 19 页 由图可知，当该直线经过点1,1B时，其在y轴上的截距最大为 3 2 ， 的最大值为 3 2 故选：D 【点睛】 本题考查平面向量在
16、几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最 值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题 二、填空题二、填空题 13已知向量已知向量(2,1),(1, 1)ab，则，则a b _. 【答案】【答案】1 【解析】【解析】根据平面向量数量积的坐标运算公式，即可求出结果. 【详解】 因为向量(2,1),(1, 1)ab， 所以2 1 111a b r r . 故答案为：1 . 【点睛】 本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 14 张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天
17、织得快，且从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织 5 尺布，一月（按尺布，一月（按 30 天计）天计） 共织共织 390 尺布，则尺布，则从第从第 2天起每天比前一天多织尺布天起每天比前一天多织尺布_尺布尺布. 【答案】【答案】 16 29 【解析】【解析】根据每天比前一天多织相同量的布，得到构成的数列 n a是等差数列，然后 再由一月（按 30天计）共织 390 尺布，利用前n项和公式求解. 【详解】 设从第 2天起每天比前一天多织x尺布， 第 10 页 共 19 页 根据题意，数列 n a是以 5 为首项，以x为公差的等差
18、数列， 所以 30 30 29 30 5390 2 Sx ， 16 29 x 故答案为： 16 29 【点睛】 本题主要考查等差数列的定义以及前 n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础 题. 15如图所示，如图所示，E，F分别是边长为分别是边长为 1 的正方形的正方形ABCD的边 的边 BC，CD的中点，将其沿的中点，将其沿 AE，AF，EF折起使得折起使得 B，D， ，C三点重合三点重合.则所围成的三棱锥的体积为则所围成的三棱锥的体积为_. 【答案】【答案】 1 24 【解析】【解析】 根据折叠后不变的垂直关系， 结合线面垂直判定定理可得到AP为三棱锥的高， 由此可根据三棱锥体积公式求
19、得结果. 【详解】 设点,B D C重合于点P，如下图所示： ABBE，ADDF APPE，APPF 又,PE PF 平面PEF，PEPFP AP平面PEF，即AP为三棱锥的高 1111111 1 33322224 A PEFPEFCEF VSAPSAB 故答案为： 1 24 第 11 页 共 19 页 【点睛】 本题考查立体几何折叠问题中的三棱锥体积的求解问题， 处理折叠问题的关键是能够明 确折叠后的不变量，即不变的垂直关系和长度关系. 16在在ABC中中, ,已知已知 9AB AC , ,sincossinBAC, ,6 ABC S , ,P为线段为线段AB 上的点上的点, ,且且 CAC
20、B CPxy CACB , ,则则xy的最大值为的最大值为_. . 【答案】【答案】3 【解析】【解析】 【详解】 由sincos sinBAC得 222 222 1 6 22 ABC bca bcabcSab bc 所以由 9AB AC 得 2 9,3,4ACba 又P为线段AB上的点，且 CACB CPxy CACB , 所以1,1, 123 343 4 xyxyx y xy ba ， 当且仅当 3 ,2 2 xy时，等号成立 即xy的最大值为 3. 三、解答题三、解答题 17已知函数已知函数 2 ( )()f xxax aR. . （1 1）若）若2a，求不等式，求不等式( )3f x
21、的解集；的解集； （2 2）若）若1,)x时，时， 2 ( )2f xx 恒成立，求恒成立，求a的取值范围的取值范围. . 【答案】【答案】 （1） |1x x 或3x ； （2）(,4. 【解析】【解析】试题分析： （1）先对不等式移项并因式分解得310 xx，再根据不等 号方向得不等式解集， （2）先化简不等式，并分离 1 2ax x ，转化为求对应函数 最值： minah x，其中 1 2h xx x ，再根据基本不等式求 h x最值，即得a 的取值范围. 第 12 页 共 19 页 试题解析： （1）若 2,3af x 即 2 230,310 xxxx 所以原不等式的解集为 |1x x
22、 或3x （2） 2 2f xx即 1 2ax x 在1,x时恒成立， 令 1 2h xx x ，等价于 minah x在1,x时恒成立， 又 11 244h xxx xx ，当且仅当 1 x x 即1x 等号成立，所以4a. 故所求a的取值范围是,4. 18已知平面向量已知平面向量 3 4 , 5 5 a ， 2 | 2 b ，a与与b夹角为夹角为 4 . . （1 1）求）求向量向量a在在b方向上的投影；方向上的投影； （2 2）求）求a b 与与ab夹角的余弦值夹角的余弦值. . 【答案】【答案】(1) 2 2;(2) 5 5 . 【解析】【解析】试题分析：(1)由向量数量积的几何意义可
23、求向量a在b方向上的投影; (2)由向量夹角公式可求a-b与a+b的夹角的余弦值 试题解析：(1)|a|=|( 3 4 , 5 5 )|=1 向量a在b方向上的投影为acos= a ?b b = 2 2 (2)cos= abab ab ab |a-b| 2=|a | 2+| b| 2-2ab = 1 2 ,|a b |= 2 2 . |a b | 2=|a | 2+|b | 2+2 ab= 5 2 ,|a b |= 10 2 (a b )(a b )=a 2-b2=1 2 第 13 页 共 19 页 cos= abab ab ab = 5 5 . 19已知数列已知数列 n a是等比数列，数列是
24、等比数列，数列 n b是等差数列，且满足：是等差数列，且满足： 11232 1,4abbba， 32 35ab . . （1 1）求数列）求数列 n a和和 n b的通项公式；的通项公式； （2 2）设）设 nnn cab，求数列，求数列 n c的前的前n项和项和 n S. . 【答案】【答案】 （1） 1 2, n n an N;21, n bnn N（2） 2 21 n n Sn 【解析】【解析】(1)根据等差数列和等比数列的通项公式得到 2 432, 32, qd qd 2dq ， 根据通项公式的求法得到结果； （2） 1 221 n nnn cabn 分组求和即可. 【详解】 （1）设
25、 n a的公比为q, n b的公差为d,由题意0q , 由已知,有 2 (1)(1 2 )4 , 3(1)5, ddq qd 即 2 432, 32, qd qd 2 4402qqdq 所以 n a的通项公式为 1 2, n n an N, n b的通项公式为21, n bnn N. （2） 1 221 n nnn cabn ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列 求和公式得到： 2 1 2(1 21) 21 1 22 n n n nn Sn . 【点睛】 这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法； 数列通项的求法中有常 见的已知 n S和 n a的关系，求 n a表达式
26、，一般是写出 1n S 作差得通项，但是这种方法需 要检验 n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和 等 20如图，已知如图，已知 1 AA 平面平面 11 ,ABC BBAA 3,2 5,ABACBC 11 7,2 7AABB，点，点E为为BC的中的中 点点. 第 14 页 共 19 页 （1）求证：平面）求证：平面 1 AEA 平面平面 1 BCB； （2）求直线）求直线 11 AB与平面与平面 1 BCB所成角的大小所成角的大小. 【答案】【答案】 1证明见解析； 2 6 【解析】【解析】(1)由已知可得AEBC,因为 1 AA 平面ABC, 11 BBA
27、A,所以 1 BB 平面 ABC,从而 1 BBAE.故AE平面 1 BCB,所以平面 1 AEA 平面 1 BCB； (2)取 1 BB中点M和BC中点N,连接 11 ,AM AN NE,可证四边形 1 ANEA为平行四边 形,则 1 ANAE,且 1 2ANAE,可证 11 AB N为直线 11 AB与平面 1 BCB所成的角. 又因为 1 AMAB, 1 ABBB,有 11 AMBB.故可求出 11 AB,在在 11 Rt ANB 中, 1 11 11 1 sin 2 AN AB N AB ,即可得到直线 11 AB与平面 1 BCB所成角. 【详解】 解：(1)因为ABAC,E为BC的
28、中点.,所以AEBC. 因为 1 AA 平面ABC, 11 BBAA,所以 1 BB 平面ABC, 从而 1 BBAE. 又因为 1 BCBBB,所以AE平面 1 BCB, 又因为AE 平面 1 AEA,所以平面 1 AEA 平面 1 BCB； (2)取 1 BB中点M和BC中点N,连接 11 ,AM AN NE. 因为N和E分别为 1 BC和BC的中点,所以 11 1 , 2 NEBB NEBB（中位线定理）, 第 15 页 共 19 页 故 11 ,NEAA NEAA,故四边形 1 ANEA为平行四边形, 所以 1 ANAE,且 1 ANAE, 又因为面AE平面 1 BCB,所以 1 AN
29、 平面 1 BCB, 从而 11 AB N为直线 11 AB与平面 1 BCB所成的角. 在ABC中,可得2AE ,所以 1 2ANAE, 因为 1 BMAA, 1 BMAA, 所以四边形 1 AABM是平行四边形 所 1 AMAB, 1 AMAB, 又由 1 ABBB,得 11 AMBB, 在 11 Rt AMB中, 22 1111 4ABBMAM , 在 11 Rt ANB中, 1 11 11 1 sin 2 AN AB N AB , 因此 11 30AB N. 所以直线 11 AB与平面 1 BCB所成角为 6 . 【点睛】 本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的
30、角等基础知识考 查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 第 16 页 共 19 页 21已知已知ABC的内角的内角 A，B，C的对边分别为的对边分别为 a， ，b，c，且，且 cos2 cos Cbc Aa . （1）求角）求角 A. （2）若）若ABC为锐角三角形，且为锐角三角形，且 22 2bcabc，求，求bc的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1） 3 ； （2）2 3,4 . 【解析】【解析】 （1）在ABC中， cos2 cos Cbc Aa ，由正弦定理得 cossin2sin cossinsin CCB AAA ， 然后结合两角和的正弦公式得到 1 cos 2 A
31、求解. （2）由 3 A 利用余弦定理 222 1 cos 22 bca A bc ，结合 22 2bcabc，解 得2a，然后利用正弦定理将边转化为角，即 44 sin,sin 33 bB cC ，则 44 sinsin4sin 633 bcBCB ，然后结合ABC为锐角三角形，利用 正弦函数的性质求解. 【详解】 （1）在ABC中， cos2 cos Cbc Aa ， 由正弦定理得 cossin2sin cossinsin CCB AAA ， sincoscossin2sin cossinsin ACACB AAA sin2sin cossinsin ACB AAA ， 1 cos 2 A
32、， 由0A得， 3 A ， （2）由 3 A 知， 222 1 cos 22 bca A bc ，得 222 bcbca， 又 22 2bcabc， 2 20aa， 2a， 由正弦定理 24 sinsinsin3 sin 3 abc ABC ， 第 17 页 共 19 页 则 44 sin,sin 33 bB cC ， 4444 sinsinsinsin4sin 363333 bcBCBBB ， 由ABC为锐角三角形，则 2 0,0 232 BB ，得 62 B ， 4sin2 3,4 6 bcB ， 即bc的取值范围为2 3,4 . 【点睛】 本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，两角和与差
33、的三角函数以及三角形周长范围 问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22设数列设数列 n a的前的前n项和为项和为 n S， 1 1 221, n nn SanN 且且 1,23 5,a aa 成等差成等差 数列数列 （1 1 证明证明1 2 n n a 为等比数列，并求数列为等比数列，并求数列 n a的通项；的通项； （2 2）设）设 3 log (2 ) n nn ba，且，且 1 22 3314 1111 . n n n T bbb bbbb b ，证明，证明1 n T （3 3）在（）在（2 2）小问的条件下，若对任意的）小问的条件下，若对任意的 * nN，不等式，不等式 (1)
34、(2)60 nn bnn b 恒成立，试求实数恒成立，试求实数 的取值范围的取值范围. . 【答案】【答案】 （1）32 nn n a ； （2）见解析； （3）1,). 【解析】【解析】试题分析：当2n时，由 1 1 1 221 221 n nn n nn Sa Sa ，作差可得 1 22 , n nnn aaa 两边同时除以 1 2n即可构造新数列求解了； （2）由（1）有 n bn，即可采用裂项相消的方法求和得 1 1 1 n T n 即可证明 ； （3）1260 nn bnn b 恒成立时，即 2 11 260nn （ * nN）恒成立，令 2 11 26f nnn，讨论求解即可. 试
35、题解析： （1）在 1* 1 221, n nn SanN 中 第 18 页 共 19 页 令1n ，得 2 12 221,Sa即 21 23aa， 令2n，得 3 23 221,Sa即 31 613aa， 又 213 25aaa， 则由解得 1 1a ， 2 5a 当2n时，由 1 1 1 221 221 n nn n nn Sa Sa ，得到 1 22 , n nnn aaa 则 1 1 3 11 22 2 nn nn aa 又 2 5a ，则 21 21 3 11 22 2 aa 1 2 n n a 数列是以 3 2 为首项， 3 2 为公比的等比数列， 1 33 1 222 n n n
36、 a ，即32 nn n a （2） 3 log2n nn ba，则 3 log 3n n bn 则 1111111111 .1. 1 22 33 4122331 n T nnnn 1 1 1n 1 n T. （3）当1 260 nn bnn b 恒成立时，即 2 11 260nn （ * nN ）恒成立. 设 2 11 26f nnn（ * nN） ， 当1时， 60f nn 恒成立，则1满足条件； 当1时，由二次函数性质知不恒成立； 当1时，由于对称轴x 12 0 1 ，则 f n在1,上单调递减， 1340f nf恒成立，则1满足条件， 第 19 页 共 19 页 综上所述，实数 的取值范围是1,.
