1、第 1 页 共 19 页 2019-2020 学年重庆市渝北区、合川区、江北区等七区高一下学年重庆市渝北区、合川区、江北区等七区高一下 学期期末数学试题学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1已知已知AB，AC， 1B ，2，3，5，0C ，2，4，8，则，则A可以是（可以是（ ） A1，2 B2，4 C2 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】先根据AB，AC可知()ABC，然后求出BC，最后求出所求 满足条件的A，最后得到结论 【详解】 AB，AC， ()ABC 1B ，2，3，5，0C ，2，4，8， 2BC 而()ABC则2A 或. 故选：C 【点睛】 本题主要考查了集合的包含关
2、系判断及应用，以及函数子集的运算，同时考查了分析问 题的能力，属于集合的基础题 2设设 a，b，c 为实数，为实数，f（x）=（x+a） （） （x2+bx+c） ，） ，g（x） ）=（ax+1） （） （cx2+bx+1） 记） 记 集合集合 S=x|f（x）=0，xR，T=x|g（x）=0，xR若若S，T分别为集合分别为集合 S，T 的的 元素个数，则下列结论不可能的是（元素个数，则下列结论不可能的是（ ） AS=1 且且T=0 BS=1 且且T=1 CS=2 且且T=2 DS=2 且且T=3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】f（x）=（x+a） （x2+bx+c） ，当 f（x）=
3、0 时至少有一个根 x=a 当 b24c=0 时，f（x）=0 还有一根 只要 b2a，f（x）=0 就有 2 个根；当 b= 2a，f（x）=0 是一个根 当 b24c0 时，f（x）=0 只有一个根； 当 b24c0 时，f（x）=0 只有二个根或三个根 第 2 页 共 19 页 当 a=b=c=0 时S=1，T=0 当 a0，b=0，c0 时，S=1 且T=1 当 a=c=1，b=2 时，有S=2 且T=2 故选 D 3下列下列 4 个命题中正确命题的个数是（个命题中正确命题的个数是（ ） ） 已知已知a，b表示直线，表示直线，表表示平面，若示平面，若/a，/b，则，则/ab； ABC中
4、，若中，若AB，则，则sinsinAB； 若平面向量若平面向量a，b，c，满足，满足 / /ab， ， / /bc，则存在 ，则存在a，c不共线；不共线； 等差数列等差数列 n a中，中， n am，() m an mn，则，则0 m n a A4 个个 B3 个个 C2 个个 D1 个个 【答案】【答案】B 【解析】【解析】对于由线面平行的性质知：a与b不一定平行，故错误；对于，运用三 角形的边角关系和正弦定理可判断正确；对于，由于向量的平行不满足传递性，故 正确；对于，由等差数列的性质和通项公式可知正确从而得到正确的答案 【详解】 对于，当/a，/b时，a与b也可能相交或异面，故错误； 对
5、于，在ABC中，2 sin2 sinsinsin(ABabRARBAB R为 ABC的外接圆的半径） ，故正确； 对于，若平面向量a，b，c，满足 / /ab，/ /bc，当0b 时，a与c可以不共线， 故正确； 对于，由 n am，() m an mn公差1 nm aamn d nmnm ， 0 m nm aandnn ，故正确 故选：B 【点睛】 本题主要考查线面平行的性质、正弦定理与三角形的边角关系、向量共线及等差数列的 性质、通项公式等知识点，属于中档题 4某食品加工厂某食品加工厂2019年获利年获利20万元，经调整食品结构， 开发新产品计划从万元，经调整食品结构， 开发新产品计划从2
6、020年 年 开始每年比上一年获利增加开始每年比上一年获利增加20%，则从（，则从（ ）年开始这家加工厂）年开始这家加工厂年获利超过年获利超过60万万 元 （已知元 （已知lg 20.3010，lg 30.4771） 第 3 页 共 19 页 A2024年年 B2025年年 C2026年年 D2027年年 【答案】【答案】C 【解析】【解析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得 出关于n的不等式，解出n的值，注意其中对数式的计算 【详解】 由题意，设从2019年开始，第n年的获利为 n an N万元， 则数列 n a为等比数列，其中2019年的获利为首项，即 1
7、 20a . 2020年的获利为 2 6 20 120%20 5 a 万元， 2021年的获利为 2 2 3 6 20 120%20 5 a 万元， 数列 n a的通项公式为 1 6 20 5 n n nNa ， 由题意可得 1 6 2060 5 n n a ，即 1 6 3 5 n ， 6 5 lg3lg3lg3lg30.4771 1log 3 610 lg6lg52lg2lg3 12 0.30100.4771 1 lglg 2 3lg 52 n 6.03166， 8n ， 从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元 故选：C 【点评】 本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数
8、列的通项公式，不等式的计 算，对数运算属于中档题 5 若两个正实数若两个正实数x，y满足满足 41 1 xy ， 且， 且 2 46xymm恒成立， 则实数恒成立， 则实数m 的取值范围是的取值范围是 A( 8,2) B (,8)(2,) C( 2,8) D(, 2)(8,) 【答案】【答案】C 第 4 页 共 19 页 【解析】【解析】由 41 4(4)()xyxy xy ，展开后利用基本不等式即可得解. 【详解】 因为两个正实数x，y满足 41 1 xy 所以 1641 4(4)()882 1616 yx xyxy xyxy ， 当且仅当 16 yx xy 时取等号， 又 2 46xymm
9、恒成立，故 2 166mm ， 解得( 2,8)m 故选 C 【点睛】 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式 中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等 号取得的条件)的条件才能应用 6不等式不等式 2 5 2 (1) x x 的解集是（ 的解集是（ ） A 1 3, 2 B 1 ,3 2 C 1 ,1)(1,3 2 D 1 ,1)(1,3 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】可采用去分母的办法进行求解. 【详解】 因为 2 5 2 (1) x x ，所以 2 5 2(1)xx且10 x ， 所以 2 25
10、3 0 xx 且10 x ，所以 1 3 2 x剟且1x ， 所以不等式的解集为 1 ,1)(1,3 2 故选：D 【点睛】 本题考查分式不等式的解法，注意分母不为 0，属基本题 7如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为 6，点 ，点E，F分别在边分别在边AD，BC上，且上，且2DEAE， 第 5 页 共 19 页 2CFBF若有若有 (7,16)，则在正方形的四条边上，使得，则在正方形的四条边上，使得PE PF 成立的点成立的点P 有（有（ ）个）个 A2 B4 C6 D0 【答案】【答案】B 【解析】【解析】建立坐标系，逐段分析 PE PF的取值范围及对应的解 【详解】 以 DC
11、为 x 轴，以 DA为 y轴建立平面直角坐标系，如图，则0,4 ,6,4EF， （1）若 P 在 CD上，设( ,0),06P xx， (,4),(6,4)PExPFx ， 2 616PE PFxx ， 0,6,716xPE PF ， 当 =7时有一解，当716时有两解； （2）若 P 在 AD上，设(0, ),06Pyy， (0,4),(6,4)PEy PFy， 22 (4)816PE PFyyy， 06,016yPE PF， 第 6 页 共 19 页 当=0或4 16时有一解，当716时有两解； （3）若P在AB上，设( ,6),06P xx， (, 2),(6, 2)PExPFx ， 2
12、 64PE PFxx ， 06,54xPE PF ， 当 5或4时有一解，当54 时有两解； （4）若P在BC上，设(6, ),06Pyy， ( 6,4),(0,4)PEy PFy ， 22 (4)816PE PFyyy， 06y， 016PE PF ， 当0或4 16时有一解，当04时有两解， 综上可知当(7,16)时，有且只有 4 个不同的点P使得PE PF 成立. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题 8 函数函数 2 ( )sin22 3cos3f xxx，( )cos(2)23 (0) 6 g xmxmm ， 若对任意若对任意 1
13、 0, 4 x ，存在，存在 2 0, 4 x ，使得，使得 12 ( )()g xf x成立，则实数成立，则实数m m的取值的取值 范围是（范围是（ ） A 4 (1, ) 3 B 2 (,1 3 C 2 ,1 3 D 4 1, 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 22 22 3323 21f xsin xcos xsin xcos x（ ）（） 13 23222222 223 sin xcos xsin xcos xsinx （）（）， 当0, 4 x 时， 55 22112 3366 min xf xsinf x ， （ ）， （ ）， 对于2230 6 g xmcosxmm （
14、）（）（ ）， 第 7 页 共 19 页 22 36662 m xmcosxm ， ，（）， 3 33 2 g xmm （ ）， 对任意 1 0, 4 x ，存在 2 0, 4 x ，使得 12 g xf x成立， 3 31 2 32 m m ，解得实数m的取值范围是 4 1, 3 故选 D 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用 集合关系是解决问题的关键， 9设集合设集合 2 |430Ax xx ， |230Bxx ，则，则=AB （ ） A 3 (1, ) 2 B(1,) C(1,3) D 3 ( 2 ，3) 【答案】【答案】B 【解析】【解析】先求出
15、集合A，B，然后进行并集的运算即可. 【详解】 3 |13, | 2 AxxBx x， (1,)AB 故选：B 【点睛】 本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能 力，属于基础题 10已知在已知在ABC中，角中，角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a， ，b，c，且，且6a，点，点O为为 其外接圆的圆心其外接圆的圆心. .已知已知 15BO AC ， 则当角， 则当角C取到最大值时取到最大值时ABC的面积为 （的面积为 （ ） A3 5 B2 5 C30 D5 6 【答案】【答案】A 【解析】【解析】设AC中点为D，则利用向量的加法得到BO BDDO ，
16、而 1 2 BDBCBA，AC BCBA ，以此求出6c 然后利用余弦定理和不等 式确定 C 最大时 b值，利用勾股定理确定直角三角形后得出面积 【详解】 第 8 页 共 19 页 设AC中点为D，则BO ACBDDOAC BD AC 1 2 BCBABCBA 2 2 11 22 BCBA， 22 11 15 22 ac，即 6c ， 由ca知角C为锐角，故 222 cos 2 abc C ab 2 30130 1212 b b bb 13030 2 126 b b ， 当且仅当 30 b b ，即 30b 时cosC最小，又 cosyx 在0, 2 递减，故C最大. 此时，恰有 222 ab
17、c，即ABC为直角三角形， ABC 1 3 5 2 Sbc，故选A. 【点睛】 本题考查了向量的加法减法运算，余弦定理，不等式，勾股定理，比较综合 11给出以下命题，其中正确的命题的个数是（给出以下命题，其中正确的命题的个数是（ ） 存在两个不等实数存在两个不等实数, ，使得等式，使得等式sin()sinsin成立；成立； 若数列若数列 n a是等差数列， 且是等差数列， 且(*) mnst aaaa mnstN、 、 、， 则， 则mnst ； ； 若若 n S是等比数列是等比数列 n a的前的前 n 项和，则项和，则 61261812 S ,SS SS成等比数列；成等比数列； 若若 n S
18、是等比数列是等比数列 n a的前的前 n 项和，且项和，且 * (,) n n SAqBABnN其中 、 是非零常数，则，则0AB； 已知已知ABC的三个内角的三个内角, ,A B C所对的边分别为所对的边分别为, ,a b c，若，若 222 abc，则，则ABC 一定是锐角三角形；一定是锐角三角形； A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个 个 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 试题分析： 取, ， 显然等式成立， 命题正确， 当公差0d 时， 显然命题不正确,例如 1234 aaaa，1 23 4 当 1 1,1aq 时， 61261812 S0SSSS，命题错误，因为 * (,
19、) n n SAqBABnN其中 、 是非零常数，所以1q ，此时 第 9 页 共 19 页 1111 111 n n n aa qaa Sq qqq ，所以 11 , 11 aa AB qq ，从而0AB，命题正 确，由 222 abc，得：cos0C ，C是锐角，不能推出ABC一定是锐角三角 形，命题错误，故选 B 【考点】1、等差数列通项公式；2、等比数列前 n 项和；3、余弦定理 12已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且满足，且满足 2 11 1,0,441 nnn aaaSn ，若不，若不 等式等式 2 483(5)2n n nnma对任意的正整数对任意的正整数
20、n恒成立，则整数恒成立，则整数m的最大值为的最大值为 ( )( ) A3 B4 C5 D6 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由 2 1 441 nn aSn 知 2 1 44(1) 1 nn aSn ，两式相减可得 1 2 nn aa ，数列 n a是等差数列，求出通项公式代入 2 483(5)2n n nnma， 转化为 23 5 2n n m 对任意的正整数恒成立， 利用数列的单调性， 求得当3n时， n b 取得最大值 3 8 ，即可求解. 【详解】 由题意，数列满足 2 1 441 nn aSn ，则当2n时， 2 1 44(1) 1 nn aSn ， 两式相减可得 22 11 4
21、()444 nnnnn aaSSa ， 所以 222 1 44(2) nnnn aaaa ，又由0 n a ，所以 1 2 nn aa ， 即 1 2 nn aa ，所以数列 n a表示首项 1 1a ，公差为 2 的等差数列， 所以 * 21() n annN， 因为 2 483(5)2n n nnma，所以 2 483(5)2(21) n nnmn ， 即(23)(21)(5)2(21) n nnmn， 则(23)(5)2nnm对任意的正整数恒成立， 又20 n ，所以 23 5 2n n m 对任意的正整数恒成立， 设 23 2 n n n b ，则 1 11 212325 222 nn
22、 nnn nnn bb ， 所以 12334 , n bbb bbb，当3n时， n b最大,此时最大值为 3 8 ， 第 10 页 共 19 页 所以5 3 8 m，即 337 8 5 8 m ，所以m的最大整数为 4，故选B. 故选：B 【点睛】 本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解， 属于较难题. 二、填空题二、填空题 13若若A x xa，6Bx x，且，且AB，则实数，则实数a的取值范围是的取值范围是_. 【答案】【答案】6, 【解析】【解析】 由AB得到集合A的范围要比集合B的小或者与集合B一样， 从而得到a的 取值范围. 【详解】 因为Ax
23、xa，6Bx x，且AB 所以集合A的范围要比集合B的小或者与集合B一样， 故a的取值范围是6, 【点睛】 本题考查由子集关系求参数的范围，属于简单题. 14给出下列四个命题：给出下列四个命题： 正切函数正切函数 tanyx 在定义域内是增函数；在定义域内是增函数； 若函数若函数( )3cos(2) 6 f xx ，则对任意的实数，则对任意的实数x都有都有 55 ()() 1212 fxfx ； 函数函数 cossin ( ) cossin xx f x xx 的最小正周期是的最小正周期是； cos()yx与与cosyx的图象相同的图象相同. . 以上四个命题中正确的有以上四个命题中正确的有_
24、（填写所有正确命题的序号）（填写所有正确命题的序号） 【答案】【答案】 【解析】【解析】利用反例证明命题错误；先判断 5 12 x 为其中一条对称轴；( )f x通过 恒等变换化成( )tan() 4 f xx ；对两个解析式进行变形，得到定义域和对应关系 均一样. 第 11 页 共 19 页 【详解】 对， 当 12 3 0, 4 xx ， 显然 12 xx ， 但 12 tan0,tan1xx ， 所以 12 tantanxx， 不符合增函数的定义，故错； 对，当 5 12 x 时， 55 ()3cos()3 1266 f ，所以 5 12 x 为( )f x的一条对称 轴，当 1 x取
25、5 () 12 x ， 2 x取 5 () 12 x 时，显然两个数 12 ,x x关于直线 5 12 x 对称，所 以 12 ( )()f xf x，即 55 ()() 1212 fxfx 成立，故对； 对， 2sin() cossin 4 ( )tan() cossin4 2cos() 4 x xx f xx xx x ，T，故对； 对，因为cos()cosyxx，cosyx cos ,0, cos cos(),0, x x x x x ，两个函数的 定义域都是R，解析式均为( )cosf xx，所以函数图象相同，故对. 综上所述，故填：. 【点睛】 本题对三角函数的定义域、值域、单调性、
26、对称性、周期性等知识进行综合考查，求解 过程中要注意数形结合思想的应用. 15设设M是是ABC内一点，内一点，2 3,30AB ACBAC，定义，定义 ( )( , , )f xm n p ， 其中其中 , ,m n p分别是 分别是,MBCMACMAB的面积，若的面积，若 1 ( )( , , ) 2 f Qx y，则，则 14 xy 的的 最小值是最小值是 【答案】【答案】18 【解析】【解析】 【详解】试题分析：根据已知条件可知，2 3,30AB ACBAC，那么 由于|? |cos2 3,|? |4,30AB ACABACBACABACBAC，则结合 三角形的面积公式可知 ，n+m+p
27、=,那么 111 ( )( , , )1 222 f Qx yxyxy 因此可知 14144 2()()2(5)2(54)18 yx xy xyxyxy ，可知其最小值为 18. 第 12 页 共 19 页 【考点】本试题考查了下来的数量积以及三角形的面积的运用 点评：解决该试题的关键是利用向量的数量积公式来得到三角形的面积的表示，然后利 用 m,n,p 和为三角形的面积，得到 x,y的和为定值，运用均值不等式求解最值，属于中 档题 16若对任意的若对任意的 1,4x ，存在实数，存在实数a，使，使 2 2 (,0)xaxbx aR b恒成立，则恒成立，则 实数实数b的最大值为的最大值为_ 【
28、答案】【答案】9 【解析】【解析】 分析：对任意的 x1，5， 存在实数 a， 使 2 2(,0 )xa x bxa Rb 恒成立，2x2 b a x 令 f（x）= b x x +a，x1，4（b 0）f（x）=1 2 b x = 2 2 xb x = 2 xbxb x 对 b分类讨论，利用导数研 究函数的单调性极值与最值即可得出 详解：对任意的1,4x，存在实数a，使 2 2 (,0)xaxbx aR b恒成立， 即2x2 b a x 令 f（x）= b x x +a，x1，4（b0） f（x）=1 2 b x = 2 2 xb x = 2 xbxb x 对 b分类讨论： b4时，函数 f
29、（x）在 x1，4上单调递减： f（1）=1+a+b2，f（4）=4+ 4 b +a 2 ，即 12 42 4 ab b a ，解得 28 b 3 ，舍去 1b4 时，函数 f（x）在 x1， b）上单调递减，在（b，4上单调递 增f（ b）=2b+a=2，f（4）=4+ 4 b +a2，f（1）=1+a+b2， 其中必有一个取等号，解得 b=9，a=8 0b1 时，不必要考虑 综上可得：b的最大值为 9 故答案为 9 点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论方法， 第 13 页 共 19 页 考查了推理能力与计算能力，属于难题 三、解答题三、解答题 17对于集合对于集合
30、 1 * 122 ,N ,N nm Aa aaBb bbnm . |,ABxy xA yB.集合集合A中的元素个数记为中的元素个数记为A.规定：若集合规定：若集合A满足满足 1 2 n n AA ，则称集合，则称集合A具有性质具有性质T . （1）已知集合）已知集合1,3,5,7A， 1 2 4 8 , 3 3 3 3 B ，写出，写出,AA BB，并求出此时，并求出此时 ,AA BB的值；的值； （2）已知）已知,A B均有性质均有性质T，且，且nm，求，求AB的最小值的最小值. 【答案】【答案】 （1） ，2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 , 1 4AA， 24 5810
31、16 ,1,2,3,4, 33 3333 BB ， 所以7,10AABB； （2） 1 2 n n . 【解析】【解析】 （1）根据AB的定义求得,AA BB，根据A的定义求得,AA BB. （2）集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同，则任意两个不同元素之 差的绝对值均不相同，由此构造 * |,Axy xA yA xy并求得 * 1 2 n n A .求得A B的表达式，结合绝对值的性质求得AB的最小值. 【详解】 （1） 由题意知，2,4,6,8,10,12,14AA， 24 581016 ,1,2,3,4, 33 3333 BB ， 所以7,10AABB. （2）由题意，集合A
32、具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同. 如，对于任意的abcd ，有adbc， 等价于dcba，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同. 令 * |,Axy xA yA xy， 由A具有性质T * 11 22 n nn n AAA . 第 14 页 共 19 页 因为集合,A B均有性质T，且nm， 所以 2*2 11 22 n nn n ABnABn ，当且仅当AB时等号成立. 所以AB的最小值为 1 2 n n . 【点睛】 本小题主要考查新定义集合的理解和应用，属于难题. 18设设，为两两不重合的平面，为两两不重合的平面，l，m， ，n为两两不重合的直线，判断下列为两两不重合的直线
33、，判断下列 命题的正误，并画图说明理由：命题的正误，并画图说明理由： （1）若）若 ，则，则/ /； （2）若）若m，n，/ /m，/ /n，则，则/ /； （3）若）若/ /，l，则，则l/； （4）若）若 l ， m ，nI，/ /l，则，则/mn 【答案】【答案】答案见解析. 【解析】【解析】根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理逐一判断每个选项即可 【详解】 解： （1）错误，如图所示， ，但； （2）错误，m，n，/ /m，/ /n，但与相交； （3）正确，由面面平行的性质定理可知，若/ /，l，则l/； 第 15 页 共 19 页 （4）正确，由线面平行的性质定理即可判断 【
34、点睛】 本题考查空间中线面的位置关系， 熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解 题的关键，考查学生的空间立体感和作图能力，属于基础题 19若不等式若不等式 2 40axbx的解集为的解集为 12xx （1）求）求, a b值值 （2）求不等式）求不等式 1 1 1 bx ax 的解集的解集. 【答案】【答案】 （1）2,6ab； （2） 1 1 , 2 2 . 【解析】【解析】 （1）根据不等式 2 40axbx的解集为 12xx，则 1，2 为方程 2 40axbx的两根，由 4 22 ab ab 求解. （2）由（1）知不等式 1 1 1 bx ax ，即为 61 1 21 x x
35、 ，然后利用分式不等式的解法求解. 【详解】 21 210 xx 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解法及应用，分式不等式的解法，还考查了转化求解问 题的能力，属于中档题. 20已知关于已知关于x的不等式的不等式 2 230axxaR . （1）若）若1a ，求不等式的解集；，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为）若不等式的解集为13xx ，求，求a的值的值. 【答案】【答案】 （1）13xx （2）1a 【解析】【解析】 （1）将1a 代入，利用一元二次不等式的解法即可求解. （2）根据不等式的解集确定方程 2 230axx的根，再利用韦达定理即可求解. 【详解】 第 16 页 共
36、19 页 解： （1）1a 时，不等式 2 230axx即为 2 230 xx， 它等价于130 xx，则13x- . 1a=时，原不等式的解集为 13xx . （2）不等式 2 230axx的解集为 13xx ， 0a ，且 1 1x ， 2 3x 是关于x的方程 2 230axx的根. 12 12 0 2 2 3 3 a xx a xx a ，1a=. 【点睛】 本题考查了一元二次不等式的解法、 由一元二次不等式的解求参数的取值， 属于基础题. 21设设, a bR，若函数，若函数 f x定义域内的任意一个定义域内的任意一个x都满足都满足 22f xfaxb， 则函数则函数 f x的图象关
37、于点的图象关于点, a b对称；反之，若函数对称；反之，若函数 f x的图象关于点的图象关于点, a b对称，对称， 则函数则函数 f x定义域内的任意一个定义域内的任意一个x都满足都满足 22f xfaxb.已知函数已知函数 53 1 x g x x . （）证明：函数）证明：函数 g x的图象关于点的图象关于点1,5对称；对称； （） 已知函数） 已知函数 h x的图象关于点的图象关于点1,2对称， 当对称， 当0,1x时，时， 2 1xmxmhx. 若对任意的若对任意的 1 0,2x ，总存在，总存在 2 2 ,1 3 x ，使得，使得 12 h xg x成立，求实数成立，求实数m的的
38、取值范围取值范围. 【答案【答案】 （）证明见解析（）1,3 【解析】【解析】 （）根据题意计算 2g xgx 可得； （）首先求出 g x的值域，若对任意的 1 0,2x ，总存在 2 2 ,1 3 x ，使得 12 h xg x成立，则函数 h x值域为函数 g x的值域的子集，再利用二次函数的 性质分类讨论可得. 第 17 页 共 19 页 【详解】 （） 53 1 x g x x ，, 11,x ， 57 2 1 x gx x . 2 5357 10 11 xx x g xgx x . 即对任意的, 11,x ，都有 210g xgx 成立. 函数 g x的图象关于点 1,5对称. （
39、） 532 5 11 x x g x x ，易知 g x在 2 ,1 3 上单调递增. g x在 2 ,1 3 x 时的值域为1,4. 记函数 yh x，0,2x的值域为A. 若对任意的 1 0,2x ，总存在 2 2 ,1 3 x ，使得 12 h xg x成立，则 1,4A . 0,1x时， 2 1xmxmhx， 12h，即函数 h x的图象过对称中心1,2. （i） 当0 2 m ， 即0m时， 函数 h x在0,1上单调递增.由对称性知， h x在1,2 上单调递增. 函数 h x在0,2上单调递增. 易知 01hm.又 024hh， 23hm ，则1,3Amm. 由1,4A ，得 1
40、1 43 0 m m m ，解得10m . （ii）当01 2 m ，即02m时，函数 h x在0, 2 m 上单调递减，在,1 2 m 上单 调递增. 第 18 页 共 19 页 由对称性，知 h x在1,2 2 m 上单调递增，在2,2 2 m 上单调递减. 函数 h x在 0, 2 m 上单调递减，在,2 22 mm 上单调递增，在2,2 2 m 上单调 递减. 结合对称性，知 2 , 0Ahh 或 ,2 22 mm Ahh . 02m， 011,3hm . 又 024hh， 231,3hm . 易知 2 11,2 24 mm hm .又 24 22 mm hh ， 22,3 2 m h
41、 . 当02m时， 1,4A 成立. （iii）当1 2 m ，即2m时，函数 h x在0,1上单调递减. 由对称性，知 h x在1,2上单调递减. 函数 h x在0,2上单调递减. 易知 01hm.又 024hh， 23hm ，则3,1Am m. 由1,4A ，得 13 41 2 m m m .解得23m . 综上可知，实数m的取值范围为1,3. 【点睛】 本题考查函数新定义，含参二次函数的值域问题，典型的动轴定区间问题，考查分类讨 论思想，属于难题. 22已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 万美元，每生产
42、1 万部万部 还需另投入还需另投入 16 万美元万美元.设该公司一年内共生产该款手机设该公司一年内共生产该款手机 x万部并全部销售完，每万部的万部并全部销售完，每万部的 第 19 页 共 19 页 销售收入为销售收入为 R(x)万美元，且万美元，且 2 4006 ,040 ( ) 740040000 ,40 xx R x x xx ， （1）写出年利润）写出年利润 W(万美元万美元)关于年产量关于年产量 x(万部万部)的函数解析式；的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最
43、 大利润大利润. 【答案】【答案】 （1） 2 638440,040 40000 167360,40 xxx W xx x W； （2）当 x32时，W取得最大 值为 6104 万美元. 【解析】【解析】 （1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式； （2）分段求出函数的最大值，比较可得结论 【详解】 （1）利用利润等于收入减去成本，可得 当040 x 时， 2 ( )(1640)638440WxR xxxx； 当40 x时， 40000 ( )(1640)167360WxR xxx x 2 638440,040 40000 167360,40 xxx W xx x ； （2）当040 x 时， 22 6384406(32)6104Wxxx， 32x 时， (32)6104 max WW ； 当40 x时， 4000040000 1673602167360Wxx xx ， 当且仅当 40000 16x x ，即50 x时，(50)5760 max WW 61045760 32x 时，W的最大值为 6104万美元 【点睛】 本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问 题的能力，属于中档题.
