1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学试题数学试题 一、一、 选择题（每小题选择题（每小题 5 5 分共分共 6060 分）分） 1. 在一组样本数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） （n2，x1,x2,xn不全相等）的散点 图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,n)都在直线 y= 1 2 x+1 上，则这组样本数据的样本相 关系数为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 所有样本点（xi，yi） （i=1，2，n）都在直线 1 1 2 yx上，故这组样本数据完全正相关， 故其相关系数为
2、1. 【详解】由题设知，所有样本点（xi，yi） （i=1，2，n）都在直线 1 1 2 yx上， 这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1，故选 D. 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为 1. 2. 某中学有高中生 3 500 人，初中生 1 500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法 从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则n为( ) A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 【答案】A 【解析】 试题分析：根据已知可得： 70 100 3500 15003500 n n ，故选择 A 考点：分层抽样 3.
3、对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示） ，则该样 本的中位数、众数、极差分别是 （ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - A. 46，45，56 B. 46，45，53 C. 47，45，56 D. 45，47，53 【答案】A 【解析】 由概念知中位数是中间两数的平均数，即 45+47 =46 2 ，众数是 45，极差为 68-12=56.所以选 A. 点评：此题主要考察样本数据特征概念，要正确地理解样本数据特征的概念以及正确地用 来估计总体. 4. 如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ） A. 3 4 B. 1 6
4、 C. 11 12 D. 25 24 【答案】C 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【解析】 由算法流程图知 s0 1 2 1 4 1 6 11 12 .选 C. 5. 如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取 自ABE 内部的概率等于 A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和 事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答 【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出
5、所求事件的概率为 P= 故选 C 【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的 问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题 型 6. 有一个容量为 200 的样本， 其频率分布直方图如图所示， 根据样本的频率分布直方图估计， 样本数据落在区间10，12）内的频数为（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 每 一 组 的 频 率 等 于 本 组 矩 形 的 面 积 ， 所 以的 面 积 是 ，所以这组的
6、频数就是，故选 A. 考点：频率分布直方图 7. 若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y=1 相切，则圆C的方程是（ ） A. 22 (2)4xy B. 22 25 (2) 4 xy C. 22 3 (2)()4 2 xy D. 22 325 (2)() 24 xy 【答案】D 【解析】 【分析】 结合圆上点的对称性，可设圆心为2,b，再结合半径相等建立方程组求解即可 【详解】因为圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y=1 相切，可设圆心为2,b，1b， 则圆心到原点的距离等于到1y 这条直线的距离，即 22 21bb ，解得 3 2 b ，则半 径为 5 2 ，圆心为 3 2, 2
7、 ，圆的方程为： 22 325 (2)() 24 xy 故选：D 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 8. 从 1， 2， 3， 4 这四个数中一次随机取两个数， 则其中一个数是另一个的两倍的概率是 （ ） A. 3 4 B. 1 2 C. 2 3 D. 1 3 【答案】D 【解析】 【分析】 列举出所有可能性，结合古典概型公式计算即可 【详解】由题可知，所有可能性有： 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4，符合条件的有 1,2 , 2,4，故其中一个数是另一个的两倍的概率是 21 63
8、 P 故选：D 【点睛】本题考查古典概型的计算，属于基础题 9. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 ybxa中的 b为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 A. 63.6 万元 B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析： 423549263954 3.5,42 44 xy ， 数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程 ybxa中的 b为 9.4， 42=9435+a， a =91， 高考资源网（
9、） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 线性回归方程是 y=94x+91， 广告费用为 6 万元时销售额为 946+91=655 考点：线性回归方程 10. 如图框图，当 x1=6，x2=9，p=8.5 时，x3等于（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 试题分析：从程序框图中得到求 p 的解析式；列出方程，求出 x3的值 解： 解得 x3=8 故选 B 点评：本题考查通过程序框图能判断出框图的功能 11. 已知过点 P(2,2) 的直线与圆 22 (1)5xy相切, 且与直线10axy 垂直, 则 a（ ） A. 1 2 B. 1 C. 2 D
10、. 1 2 【答案】C 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【解析】 【详解】试题分析：设过点 (2,2)P 的直线的斜率为k，则直线方程(22)yk x，即 220kxyk ， 由 于 和 圆 相 切 ， 故 2 |22 | 5 1 kk k ， 得 1 2 k ， 由 于 直 线 220kxyk 与直线10axy ，因此 1 1 2 a ，解得2a，故答案为 C. 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用. 12. 已知圆的方程为 22 40 xyx，直线 (1)yk x 上存在点P，过点P做圆的切线互相 垂直，实数k的取值范围是（ ） A. ,
11、2 2 B. , 2 22 2, C. 2 2,2 2 D. 2 5 2 5 , 55 【答案】C 【解析】 【分析】 先确定圆心和半径，再结合几何关系得出关于k的不等式，即可求解 【详解】 圆的标准方程为： 2 2 24xy， 则圆心为2 0 ,， 半径2r =， 设两切点为,A B， 由题意可得四边形PACB为正方形， 则 22 2PCr ， 所以圆心2 0 ,到直线(1)yk x 的距离dPC，即 2 3 2 2 1 k k ，解得 2 8k ，即 2 2,2 2k 故选：C 【点睛】本题考查由直线与圆的位置关系求参数，转化思想，属于中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5
12、分共分共 2020 分）分） 13. 利用计算机产生 01 之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_ 【答案】 2 3 【解析】 3a10 即 a ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 则事件“3a10”发生的概率为 P= 14. 盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个,若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率为_. 【答案】 3 5 【解析】 【详解】从 5 个球中任选 2 个，共有 2 5 10C 种选法. 2 个球颜色不同，共有 11 32 6C C 种选法. 所以所求概率为 63 105
13、 p . 15. 由正整数组成一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数 据为_.(从小到大排列) 【答案】1,1,3,3 【解析】 【详解】设 1234 xxxx，则 x2+x3=4， 1234 14 24 4 xxxx xx . 2222 22222 1234 1234 (2)(2)(2)(2) 1(2)(2)(2)(2)4 4 xxxx xxxx 因为 1234 ,x x x x为正整数，所以 1234 1,1,3,3xxxx 考点：本题考查平均数与中位数及标准差的求解. 16. 过直线:2 20l xy上一点P作圆： 22 1xy的两条切线的夹角为
14、 60，则点P 的坐标为_ 【答案】2,2 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【详解】设切断为 E、F 60EPF由切线的性质可知30OPF， 因为,OEPE所以 设，由 故点P的坐标为2,2. 【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，以及切线的性质已知 切线往往连接圆心与切点，借助图形构造直角三角形解决问题，培养了学生数形结合的思想， 分析问题，解决问题的能力 三、解答题（写出简要的文字说明及推理计算过程）三、解答题（写出简要的文字说明及推理计算过程） 17. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为 1、2、3、4、
15、5现从一批该 日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 b c （1）若所抽取的 20 件日用品中， 等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件； 求a、 b、c的值 （2）在（1）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件记为x1、x2、x3，等级系数为 5 的 2 件记为y1、 y2现从这五件日用品中任取 2 件（假定每件日用品被取出的可能性相同） ，写出所有可能的 结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率 【答案】 （1）0.1,0.15,0.1abc； （2）所有可能的结果详见解析
16、；概率为 0.4 【解析】 【分析】 （1）根据频数与频率的关系，将频数转化成频率，求出, b c，再根据频率之和为 1 求出a； （2）用列举法写出所有的可能性，再结合古典概型公式求解即可 【详解】 （1）由频率分布表得0.20.451,0.35abcabc， 因为抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，所以 3 0.15, 20 b 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 等级系数为 5 的恰有 2 件，所以 2 0.1 20 c ，从而0.350.1ab c 所以0.1,0.15,0.1.abc （2）从日用品 12312 ,x x x y
17、y中任取两件，所有可能的结果为： 12131112232122313212 ,x xx xx yx yx xx yx yx yx yy y， 设事件A表示“从日用品 12312 ,x x x y y中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事 件为： 12132312 ,x xx xx xy y共 4 个，又基本事件总数为 10，故所求的概率 4 ( )0.4. 10 P A 【点睛】本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用 意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，属于中档题 18. 一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型
18、两种型号,某月的产量如下 表(单位:辆): 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. （1）求z的值. （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中 任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; （3） 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数 高考资源网（）
19、 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 【答案】 （1）400 （2） 7 10 （3）0.75 【解析】 【分析】 （1）由分层抽样按比例运算即可得解； （2）先求出基本事件的个数，再由古典概型的概率公式求解即可； （3）先求出平均数，再求概率即可. 【详解】解： （1）设该厂这个月共生产轿车n辆， 由题意可得 5010 100300n ，即2000n， 则2000(100300)150450600400z ； （2）抽取一个容量为 5 的样本中，有 2 辆舒适型轿车，3 辆标准型轿车，用 12 ,A A表示 2 辆 舒适型轿车
20、， 123 ,B B B表示 3 辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取 2 辆，其中至 少有 1 辆舒适型轿车”， 则在该样本中任取 2 辆的基本事件为 12 ,A A， 11 ,A B， 12 ,A B， 13 ,A B， 21 ,A B， 22 ,A B， 23 ,A B， 12 ,B B， 13 ,B B， 23 ,B B共 10 个， 事件E为 12 ,A A， 11 ,A B， 12 ,A B， 13 ,A B， 21 ,A B， 22 ,A B， 23 ,A B共 7 个， 故 7 ( ) 10 P E ; （3）由题意可得 1 (9.48.69.29.68.79.39.08
21、.2)9 8 x ， 则满足该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共 6 个， 故所求概率为 6 8 ，即0.75. 【点睛】本题考查了分层抽样及平均数求法，重点考查了古典概型概率公式，属中档题. 19. 某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为A类工人） ，另外 750 名 工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂 的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数） （1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？ 高考资源网（） 您身边的高考
22、专家 版权所有高考资源网 - 12 - （2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2： 表 1： 生产能力 分组 100,110 110,120 120130, 130140, 140150, 人数 4 8 x 5 3 表 2： 生产能力分组 110,120 120130, 130140, 140150, 人数 6 y 36 18 先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间 的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接 回答结论） 分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工
23、人和生产能力的平均数 （同一组中的数据用该区间的中点值作代表） 图 1A类工人生产能力的频率分布直方图 图 2B类工人生产能力的频率分布直方图 【答案】 （1）25,75（2）5,15，直方图见解析，B 类123，133.8，131.1 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - （1）先计算抽样比为 1 10 ，进而可得各层抽取人数（2）A类、B类工人人数之比为 250:7501:3，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出x和y即可画出频率分布直 方图，从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小 取每个小矩形的横坐标的中 点乘以对应矩形的面
24、积相加即得平均数. 【详解】 （1）由已知可得：抽样比 101 10010 k ， 故A类工人中应抽取： 1 25025 10 人， B类工人中应抽取： 1 75075 10 人， （2）由题意知48525x，得5x ， 6361875y ，得15y 满足条件的频率分布直方图如下所示： 从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小 48553 105115125135145123 2525252525 A x ， 6153618 115125135145133.8 75757575 B x 2575 123133.8133.1 100100 x A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的
25、平均数以及全工厂工人生产能力的平均数 的估计值分别为 123，133.8 和 131.1 【点睛】本题考查等可能事件、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率 分布直方图求平均数等知识、考查运算能力 20. 某种产品的广告支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应关系 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （1）假定y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程 （2）若实际销售额不少于 60 百万元，则广告支出应该不少于多少？ 参考数据： 55 2 11 145,1380 iii ii xx
26、 y 参考公式： 1 2 1 ()() ( ) n ii i n i i xxyy b xx aybx 【答案】 （1）6.517.5yx； （2）6.54 百万元 【解析】 【分析】 （1）先求出样本中心 , x y，再求出b，由 a ybx求出a，即可求解； （2）由（1）得6.517.5yx，令 60y 解出对应x值即可 【详解】 （1） 5,50 xy ， 55 11 55 222 11 ()()5 1380 1250 6.5 145 125 ()5 iiii ii ii ii xxyyx yxy b xxxx ， 506.5 517.5 a ybx， （2）6.517.5yx，令6.
27、517.560,x得 85 6.54 13 x ，所以广告支出应该不少于多少 6.54 百万元 【点睛】本题考查线性回归方程的求解，由回归方程进行数据预测，属于中档题 21. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 23. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 2 ,求圆 P 的方程. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 【答案】 （） 22 1yx（） 22 (1)3xy或 22 (1)3xy 【解析】 试题分析： （1）设,C x y，圆C的半径为r，则 2
28、222 2,3yrxr，可得圆心C的轨 迹方程； （2）设 00 ,C x y，则 22 00 1yx，又根据点到直线距离公式得 00 2 22 xy ， 解出( )00 ,x y，进而可得圆的半径，求得圆C的方程 试题解析： （1）设,C x y，圆C的半径为r，由题设 2222 2,3yrxr，从而 ，故C的轨迹方程为 22 1yx （2）设 00 ,C x y，由已知得 00 2 22 xy ，又C点在双曲线 22 1yx上，从而得 00 22 00 1 1 xy yx 由 00 22 00 1 1 xy yx ，得 0 0 0 1 x y ，此时，圆C的半径3r ， 由 00 22 0
29、0 1 1 xy yx ，得 0 0 0 1 x y ，此时，圆C的半径3r ，故圆C的方程为 2 2 13xy 或 2 2 13xy 考点：1.勾股定理及点到直线的距离公式；2.轨迹方程及待定系数法求圆的方程 【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属 于难题.求轨迹方程的常见方法有： 直接法， 设出动点的坐标, x y， 根据题意列出关于 , x y 的等式即可； 定义法， 根据题意动点符合已知曲线的定义， 直接求出方程； 参数法， 把 , x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将 0 0 x g x yh x 代入 00 ,0f x y
30、本题 （1）就是利用方法求C的轨迹方程的 22. 已知圆M： 2 2 44xy，点P是直线l：20 xy上的一动点，过点P作圆 M 的切线PA、PB，切点为A、B （）当切线 PA 的长度为2 3时，求点P的坐标； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所 有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （）求线段AB长度的最小值 【答案】 （）； （） 8 4 (0,4), 5 5 ； （）AB 有最小值 【解析】 【详解】试题分析： （）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点P( , )
31、x y 是 直 线l：20 xy上 的 一 动 点 ， 得2xy， 由 切 线PA 的 长 度 为2 3得 22 0442 3xy ，解得 16 8 (0,0)(, ) 55 PP或（）设 P（2b,b） ，先确定圆N的 方程：因为MAP90，所以经过 A、P、M 三点的圆N以 MP 为直径，其方程为： 2 22 2 444 24 bbb xby ， 再按 b 整理： 22 (24)40 xybxyy由 22 240 40 xy xyy 解得 0 4 x y 或 8 5 4 5 x y ，所以圆过定点 8 4 (0,4), 5 5 （）先确定直线AB 方程， 这可利用两圆公共弦性质解得： 由圆
32、N方程为 2 22 2 444 24 bbb xby 及 圆M： 2 2 44xy，相减消去 x,y 平方项得圆M方程与圆N相交弦 AB 所在直线 方程为：2(4)1240bxbyb，相交弦长即： 2 22 44 2 44 14 1 5816 464 5 55 ABd bb b ，当 4 5 b 时，AB 有最小值 11 试题解析： （）由题可知，圆 M 的半径 r2，设 P（2b,b） ， 因为 PA 是圆 M 的一条切线，所以MAP90, 所以 MP 22 22 0244bbAMAP ，解得 所以 16 8 (0,0)(, ) 55 PP或4 分 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有
33、高考资源网 - 17 - （）设 P（2b，b） ，因为MAP90，所以经过 A、P、M 三点的圆N以 MP 为直径， 其方程为： 2 22 2 444 24 bbb xby 即 22 (24)40 xybxyy 由 22 240 40 xy xyy ， 7 分 解得 0 4 x y 或 8 5 4 5 x y ，所以圆过定点 8 4 (0,4), 5 5 9 分 （）因为圆N方程为 2 22 2 444 24 bbb xby 即 22 2(4)40 xybxbyb 圆M： 2 2 44xy，即 22 8120 xyy 得圆M方程与圆N相交弦 AB 所在直线方程： 2(4)1240bxbyb 11 分 点 M 到直线 AB 的距离 2 4 5816 d bb 13 分 相交弦长即： 2 22 44 2 44 14 1 5816 464 5 55 ABd bb b 当 4 5 b 时，AB 有最小值 1116 分 考点：圆的切线长，圆的方程，两圆的公共弦方程 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 -
