1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 和诚中学和诚中学 20192019- -20202020 学年高一学年高一 4 4 月月考月月考 数学试卷数学试卷 一、选择题一、选择题:(45=60:(45=60 分分) ) 1.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线 1 2 yx 上，则 tan2（ ） A. 4 3 B. 3 4 C. 4 3 D. 4 3 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件利用任意角的三角函数的定义求得tan的值， 再利用二倍角的正切公式求得tan2的 值 【详解】解：由于直线 1 2 yx 经过第二、第四象限，故角的终边在第二、
2、或第四象限， 若角的终边在第二象限， 在角的终边 1 2 yx 上任意取一点 1 1, 2 ， 则由任意角的三 角函数的定义，可得 1 1 2 tan 12 ， 故 2 2tan4 tan2 1 1tan3 1 4 1 角的终边在第四象限，在角的终边 1 2 yx 上任意取一点 1 1, 2 ，则由任意角的三 角函数的定义，可得 1 1 2 tan 12 ， 故 2 2tan4 tan2 1 1tan3 1 4 1 故选：C 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 2.记sin( 20
3、), k 那么tan160（ ） A. 2 1 k k B. 2 1 k k C. 2 1 k k D. 2 1 k k 【答案】A 【解析】 分析】 先利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式求sin20，然后化切为弦，即可求得 tan160 【详解】解： sin( 20 )k ，sin20k ， 22 cos201201sink ， 22 sin20 tan160tan20 cos20 11 kk kk 故选：A 【点睛】本题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化 这一转化思想的应用，属于基础题 3.在ABC中 ,ABc ACb, uu u rr uuu rr
4、 若点D满足 3,BCBD uuu ruuu r 则AD （ ） A. 41 33 cb rr B. 13 34 cb rr C. 41 33 cb rr D. 31 43 cb rr 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义计算即可 【详解】解：ABC中，点D满足3BCBD ，AB c ，AC b uuu rr ， 则 1141 () 33333 41 3 ADABBDABBCABACcAACbBAB ， 故选：A 【点睛】本题考查了向量的三角形的法则和向量的加减的几何意义，属于基础题 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 4.
5、已知向量 ( 6,3),(6, 3),ab rr 则a与b（ ） A. 垂直 B. 既不垂直也不共线 C. 相反向量 D. 同向向量 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量共线定理即可得出 【详解】解： ( 6,3)a r Q ，(6, 3)b ab rr /a b rr ，即a与b共线且方向相反； 故选：C 点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5.是第三象限角， 5 tan 12 ，则cos（ ） A. 1 5 B. 12 13 C. 1 5 D. 12 13 【答案】B 【解析】 【分析】 由是第三象限角，根据tan的值，利用同角三角函数间的基本关系求出c
6、os的值即可 【详解】解：Q是第三象限角， 5 tan 12 ， 2 1112 cos 25 1tan13 1 144 ， 故选：B 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于 基础题 6.为了得到函数sin 2 3 yx 的图像，可以将函数cos2yx的图像（ ） A. 向左平移 5 12 个单位 B. 向右平移 5 12 个单位 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - C. 向右平移 6 个单位 D. 向左平移 6 个单位 【答案】B 【解析】 因为sin2 6 yx ，且cos2yx=sin 2 2 x =sin2 4 x
7、， 所以由 4 x = 6 x ，知 5 6412 ，即只需将cos2yx的图像向右平移 5 12 个单位，故选 B 7.若函数3sin(2)yx的图像关于点 5 (,0) 3 中心对称，则| |的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数3sin(2)yx的图象关于点 5 (,0) 3 中心对称， 令 5 3 x 代入函数使其等于 0， 求出的值，从而求得| |的最小值 【 详 解 】 解 ： 根 据 函 数3 s i n ( 2)yx的 图 象 关 于 点 5 (, 0 ) 3 中 心 对 称 ， 可 得 5 3 s i n ( 2)
8、0 3 ， 故有 5 2 3 k ，kZ，由此可得 10 3 k ，kZ， 令3k ，可得| |的最小值 3 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性的应用，属于基础题 8.已知非零向量, a b,满足| | 4| |,ab rr | | 1, 3b r 且( )1,ab b rr u r 记是向量a与b的夹角， 则的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 1 3 D. 3 【答案】D 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【解析】 【分析】 由题意可得 2 1a bb r rr g ，即可得到 2 11 cos 4 4 b r ，再根据b取值范围得到c
9、os的取 值范围，结合的范围及余弦函数的性质，求得的最小值 【详解】解：由题意知非零向量a，b满足4 | |ba，1, 3b r 且( )1,ab b rr u r ，可得 2 1a bb r rr g ，即 2 cos1a bb rrr g，所以 22 22 11 11 cos 4 44 bb a b bb rr rr rr g 因为1, 3b r ，所以 2 1,3b r ，所以 2 111 1 cos, 43 2 4 b r 因为0,，且余弦函数 cosyx 在0,上单调递减， 所以 min 3 故选：D 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，余弦函数的性质，属于中档题. 9.已知曲线
10、 1: C 2 2 2 sin(),:2cos () 1 224 xx yCy ，则下列结论正确的是（ ） A. 把 1 C上点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 2 2 个单位 长度，得到曲线 2 C B. 把 1 C上点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 2 4 个单位 长度，得到曲线 2 C C. 把 1 C上点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 2 2 个单 位长度，得到曲线 2 C D. 把 1 C上点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 2 4 个单 位长度
11、，得到曲线 2 C 【答案】C 【解析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【分析】 首先将 2 C的解析式化简，再利用函数图象的平移变换和伸缩变换求出结果 【详解】解： 2 2: 2cos1cos2cossin 24242 xx Cyxx 将曲线 1 2 : 2 sinC x y 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到 2 sinyx ，再把所得曲线向左平移 2 2 个单位长度，得到 2 222 sinsinsin 2 yxxx ，即为曲线 2 2: 2cos1 24 x Cy ， 故选：C 【点睛】本题考查知识要点：三角函数关系式的恒等变换
12、，函数图象的平移变换和伸缩变 换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题 10.函数 21 1 2sin 2 yx 的部分图像如图所示，则y的单调递减区间为（ ） A. 5 (,)() 44 kkkz B. 51 (2,2)() 44 kkkz C. 51 (2,2)() 44 kkkz D. 51 (,)() 44 kkkz 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据函数图象求出函数的一个解析式，再根据余弦函数的性质求出函数的单调递减区间； 【详解】解：因为 21 1 2sincos 2 yxx ，由图可知 151 1 244 T ，所以 高考资源网（） 您身边的高考专家
13、 版权所有高考资源网 - 7 - 2T ， 所 以 2 T ， 再 由 函 数 过 点 1 ,0 4 ， 所 以 1 c o s0 4 ， 则 13 2 42 k，kZ，解得 5 2 4 k，kZ，令0k 则 5 4 ，所 以 5 cos 4 yx ，令 5 22 4 kxk ，kZ，解得 51 22 44 kxk， kZ，即函数的单调递减区间为 51 2,2 44 kk ，kZ 故选：B. 【点睛】 本题主要考查由函数 sin()yAx 的部分图象求解析式， 由特殊点的坐标求出的 值，由五点法作图求出，可得函数的解析式，函数 sin()yAx 的图象变换规律，以及 余弦函数的性质，属于中档题
14、 11.关于函数tan | |tan |yxx有下述四个结论：y是偶函数；y在(,0) 2 上是减函 数；y在, 上有三个零点；y的最小值是 0.其中所有正确结论编号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 作出函数 ( )f x的图象，结合图象逐一核对四个命题得答案 【详解】解：作出函数( )tan| tan|f xxx的图象如图， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 由图可知，()tan|tan| tan|tan |( )fxxxxxf x，故 ( )f x是偶函数，故正确； ( )f x在区间(,0) 2 上单调递减，故正确； y在
15、, 上有无数个零点，故错误；y的最小值是 0.，故正确 故选：A 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，作出函数的图象是关键，是中档题 12.函数 22 2sinsin1 2 x yx 的最小值时x的集合是（ ） A. ,|2 3 xkzxk B. ,|2 6 xkzxk C. ,|2 6 xkzxk D. ,|2 3 xkzxk 【答案】D 【解析】 【分析】 利用二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系将函数化简为 2 coscos1yxx，令 costx则1,1t ， 2 2 15 1 24 yf tttt ，从而得到函数的最小值以及取 最小值时 1 cos 2 x ，再根据余弦函数的性
16、质求出x的集合； 【详解】解：因为 22 2sinsin1 2 x yx，所以 22 1 cossin1coscos1yxxxx 令costx则1,1t ， 2 2 15 1 24 yf tttt 所以当 1 2 t 时， min 5 4 yf t ， 即 1 cos 2 x ，2, 3 xkkZ 时，函数 22 2sinsin1 2 x yx取得最小值， 即|2, 3 x xkkZ ； 故选：D 【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质，属于中档题. 二、填空题二、填空题(45=20(45=20 分分) ) 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 13.若 1
17、 sincos 225 且0,2 )，则cos的值是_. 【答案】 7 25 【解析】 【分析】 依题意，首先求出 24 2sincos 2225 ，再计算出 7 sincos 225 ，最后根据二倍角的余 弦公式计算可得； 【详解】解：因为 1 sincos 225 且0,2 )，所以 0, 2 所以 2 1 sincos 2225 ，则 24 2sincos 2225 ，即sin0 2 ，cos0 2 ， 所以, 22 所以 2 22 49 sincossin2sincoscos 22222225 所以 7 sincos 225 所以 177 sincossincos 22225525 c
18、os 故答案为： 7 25 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角的余弦公式，属于中档题. 14.3 15sin153 5cos15_ 【答案】 3 10(13) 2 【解析】 【分析】 首先求出sin15，cos15，再代入求值即可； 【详解】解： 232162 sin15sin 4530sin45 cos30cos45 sin30 22224 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 232162 cos15cos 4530cos45 cos30sin45 sin30 22224 所以 62623 10(13) 3 15sin153 5cos153 15
19、3 5 442 故答案为： 3 10(13) 2 【点睛】本题考查两角和差的正弦余弦公式的应用，属于中档题. 15.在三角形ABC中，若 (AC)0,(cos18 ,cos72 )CBABAB uuruu u ruuu ruu u r ， 1 | 2 CB uur 米，则三角 形ABC内切圆的面积_ （平方米） 【答案】 3 80 【解析】 【分析】 依题意，由()0CBABAC，可得ABAC，再求出AB，由余弦定理求出cosA，利 用同角三角函数的基本关系求出sin A，用等面积法求出内切圆的半径，从而得到内切圆的面 积； 【详解】解：因为()0CBABAC，所以 0ABACABAC uu
20、u ruuu ruu u ruuu r g， 所以ABAC 又因为 (cos18 ,cos72 )AB uu u r ， 所以 222222 cos 18cos 72cos 18cos9018cos 18sin 181AB uu u r 由余弦定理可得 222 2cosBCABACAB ACA 即 2 22 1 112 1 1 cos 2 A ，所以 7 cos 8 A，因为 22 sincos1AA，所以 15 sin 8 A， 设三角形的内切圆的半径为R，则 11 sin 22 ABC SbcAabc R，即 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 11511
21、1 11 1 2822 R ，解得 15 20 R ，所以 2 2 153 2080 SR ， 故答案为： 3 80 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用， 属于中档题. 16.若向量 (sin ,1),(1,cos ),0,2 ab rr ，则|abab取值范围是_. 【答案】2 2,2 3 【解析】 【分析】 首先表示出a b ，ab，即可得到ab、ab rr ，令sincos2sin 4 t ， 由0,2，得到2, 2t ，再由 22 2 |323262 94ababttt ，计算可得； 【详解】解：因为 (sin ,1),(1,cos ),0,
22、2 ab rr 所以sin1,1 cosab，sin1,1 cosab 所以 22 sin11 cos32 sincosab， 22 sin11 cos32 sincosab 令sincos2sin 4 t ，因为0,2，所以2, 2t ， 则|3232ababtt， 22 2 |323262 94ababttt 因为2, 2t ，所以 2 941,9t， 所以 2 2 |62 948,12ababt ， 所以|2 2,2 3abab ； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 故答案为：2 2,2 3 【点睛】本题考查平面向量的模的运算，三角函数的性质的应用，以及
23、三角恒等变换公式的 应用，属于中档题. 三、解答题（六个大题，共三、解答题（六个大题，共 7070 分分） 17.已知函数 2 tantan2 ( )3(1 2cos). tan2tan xx f xx xx （1）求 f x的最小正周期； （2） 12 f 的值 【答案】 （1）； （2）1 【解析】 【分析】 （1）利用同角三角函数的基本关系将切化弦，再利用辅助角公式化简函数得到 2 sin(2) 3 fxx ，最后利用周期公式计算可得； （2）代入（1）中函数解析式，计算可得； 【详解】解： （1） sinsin2 coscos2 ( )3cos2 sin2sin cos2cos xx
24、xx f xx xx xx sin sin2 3cos2 sin xx x x sin23cos2xx 13 2sin2cos2 22 xx 2 cossin2sincos2 33 xx 2sin 2 3 x ( )2sin(2) 3 f xx ， 22 2 T 即函数的最小正周期为； （2）2sin 22sin1. 121236 f 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及三角恒等变换公式的应用，属于中档题. 18.已知cos()coscossinsin. 求证： （1）sin()sincoscossin； （2） tan
25、tan tan(). 1tantan 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据sin()cos()cos 22 在结合诱导公式即可得证； （2）利用同角三角函数的基本关系及两角差的正弦余弦公式计算可得； 【详解】证明： （1）sin()cos()cos 22 =coscossinsinsincoscossin 22 =sincoscossin ，所以成立. （2） sin()sincoscossin tan() cos()coscossinsin tantan 1 tantan 【点睛】本题考查三角恒等变换公式的证明，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础
26、题. 19.已知四边形ABCD，| |2|0ABAD ABCD, uu u ruuu r uu u ruuu rr 2 |AD|AB AD uu u r uuu ruuu r . （1）求向量AB与AD的夹角； （2）当| 1AD |，点,M N分别在BC与CD上，且MN与BD共线，求AM AN 的取值范 围. 【答案】 （1） 3 ； （2） 59 11 , 16 16 【解析】 【分析】 （1）依题意可得四边形ABCD是平行四边形，设向量AB与AD的夹角为，则 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - cosAB ADAB AD uu u r uuu ruu u
27、r uuu r 即 22 |2| cosADAD uuu ruuu r ，得到 1 cos 2 ，从而求出； （2）用AB、AD作为基底，表示出AM、AN，再根据向量的数量积的定义式及向量的运 算律计算可得； 【详解】解： （1）0ABCD /ABCD而且ABCD， 四边形ABCD是平行四边形，设向量AB与AD的夹角为， 2ABAD uu u ruuu r Q ， 2 AB ADAD uuu r uuu ruuu r cosAB ADAB AD uu u r uuu ruu u r uuu r 即 22 |2| cosADAD uuu ruuu r 1 cos 2 ， 0, ， = 3 （2）
28、 1AD ，2AB ，MN与BD共线， 当M、N不与B、D、C重合时，/BD MN， BMBC uuuruuu r ，CN CD uuu ruuu r ， 又 AMABBMABBCABAD uuuruu u ruuuruu u ruuu ruu u ruuu r 11 ()() 22 ANACCNABACCDABADAB uuu ruuu ruuu ruu u ruuuu ruuu ruu u ruuuu ruu u r 11 () 22 ABAD uu u ruuu r 11 22 AM ANABADABAD uuur uuu ruu u ruuu ruu u ruuu r g 2 2 77
29、15 =2 244 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 0,1， 59 11 , 16 16 AM AN uuur uuu r 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，向量的数量积及其运算律的应用，属于中档题. 20.某城市的电视发射搭CD建在市郊的一座小山上，如图所示，小山高BC为 30 米，在地平 面上有一点A，测得A，C两点间距离为 50 米. （1）如果从点A观测电视发射塔的视角CAD=45，求这座电视发射塔的高度； （2）点A在何位置时，角CAD最大.（参考数据：3=1.737=2.65，） 【答案】 （1）250m； （2）点A距离B点为183.3m
30、 【解析】 【分析】 （1）首先由已知可得40ABm，设 CDx m，再根据锐角三角函数与两角和的正切公 式计算可得； （2）设点A、B的距离为 x m，CAD，再根据两角差的正切公式及锐角三角函数的 定义得到 250 tan 1 280 30 x x ， 令 8400 t xx x ， 利用基本不等式求出 t x的最小值， 即可得到tan的最大值； 【详解】解： （1）50ACm，30BCm，90ABC，所以40ABm，设 CDx m 3 tan 4 BAC，tan=tan45BADBAC 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 3 1 30 4 7 3 40 1
31、 4 x ，250 x ，塔高250m （2）设点A、B的距离为 x m，CAD， 则 tantan tantan 1tantan DABCAB DABCAB DABCAB 2 2 28030 250 280 30 280 30 1 x xx x x ， 即 250 tan 8400 x x ， 令 8400 t xx x ，因为0 x，所以 84008400 240 21xx xx 所以当且仅当 8400 x x 时，即 =20 21=183.38xm时， tan取得最大， tan ,0, 2 yx x Q是单调递增函数， 所以点A距离B点为183.38m时，CAD取得最大值； 【点睛】本题
32、考查锐角三角函数的定义，两角和差的正切公式的应用，属于中档题. 21.已知函数 =2sin(2)f xx， （其中 、 均大于 0）其图像相邻两条对称轴之间的距 离是 2 ，且在, 3 6 上是增函数. （1）求函数 ( )f x的解析式； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - （2）用“五点法”画出函数 ( )f x图像时，试写出 3 , 44 x 的关键点. 【答案】 （1）( )2sin(2) 6 f xx ； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由函数的对称性求出函数的最小正周期，从而求出，再根据函数的单调性，求出， 即可得到函数解析式； （2）根据五
33、点法确定其关键点的坐标； 【详解】解： （1）因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离是 2 ， 所以函数的最小正周期为， 2 22 T ，即1， ( )2sin(2)f xx 222, 22 kxkkz 解得, 4242 xkkkZ ， 又因为函数在, 3 6 上是增函数 423 , 426 k kkZ 解得22k 66 k ，kZ， 2, 6 kkZ ( )2sin 2 6 f xx (2) 33 ()2sin 2 ()2cos3 4466 f ，所以点 3 3 4 -, ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 77 ()2sin 2 ()2sin0 12126
34、 f ，所以点 7 0 12 -,， ()2sin 2 ()2sin2 3362 f ，所以点, 2 3 ， ()2sin 20, 12126 f 所以点 12 -,0， ()2sin 22 666 f ，所以点,2 6 ， ()2sin 23 446 f ，所以点, 3 4 ， 【点睛】本题考查五点法作函数图象，函数的对称性及单调性的应用，属于中档题. 22.如图，在半径为2的扇形CAB中， 2AB AO ，,M N是AB上的动点，矩形MNEF， 记AOM . （1）求矩形MNEF的面积S的最大值； （2）当矩形MNEF最大时，求tan的值. 【答案】 （1） 3 2 ； （2） 3 3 5
35、 【解析】 【分析】 （1）根据平面向量的数量积的几何意义可得 21 2 AO ABAB uuu r uu u r ，即求出AB，设 , (02)MNxx ，则 1 (2) 2 ANMBx， 1 tan60(2)3 2 FMMBx ，即可 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 表示出矩形的面积，再根据二次函数的性质得到函数的最大值； （2）取MN的中点为D，则ODAB，连接OD，设DOM，DOA 即可得到tan，tan，再根据两角和的正切公式计算可得； 【详解】解： （1）在扇形OAB中， 21 cos 2 AO ABAB AOOABAB uuu r uu u r
36、uu u r uuu r 2AO AB uuu r uu u r Q ， | 2AB uu u r ， 2OA， AOB是正三角形，设 ,(02)MNxx ，则 1 (2) 2 ANMBx 1 tan60(2)3 2 FMMBx 矩形面积为 1 =(2) 3 2 Sxx 22 333 3(1) 222 Sxxx 当 1x 时，面积取得最大值， max 3 2 S （2）取MN的中点为D，则ODAB，连接OD，设DOM，DOA 1 3 2 tan 63 DM DO ， 3 tan 3 ， 33 + tantan3 3 63 tantan()= 1tantan533 1 63 AOM 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 - 【点睛】本题考查三角函数在几何中的应用，三角恒等变换公式的应用，属于中档题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 21 -
