1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2019 2020 学年度第二学期期末教学质量检测高一数学试题学年度第二学期期末教学质量检测高一数学试题 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题一、选择题 1. 为了了解全校 240 名高一学生的身高情况，从中随机抽取 40 名高一学生进行测量，在这个 问题中，样本指的是（ ） A. 240 名高一学生的身高 B. 抽取的 40 名高一学生的身高 C. 40 名高一学生 D. 每名高一学生的身高 【答案】B 【解析】 【分析】 找出考查的对象是某校高一学生的身高,得到样本是抽取的 40 名高一学生的身高. 【
2、详解】总体是 240 名高一学生的身高情况，则个体是每个学生的身高情况， 故样本是 40 名学生的身高情况. 故选：B. 【点睛】本题考查的抽样相关概念的理解，注意区分总体、个体、样本、样本容量这四个概 念，属于基础题. 2. 已知扇形的圆心角为30，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 利用弧长公式lr即可求解. 【详解】扇形的圆心角为30 6 ，半径为6r ， 所以扇形弧长为6 6 lr . 故选：A 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，注意在运用公式时，圆心角需用弧度制表示，属于基 础题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版
3、权所有高考资源网 - 2 - 3. 以下现象是随机现象的是 A. 标准大气压下，水加热到 100，必会沸腾 B. 长和宽分别为 a，b 的矩形，其面积为ab C. 走到十字路口，遇到红灯 D. 三角形内角和为 180 【答案】C 【解析】 【分析】 对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】A. 标准大气压下，水加热到 100，必会沸腾,是必然事件； B. 长和宽分别为 a，b 的矩形，其面积为ab，是必然事件； C. 走到十字路口，遇到红灯，是随机事件； D. 三角形内角和为 180，是必然事件. 故选 C 【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌 握水
4、平，属于基础题. 4. 函数 3cos24yx()xR 是（ ） A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为2的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为2的奇函数 【答案】A 【解析】 【分析】 运用公式 2 T ，直接求出周期，判断(),( )fxf x之间的关系，结合函数奇偶性的定义进 行判断即可 【详解】 2 T ，()3cos( 2 )43cos24( )fxxxf x，所以函数最小正周期 为，是偶函数，因此本题选 A 【点睛】本题考查了余弦型函数的最小正周期以及奇偶性，利用函数奇偶性的定义进行判断 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 是
5、解题的关键 5. 将函数 2sin2yx 的图象向左平移 6 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（ ） A. 2sin 2 3 yx B. 2sin 2 6 yx C. 2sin 2 3 yx D. 2sin 2 6 yx 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意利用函数 sin()yAx 的图象平移变换规律，得出结论 【详解】将函数 2sin2yx 的图象向左平移 6 个单位长度后， 所得图象对应的函数解析式是2sin22sin 2 63 yxx ， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数 sin()yAx 的图象平移变换规律，属于基础题 6. 已知向量1,1OA，3,OBm uuu r ，
6、若OA AB ，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 利用平面向量坐标运算法则，求出AB，再由OA AB ，能求出实数m的值 【详解】向量(1,1)OA ，(3,)OBm， (2,1)ABm， OAAB ， 210OA ABm ， 解得实数1m 故选：A 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【点睛】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 7. 书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件M表示“两本都是红楼梦”；事件 N表示“一本是西游记 ，
7、一本是水浒传”；事件P表示“取出的两本中至少有一本红 楼梦”.下列结论正确的是（ ） A. M与P是互斥事件 B. M与N是互斥事件 C. N与P是对立事件 D. M，N，P两两互斥 【答案】B 【解析】 【分析】 根据互斥事件、对立事件的概念，对,M N P三个事件进行分析，由此确定正确选项. 【详解】由于事件M包含于事件P，M与P是既不是对立也不是互斥事件，M与N是互 斥事件，N与P是互斥事件.所以 A,C,D 三个选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查对立事件和互斥事件的辨析，属于基础题. 8. 函数tan 2 4 yx 的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于点,1 2 对称
8、 C. 关于直线 8 x 对称 D. 关于点,0 8 对称 【答案】D 【解析】 【分析】 令2, 42 k xkZ ，解得, 48 k xkZ ，得到答案. 【详解】函数tan 2 4 yx 中，令2, 42 k xkZ ，解得, 48 k xkZ ； 令1k 得 8 x ，所以tan 2 4 yx 的图象关于原点,0 8 对称，D 正确. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 代入验证知ABC错误. 故选：D 【点睛】本题考查了正切函数的对称中心，意在考查学生的计算能力. 9. 若 cos sinf xxx在, a a是减函数，则a的最大值是 A. 4 B. 2
9、 C. 3 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a的最大值. 详解：因为 ( )cossin2cos() 4 f xxxx， 所以由 02 2 ,(kZ) 4 kxk得 3 2 2 ,(kZ) 44 kxk 因此 33 , ,0 44444 a aaaaaa，从而a的最大值为 4 ，选 A. 点睛：函数 sin()(0,0)yAxB A 的性质： (1) maxmin = +yA ByAB，. (2)周期 2 .T (3)由 () 2 xkkZ求对称轴， (4)由 2 2 () 22 kxkkZ求增区间； 由 3 2 2 () 22 k
10、xkkZ求减区间. 10. 若sin2cos，则 2 cossin2（ ） A. 12 5 B. 9 5 C. 1 D. 4 5 【答案】C 【解析】 【分析】 将所求的表达式转化为 2 2 22 cos2sincos cossin2 sincos ,代入已知条件可求选项. 【详解】sin2cos, 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 2 2 2 222 2 cos22coscoscos2sincos cossin21 sincos 2coscos , 故选:C. 【点睛】本题考查正弦的二倍角公式和同角三角函数的平方关系,关键在于运用平方关系中 的”1”,将原式化
11、为分式的齐次式,属于基础题. 11. 如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上 年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ） A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高. B. 深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降. C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州. D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可 【详解】由图可知，选项 A、B、C 都正确，对于 D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变 化
12、幅度，所以错误 故选 D 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题 12. 已知函数 sinf xx（0， ）的最小正周期为，且其图象向右平 移 6 个单位长度得到函数 cosg xx的图象，则 f x图象的一条对称轴为（ ） 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - A. 5 6 x B. 2 x C. 2 3 x D. x 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意利用函数 sin()yAx 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论 【详解】函数 ( )sin()(0f xx ，|)的最小正周期为， 2 ，2 ( )sin(2)
13、f xx 的图象向右平移 6 个单位长度， 得到函数( )sin(2)cos2 3 g xxx 的图象， 2 32 k ，可得 5 6 ，故 5 ( )sin(2) 6 f xx 令 5 2 62 xk ，kZ，求得, 26 k xkZ ， 故函数 ( )f x的图象的对称轴为 26 k x ，kZ 故令2k ，可得函数 ( )f x的图象的一条对称轴为 5 6 x ， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数 sin()yAx 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属 于基础题 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分） 二、填空题二、填空题 13. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号
14、的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，为检 验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型 号的产品中抽取_ 件. 【答案】18 【解析】 应从丙种型号的产品中抽取 300 6018 1000 件，故答案为 18 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比， 即niNi nN 14. 已知两个单位向量a，b的夹角为120，1ctatb.若1a c ， 则实数t _.
15、【答案】1 【解析】 【分析】 根据条件可求出向量的数量积，列出方程，然后解出t即可 【详解】两个单位向量a，b的夹角为120， 11 1 1 22 a b ， 又(1)ctatb，1a c ， 2 1 (1) (1)(1)1 2 a tatbtata btt ， 解得1t 故答案为：1 【点睛】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属 于基础题 15. 已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且 0.3P A ， 0.6P C ， 则P AB_. 【答案】0.7 【解析】 【分析】 利用对立事件概率计算公式求出P（B）1P （C）0.4，再由互斥事件
16、概率加法公式能求 出()P AB 【详解】随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）0.3，P（C） 0.6， P（B）1P （C）0.4， ()P ABP （A）P（B）0.30.40.7 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 故答案为：0.7 【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 16. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位：件)若这两组数 据的中位数相等，且平均值也相等，则x y 的值为_ 【答案】8 【解析】 【分析】 已知两组数据的中位数
17、相等，可以求出y；甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，根据 平均数的定义可列式求出x. 【详解】由题意易知甲组数据的中位数为 65，由于两组数据的中位数相等得5y ；甲组数据 的平均数等于乙组数据的平均数，所以可得 56626570745961676578 = 55 x , 3x , 8xy . 所以本题答案为 8. 【点睛】本题考查了根据茎叶图求平均数，根据平均数、中位数求原始数据，考查了计算能 力，属基础题. 三、解答题三、解答题 17. （）已知 sin 2cos 2 costan 2 f ，求 3 f 的值； （）已知 1 cos 75 3 ，求sin15cos 105() 的值.
18、【答案】 （） 1 2 ； （） 2 3 . 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - （）利用诱导公式和切化弦公式化简求值； （）观察角度间的联系，用诱导公式化简求值. 【详解】 （） 2 sin 2cos sinsinsin 2 cos sin sintan sincostan cos2 f ， 则 1 cos 332 f . （） 1 cos 75 3 ， sin15cos 105sin7590cos 18075 2 cos 75cos 75 3 . 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式，诱导公式，特别注意观察角度之间的联系， 属于基础
19、题. 18. 某微商对某种产品每天的销售量（单位：件）进行为期一个月（按 30 天计算）的数据统 计分析，并得出了这种产品该月销售量的频率分布直方图（如图）.假设用直方图中所得的频 率来估计相应事件发生的概率. （）求频率分布直方图中a的值； （）若微商在一天的销售量不低于 25 件，则上级商企会给微商赠送 100 元的礼金，估计该 微商在一年内获得的礼金数. 【答案】 （）0.02； （）10800 元. 【解析】 【分析】 （）由频率分布直方图中小矩形面积和为 1 能求出a （）根据频率分布直方图，日销售量不低于 25 件的天数为(0.04 0.02) 5 309 ，一个月 高考资源网（）
20、 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 可获得的奖励为 900 元，由此可以估计一年内获得的礼金数 【详解】 （）由题意可得 11 (0.010.060.070.04)50.02 5 a （）根据频率分布直方图知，日销售量不低于 25 件的天数为： 0.040.025 309 （天） ， 一个月可获得的礼金数为9 100900（元） ， 依此可以估计该微商一年内获得的礼金数为900 1210800元. 【点睛】本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查样本估计总体 以及运算求解能力、数形结合思想的应用，是基础题 19. 已知向量1, 1 ,0,1. （1）若向量
21、()()tt，求实数t的值； （2）若向量,cx y满足(1)cyx ，求|c的值. 【答案】 （1）1t 或1t ； （2）|2c . 【解析】 【分析】 （1）求出向量t和向量t的坐标，根据向量共线的坐标表示求t的值. （2）由向量相等求出 , x y的值，根据| | 22 cxy求值即可. 【详解】 （1）1, 1 ,0,1， ,1ttt ，1,1tt . ()()tt， 11 10t tt ， 解得1t 或1t . （2）(1)cyx ， ,1x yy yx ， 即 1 xy yyx ，解得 1 1 x y . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 22
22、|2cxy . 【点睛】本题考查向量共线定理的坐标表示和向量相等，用到方程的思想，属于基础题. 20. 已知函数( ) sin()( ,0,0)f xAxA ，最小正周期为，且点,2 12 是 该函数图象上的一个最高点. （1）求函数 ( )f x的解析式； （2） 若关于x的方程( )2(sin2 )f xkx在区间, 12 2 上恰有唯一实根， 求实数k的取值 范围. 【答案】(1) ( )2sin(2) 3 f xx ;(2) 3 1 1, 22 k 【解析】 分析】 (1)先根据最高点求A,再根据最小正周期求,再代入最高点求即可. (2)由题意2sin(2)2(sin2 ) 3 kxx
23、 在区间, 12 2 上恰有唯一实根.化简得 cos 2 6 xk ,再数形结合分析即可. 【详解】(1)因为点,2 12 是该函数图像上的一个最高点,故2A. 又最小正周期为故 2 2 .故( )2sin(2)f xx.代入最高点,2 12 可得 sin(2)1 12 ,故22 623 kk ,因为0故 3 . 故( )2sin(2) 3 f xx (2)由题2sin(2)2( sin2 ) 3 kxx 在区间, 12 2 上恰有唯一实根, 即 31 cos2sin2 2 c 2 os 2 6 xkxxk 在区间 , 12 2 上恰有唯一实根. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考
24、资源网 - 13 - 又 7 2, 636 tx ,且 cosyt, 3 单调递减,在 7 6 ，上单调递增, 且 173 cos,cos 3262 .又cos 2 6 xk 在区间, 12 2 上恰有唯一实根 故1k 或 3 1 , 22 k .即 3 1 1, 22 k . 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数解析式的方法,同时也考查了根据三 角函数图像求解零点个数的问题,属于中等题型. 21. 某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人 5 次数学考试的成 绩，统计结果如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩（分） 80 85 71 9
25、2 87 乙的成绩（分） 90 76 75 92 82 （）已知甲、乙两名学生这 5 次数学考试成绩的平均分都为 83 分，若从甲、乙两名学生中 选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理 由； （）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从 5 道备选题中 任意抽出 1 道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从 5 道备选题中任意抽出 3 道，若至少答对其中 2 道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会 5 道备选题 中的 3 道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由. 【答案】 （）
26、乙参加，理由见解析； （）方案二，理由见解析. 【解析】 【分析】 （）求出83xx 甲乙 ，甲成绩的方差 2 50.8S 甲 ，乙成绩的方差 2 48.8S 乙 ，从而选派乙 参加数学竞赛较合适 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - （）5 道备选题中学生会的 3 道分别记为a，b，c，不会的 2 道分别记为E，F，列举法 求出方案一学生可参加复赛的概率 1 3 5 P 方案二学生可参加复赛的概率 2 7 10 P 从而推荐 的选手选择方案二答题方案进入复赛的可能性更大 【详解】 （）选派乙参加数学竞赛较合适 理由如下： 由题知 1 =80+85+71+92+8
27、783 5 x 甲 （）， 1 0+76+75+92+8283 5 x 乙 （9）， 甲成绩的方差 5 22 1 1 ()50.8 5 i i Sxx 甲甲， 乙成绩的方差 5 2 2 1 1 48.8 5 i i Sxx 乙乙 ， 由xx 甲乙， 22 SS 乙甲 ，可知甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定， 故选派乙参加数学竞赛较合适 （）5 道备选题中学生会的 3 道分别记为a，b，c，不会的 2 道分别记为E，F， 方案一：学生从 5 道备选题中任意抽出 1 道的结果有：a，b，c，E，F，共 5 种， 抽中会的备选题的结果有a，b，c，共 3 种， 此方案学生可参加复赛的概率 1 3
28、5 P 方案二：学生从 5 道备选题中任意抽出 3 道的结果有： (a，b，)c，(a，b，)E，(a，b，)F，(a，c，)E，(a，c，)F，(a，E，)F，(b， c，)E，(b，c，)F，(b，E，)F，(c，E，)F，共 10 种， 抽中至少 2 道会的备选题的结果有： (a，b，)c，(a，b，)E，(a，b，)F，(a，c，)E，(a，c，)F，(b，c，)E，(b， c，)F，共 7 种， 此方案学生可参加复赛的概率 2 7 10 P 12 PP，推荐的选手选择方案二答题方案进入复赛的可能性更大 【点睛】本题考查概率求法及应用，考查平均数、方差、古典概型等基础知识，考查运算求
29、解能力，是基础题 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 22. 某地级市共有200000中学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策， 在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困 难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对 这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元.经济学家调查发现，当 地人均可支配年收入较上一年每增加%n，一般困难的学生中有3 %n会脱贫，脱贫后将不再 享受“精准扶贫”政策， 很困难的学生有2 %n转为一般困难学生， 特别
30、困难的学生中有%n转 为很困难学生.现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步 处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值， 其中年份x取13时代表2013年，x取14 时代表2014年， 依此类推， 且x与y（单位： 万元） 近似满足关系式yx.（2013 年至2019年该市中学生人数大致保持不变） y 5 2 1 () i i yy 5 1 ()() ii i xxyy 0.8 3.1 1 （1）估计该市2018年人均可支配年收入为多少万元？ （2）试问该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少万元？ 附：对于一组具有线性相关关系的数据 11 (
31、 ,)u， 22 (,)u，(,) nn u，其回归直线方程 u的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i uu uu ， u . 【答案】(1) 0.10.7yx ;(2)1624 万元. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【解析】 分析： （1）根据表中数据，求出x，代入公式求值，从而得到回归直线方程，代入18x 即 可； （2）通过由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共 200000 7% 14000人.一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、 2800人，按照增长比例
32、关系求解 2017 年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生，即可得 财政预算. 详解： （1）因为 1 13 14 15 16 1715 5 x ，所以 5 22 222 1 ()211210 i i xx . 所以 5 1 52 1 0 .1 ii i i i xxyy xx ， 0.80.1 150. 7yx ，所以 0.1.70yx . 当18x 时，2018年人均可支配年收入0.1 180.7 1.1y （万元）. （2） 由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000 7% 14000人. 一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人，2018年人均可 支配收入比2017年增长 0.1 180.70.1 170.7 0.1 10% 0.1 170.7 . 所以2018年该市特别困难的中学生有28001 10%2520人， 很困难的学生有42001 20%2800 10%3640人， 一般困难的学生有70001 30%4200 20%5740人. 所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为 5740 0.1 3640 0.15 2520 0.2 1624（万元）. 点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用.
