云南省昆明市2019-2020学年高一下学期期末考试质量检测数学试题 Word版含解析.doc

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1、高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 昆明市昆明市 2019 2020 学年高一期末质量检测数学学年高一期末质量检测数学 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合1,2,3A, |02BxZx,则AB ( ) A. 3 B. 1,2 C. 1,2,3 D. 0,1,2,3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合 B 的描述确定其中的元素,再由交集运算求AB即可 【详解】由|02BxZx知

2、:0,1,2B ,而1,2,3A AB 1,2 故选:B 【点睛】本题考查了集合的基本运算,根据集合描述确定其元素,利用交集运算求集合,属 于简单题 2. 函数( ) lg(21)f xx 的定义域为( ) A (,) B. 1 , 2 C. (0,) D. 1 , 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据真数大于 0 解不等式可得结果. 【详解】由21 0 x-解得 1 2 x . 所以函数( )lg(21)f xx的定义域为 1 ( ,) 2 . 故选:D. 【点睛】本题考查了对数型函数的定义域,属于基础题. 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 3. 已知公差

3、为 2 的等差数列 n a满足 14 0aa,则 7 a ( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式可求得 1 a,即可求得 7 a. 【详解】由题意知 141 230aaad,因为2d ,可得 1 3a 所以 71 63 129aad . 故选:C 【点睛】本题主要考查了由等差数列的通项公式求数列中的项,属于基础题. 4. 已知向量(0,1)a ,(1, 3)b ,则a与b的夹角为( ) A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】A 【解析】 【分析】 由向量数量积的坐标表示,知 1 212 a bx xy y ,又

4、由|cosa ba b,结合(0,1)a , (1, 3)b 即可求a与b的夹角 【详解】设a与b的夹角为,由(0,1)a ,(1, 3)b ,则 |cos3a ba b,而| 1a ,| 2b 3 cos 2 ,又 0, 故 6 故选:A 【点睛】本题考查了利用向量数量积的坐标公式求向量夹角,注意向量数量积的两个公式的 应用: 1 212 a bx xy y 、|cosa ba b 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 5. 已知直线l经过点1,0,且与直线 20 xy平行,则l的方程为( ) A. 220 xy B. 220 xy C. 210 xy D. 21

5、0 xy 【答案】C 【解析】 【分析】 利用直线的点斜式方程求出l的方程, 【详解】直线l经过点1,0,且与直线20 xy平行,则l的方程为 1 1 2 yx ,化简 得210 xy 故选:C 【点睛】本题考查直线的方程,考查点斜式方程的应用,属于基础题 6. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的 体积为( ) A. 2 3 3 B. 4 3 C. 4 3 3 D. 8 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图作出原图,即可求出体积. 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【详解】 由三视图可知:原几何体如图是正方

6、体的一部分,底面ABCD是边长为2的正方形,平面 EAD 平面ABCD,EDA是等腰三角形,5EAED,2AD 所以体积为: 2 118 2 251 333 ABCD VSh , 所以该几何体的体积为: 8 3 故选:D 【点睛】本题主要考查了由三视图求原几何体的体积,属于中档题. 7. 若tan3,则tan 4 ( ) A. -2 B. 1 2 C. 1 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角差的正切公式可得 1tan tan() 41tan ,结合已知条件即可求tan() 4 的值 【详解】由两角差正切公式,知: 1tan tan() 41tan ,而tan3 1 31 t

7、an() 41 32 故选:B 【点睛】本题考查了利用正切差角公式求函数值,由 tantan tan() 1tantan 展开正切函 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 数式,结合已知条件求函数值 8. 设 3 log 0.4a , 3 log 0.5b , 0.2 3c ,则( ) A. abc B. bac C. cab D. cba 【答案】D 【解析】 【分析】 利用对数函数单调性可比较, a b,再由中间值 0 可得三者的大小关系. 【详解】因为 3 logyx是增函数,所以 33 log 0.4log 0.5,即ab,且都小于零, 0.1 50,1c

8、,因此abc,即cba, 故选:D. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题目. 9. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难, 次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还。”其意思为:有一 个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天到达目的地,则第 2 天走了( ) A. 96 里 B. 48 里 C. 24 里 D. 12 里 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知此人每天走的步数构成 1 2 为公比的等比数列,由求和公式可得首项,再计算可得 答案

9、 【详解】由题意可知此人每天走的里数构成 1 2 为公比的等比数列, 由题意得,利用等比数列的求和公式可得 6 1 1 1- 2 1 1- 2 a 378, 解得 a1192,第此人二天走 192 1 2 96 里. 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 故选:A 【点睛】本题考查等比数列的求和公式,求出数列的首项是解决问题的关键,属于基础题 10. 己知正方形ABCD的边长为 3,若 2DEEB ,则AE EC ( ) A. 4 B. -4 C. 5 D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】 利用 AE ECABBEEBBC,展开后用数量积的定义即可求解. 【详

10、解】 AE ECABBEEBBCAB EBAB BCBE EBBE BC cos135cos180cos45AB EBBE EBBE BC 22 3222123 22 3 2 34 故选:A 【点睛】本题主要考查了数量积的定义,涉及向量的线性运算,属于基础题. 11. 已知点3,4N,若直线 1 1 :(1)lyx k 与直线 2: (1)lyk x相交于点M,则MN 的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 由 1 1k k 得 12 ll,且直线 1 l恒过1,0,直线 2 l恒过1,0,得M是以0,0为圆 高考资源网() 您身边的高考专家

11、版权所有高考资源网 - 7 - 心,以 1 为半径的圆,MN表示圆上的点M与N之间的距离,即可求得MN的最大值. 【详解】由直线 1 1 :(1)lyx k 与直线 2: (1)lyk x中的斜率之积 1 1k k 得 12 ll, 且直线 1 l恒过1,0,直线 2 l恒过1,0,所以直线 1 l与直线 2 l的交点M是以0,0为圆心, 以 1 为半径的圆, 且点3,4N,MN表示圆上的点M与N之间的距离,MN的最大值为 22 3 04016 . 故选:C 【点睛】本题主要考查了两条直线间的垂直关系和圆的轨迹,圆上的点与定点间的距离最大 问题,两点的距离公式的应用,属于中档题. 12. 若函

12、数( ) sin()0,0 2 f xx 同时满足下列三个条件:当 12 1f xf x时, 12 xx最小值为; f x在0, 6 上不是单调函数; f x 在 7 0, 8 上有且仅有一个零点.则实数的取值范围为( ) A. 0, 6 B. , 6 4 C. , 4 3 D. , 3 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由可求得2,由知,函数( )sin(2)f xx在(0,) 6 内存在最值,可求得 62 ,由求得函数的零点为 22 k x ,kZ,根据 f x在 7 0, 8 上有且仅 有一个零点,可得 7 28 ,解得 4 ,综合可得 64 . 高考资源网() 您身边的高考专家 版权

13、所有高考资源网 - 8 - 【详解】由知,T,所以 2 2 , 由知,函数( )sin(2)f xx在(0,) 6 内存在最值,令2 2 xk ,kZ, 得 242 k x ,kZ,所以0 2426 k ,kZ, 所以 62 kk ,kZ, 因为0 2 ,所以0k , 62 , 由令2xk,kZ,得 22 k x ,kZ, 当0k 且kZ时, 2 x (0) 2 ,不合题意; 当3k 且kZ时, 3357 222448 x ,不合题意; 当1k 时, 22 x 7 (0,) 8 , 当2k 时, 2 x 3 (, ) 4 , 因为 f x在 7 0, 8 上有且仅有一个零点, 且 22 x 一

14、定在 7 0, 8 内, 所以 2 x 不在 7 0, 8 内,所以 7 28 ,解得 4 , 综上所述: 64 . 故选:B. 【点睛】本题考查了正弦函数的周期,考查了正弦函数的最值,考查了正弦函数的零点,属 于中档题. 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13. 已知( 3, 7)P 是角终边上一点,则sin( )_. 【答案】 7 4 【解析】 【分析】 利用任意角的三角函数的定义,求得 7 sin 4 ,进而利用诱导公式求出sin( ) 的值 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【详解】( 3

15、, 7)P 是角终边上一点,则 2 2 3,7,374xyr 7 sin 4 sin() 7 sin 4 . 故答案为: 7 4 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,涉及到诱导公式,属于基础题 14. ABC中,D为BC的中点,AB ADAC ,则 _. 【答案】3 【解析】 【分析】 D为BC的中点, 由向量加法的几何含义有 1 () 2 ADABAC, 即 2A BA D A C 结合题 设即可求得、,进而求 【详解】ABC中,D为BC的中点,则有 1 () 2 ADABAC 2ABADAC ,由ABADAC 可知:2,1 3 故答案为:3 【点睛】本题考查了向量的几何应用,根据向

16、量加法的几何应用,利用平行四边形法则得到 向量间的等量关系求得对应参数值,进而求目标代数式的值 15. 已知 f x是偶函数,对xR满足 (2)( )f xf x ,当0,1x时,( )21 x f x .则 3f_;若关于x的方程 ( )(1)(0)f xk xk 恰有四个不相等的实数根,则 k _. 【答案】 (1). 1 (2). 1 4 【解析】 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【分析】 根据 1 (3)(12)(1)211fff 可得第一个空的答案;转化为函数 ( )yf x与函数 (1)(0)yk xk的图象恰有四个交点,利用图象可得结果. 【详

17、解】因为对xR满足(2)( )f xf x,所以函数 ( )f x的周期为 2, 因为 1 (3)(1 2)(1)21 1fff ,所以 (3)1f, 因为当0,1x时,( )21 x f x ,所以当 1,0)x 时,(0,1x , 所以( )()21 x f xfx , 因为关于x的方程( )(1)(0)f xk xk恰有四个不相等的实数根, 所以函数( )yf x与函数(1)(0)yk xk的图象恰有四个交点, 作出函数 ( )f x在 1,1 内的图象,并根据函数 ( )f x的周期性作出函数( )f x的部分图象如图: 由图可知,当直线(1)(0)yk xk经过点(3,1)时,两个函

18、数的图象恰有四个交点, 所以 11 3 14 k . 故答案为:1 1 4 ;. 【点睛】本题考查了数形结合思想,考查了函数的奇偶性,考查了函数的周期性,属于基础 题. 16. 如图,正方体 1111 ABCDABC D中,E,F,G分别是棱 11 AD, 1 AA,AB的中点.下 列四个结论: 1/ / CDFG; /AC平面EFG; 平面BAC 平面EFG; 1 B DEG. 其中正确结论的编号是_. 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【答案】 【解析】 【分析】 对于,根据 11 / /CDBA, 1/ / BAFG,可得 1/ / CDFG; 对于,

19、延长EF交DA的延长线于H, 连HG, 通过证明/HGAC可证/AC平面EFG; 对于,平面EHG与平面ABC所成二面角不是直角可知平面BAC与平面EFG不垂直; 对于,可证 1 B D 平面FHG,从而可得 1 B DEG. 【详解】 对于,在正方体 1111 ABCDABC D中, 11 / /CDBA, 1/ / BAFG,所以 1/ / CDFG,故 正确; 对于,延长EF交DA的延长线于H,连HG,则 1 AHAEAG, 所以/HGAC,又HG平面EFG,AC 平面EFG,所以/AC平面EFG,故正 确; 对于,平面BAC与平面EFG不垂直;故不正确; 对于,在正方体中,因为 11

20、B DCD, 1/ / CDFG,所以 1 B DFG, 因为 1 B DAC, /ACHG,所以 1 B DHG,因为FGHGG, 所以 1 B D 平面FHG,又EG 平面FHG,所以 1 B DEG,故正确. 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 故答案为: 【点睛】本题考查了直线与直线的平行关系,考查了直线与平面平行的判定,考查了直线与 平面垂直的判定与性质,考查了平面与平面垂直,属于中档题. 三、解答题:共三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. ABC的角A,B,C的对边分别为

21、a,b,c,已知sinabA. (1)求B; (2)若2c ,5a ,D是AC边上异于A的点,且2BD ,求BCD的面积. 【答案】 (1)90; (2) 5 9 . 【解析】 【分析】 (1)根据正弦定理可得sin1B,可得90B ; (2)在直角三角形ABC中,求出 5 cos 3 C ,在BCD中,由余弦定理得 1 3 CD ,根据 面积公式可得解. 【详解】 (1)在ABC中,sinabA,由正弦定理得sinsinsinAAB, 因为sin0A,所以sin1B, 因为0B,所以90B . (2)在ABC中,3b, 5 cos 3 C , 在BCD中,由余弦定理得 222 2cosBDB

22、CCDBC CDC, 所以 2 5 452 5 3 CDCD,即 2 31030CDCD,解得 1 3 CD 或3CD. 因为D不与A重合,所以 1 3 CD , 所以BCD面积 2 11155 sin51 () 22339 SBC CDC . 【点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面积公式,属于基础题. 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 18. 已知数列 n a满足 5 4a , 1 2,3 4,3 n n n a n a an , * nN. (1)求 1 a; (2)求数列 n a前 20 项的和. 【答案】 (1)1; (2)401

23、. 【解析】 【分析】 (1) 由 5 4a 和 54 4aa求出 4 a, 利用数列 n a的前 4 项是公比为 2 的等比数列, 得到 1 a; (2)分别利用等比数列和等差数列的求和公式计算即可 【详解】 (1)由题意知数列 n a的前 4 项是公比为 2 的等比数列,从第 5 项开始是公差为-4 的等差数列. 因为 54 4aa,所以 4 8a ,又 3 41 2aa,所以 1 1a . (2) 1234520 16 15 (1248) 16 4( 4) 2 aaaaaa 15 416401. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的应用,考查分组求和公式,属于中档题 19. 如

24、图, 在四棱锥PABCD中,PA 平面ABCD, 底面ABCD是菱形,60ABC, E为CD的中点. (1)证明:CD平面PAE; (2)若F为PD的中点,是否存在点GPA,使平面/EFG平面PBC?若存在,指出点 G的位置,并证明;若不存在,说明理由. 【答案】 (1)证明见解析; (2)存在,G为PA的中点,证明见解析. 【解析】 【分析】 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - (1)由已知可得PACD,在底面ABCD中证明AECD,利用线面垂直的判定定理即 可得到证明. (2) 存在满足题意的G, 且G为PA的中点, 分别证明/ /EF平面PBC,/FG平面

25、PBC, 由面面平行的判定定理即可得证明. 【详解】 (1)证明:因为PA 平面ABCD,CD 平面ABCD, 所以PACD, 连接AC,因为底面ABCD是菱形,60ABC, 所以ACD为正三角形,又因为E为CD的中点, 因此AECD. 又因为PAAEA,PA,AE 平面PAE, 所以CD平面PAE. (2)存在满足题意的G,且G为PA的中点. 证明如下:连接EF,FG,EG, 因为E、F分别为CD、PD的中点,所以/EFPC. 又因为EF 平面PBC,PC 平面PBC, 所以/ /EF平面PBC. 同理可证:/FGAD,又因为/ /ADBC, 所以/FGBC,又因为FG 平面PBC,BC 平

26、面PBC. 所以/FG平面PBC,又因为EFFGF,EF,FG 平面EFG, 所以平面/EFG平面PBC. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和面面平行的判定定理的应用,考查分析推理和空间 想象力,属于基础题. 20. 已知函数 2 ( )2 3sin cos2cos1f xxxx. 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - (1)求 f x在区间0, 2 的最小值; (2)将 f x的图象向左平移 6 个单位后得到函数 ( ) yg x=的图象,求 g x的单调递减区 间. 【答案】 (1)-1; (2), 2 kk ,kZ 【解析】 【分析】 (1)根据正余弦的倍

27、角公式、辅助角公式化简 f x,确定它在0, 2 内的最值,即可求得最 小值;(2)根据图象的平移得到( )2cos2g xx,由于2yx为增函数,根据复合函数的单调 性及余弦函数的性质有 g x在222kxk上单调递减,即可求得递减区间 【详解】 (1)解:( )3sin2cos22sin 2 6 f xxxx , 当0, 2 x 时, 7 2 666 x ,有12sin 22 6 x 当 2 x 时, f x在区间0, 2 的最小值为-1. (2)由题意知:( ) 6 g xfx ( )2sin 22sin 22cos2 662 g xxxx , 由222kxk,kZ解得 2 kxk ,k

28、Z. 因此,函数 g x的单调递减区间为, 2 kk ,kZ 【点睛】本题考查了三角函数,根据二倍角的正余弦公式、辅助角公式化简函数式,并求区 间最值,由函数图象平移得到新函数解析式,结合复合函数的单调性求单调区间 21. 已知圆 22 :4O xy,经过点0,5P的直线l与圆O交于不同的两点A,B. 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - (1)若直线l的斜率为 2,求| |AB; (2)求 22 |PAPB的取值范围. 【答案】 (1)2 3; (2)(2,18. 【解析】 【分析】 (1)写出直线l的方程,求出弦心距,利用勾股定理可以求弦长| |AB. (2)

29、当l的斜率不存在时,可直接求 22 |PAPB;当l的斜率存在时;设:5l ykx, 与圆的方程联立后消参,由,可以得k的取值范围,利用两点间距离公式将 22 |PAPB用k表示出来,结合k的取值范围即可求解. 【详解】 (1)由已知得直线l的方程为25yx,即250 xy. 设圆心到直线l的距离为d,则 22 |5 | 1 2( 1) d , 因为圆O的半径2r =,所以 22 | 3 2 AB rd, 所以| 2 3AB (2)解法一:当l的斜率不存在时,:0l x ,此时,0, 2A,0,2B, 22 |18PAPB. 当l的斜率存在时,设直线l的斜率为k, 11 ,A x y, 22

30、,B x y,则:5l ykx, 由 22 5 4 ykx xy ,消y得 22 12 510kxkx , 因为直线与圆有不同的两个交点,则,即 2 1 4 k , 所以 12 2 2 5 1 k xx k ,而 1212 2 5yyk xx,所以 12 2 2 5 1 yy k . 又 22 11 4xy, 22 22 4xy, 所以 22 2222 1122 |55PAPBxyxy 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 2222 112212 2 20 2 51018 1 xyxyyy k . 因为 2 1 4 k ,所以 2 20 21818 1k , 综上

31、可得: 22 |(2,18PAPB. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,考查了求弦长,属于中档题. 22. 土豆学名马铃薯,与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物.云南人爱吃土豆, 在云南土豆也称洋芋,昆明人常说“吃洋芋,长子弟”.2018年3月,在全国两会的代表通道 里,云南农业大学名誉校长朱有勇院士,举着一个两公斤的土豆,向全国的媒体展示,为来 自家乡的“山货”代言,他自豪地说:“北京人吃的醋溜土豆丝,5盘里有4盘是我们澜沧种 的!” (1)在菜市上,听到小王叫卖:“洋芋便宜卖了,两元一斤,三元两斤,四元三斤,五元四 斤,六元五斤,快来买啊!”结果一群人都在买六元五斤的.由此

32、得到如下结论:一次购买的 斤数越多,单价越低,请建立一个函数模型,来说明以上结论; (2)小王卖洋芋赚到了钱,想进行某个项目的投资,约定如下:投资金额固定;投资年 数可自由选择,但最短3年,最长不超过10年;投资年数 * x xN与总回报y的关系, 可选择下述三种方案中的一种:方案一:当3x 时,6y ,以后x每增加1时,y增加2; 方案二: 2 1 3 yx;方案三: 3 3 x y .请你根据以上材料,结合你的分析,为小王提供一个 最佳投资方案. 【答案】 (1) * 1 15, x f xxx x N; (2)答案见解析. 【解析】 【分析】 (1)设顾客一次购买x斤土豆,每斤土豆的单价

33、为 f x元,根据题意可得出 * 1 15, x f xxx x N,化为 1 1f x x ,利用该函数的单调性可得出结论; (2)求出方案一中函数模型的解析式,列表得出三种方案所有年数的总回报,根据表格中的 数据可得出结论. 高考资源网() 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 【详解】 (1)设顾客一次购买x斤土豆,每斤土豆的单价为 f x元, 由题意知: * 1 15, x f xxx x N, 因为 11 1 x f x xx ,所以 yf x在1,5为单调递减函数. 说明一次购买的斤数越多,单价越低; (2)根据题意,按照年数的不同取值范围,选出总回报最高的方案. 由

34、题意可知方案一对应的解析式为:6322yxx. 列表得出三种方案所有年数的总回报,可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关 系,进而可得出如下结论: 投资年数x 总回报y 3 4 5 6 7 8 9 10 方案一 6 8 10 12 14 16 18 20 方案二 3 16 3 25 3 12 49 3 64 3 27 100 3 方案三 3 3 4 3 5 3 3 9 3 7 3 8 3 3 27 10 3 3 当投资年数为35年时,选择方案一最佳; 当投资年数为6年时,选择方案一或方案二最佳; 当投资年数为7年或8年时,选择方案二最佳; 当投资年数为9年时,选择方案二或方案三最佳; 当投资年数为10年时,选择方案三最佳. 【点睛】本题考查函数模型的选择,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.

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