1、 专题专题 03 逐个击破考向逐个击破考向-第第三三周：周：多情况分析多情况分析 考察规律考察规律 题型总结题型总结 通过分析对比，可以看出： 多情况分析题型主要分为五类： 直角三角形存在性讨论； 等腰三角形存在性讨论； 特殊点、特殊位置讨论； 特殊四边形存在性讨论； 代数相关的多情况分析讨论。 该类题型是 2017 年以后开始在中考中每年必出的必考考点，难度一般都比较大。 真题在线真题在线 年份：年份：2017 年年 考向：多情况分析考向：多情况分析-特殊图形判断特殊图形判断 14在三角形纸片 ABC 中，A90 ，C30 ，AC30 cm.将该纸片沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在斜边
2、 BC 上的一点 E 处， 折痕记为 BD(如图 1)， 剪去 CDE 后得到双层 BDE(如图 2)， 再沿着过 BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形则所得平行四边形的周 长为_ cm. 【答案】 40 或80 3 3 【解析】在 RtABC 中，AC30，C30 ，可得 ABBE10 3，由对称性可知ABDEBD30 ， 在 RtABD 中，AD10，ADDE10，CD20.a.如解图所示，当沿过 E 点的直线剪开，展开 后所得平行四边形是以 AD 和 DE 为邻边的平行四边形 ADEF 时，ADDE10，所得平行四边形 ADEF 的周长为 4AD
3、40； b如解图所示，当沿过 D 点的直线剪开，展开后所得平行四边形是以B 为顶角，BD 为对角线的 平行四边形 DFBG 时， 由折叠性质可得 DGDF， DFAB， DFABCDCA23， AB10 3， DF20 3 3 ，所得平行四边形 DFBG 的周长为 4DF80 3 3 . 第 14 题解图 第 14 题解图 年份：年份：2018 年年 考向：多情况分析考向：多情况分析-特殊图形判断特殊图形判断 14. 矩形 ABCD 中， AB6， BC8， 点 P 在矩形 ABCD 的内部， 点 E 在边 BC 上， 满足 PBEDBC， 若 APD 是等腰三角形，则 PE 的长为_ 【答案
4、】3 或6 5 【解析】根据PBEDBC，判断点 P 一定在对角线 BD 上；根据APD 是等腰三角形，分为三种情况： DADP，PAPD，APAD(此时点 P 在边 AB 的延长线上，不合题意)(1)如解图，当 DADP 时(点 P 为图中的点 P1，E 为图中的点 E1)；由题得 BD AB2AD2 628210，BP1BDDP11082； 由P1BEDBC 得 P1ECDP1BDB，即 P1E6210，解得 P1E6 5；(2)如解图，当 PAPD 时(点 P 为图中的点 P2，E 为图中的点 E2)；由等腰三角形的性质得 P2E 垂直平分 AD(或 BC)，那么 P2E3，P2E 的长
5、为 3 或6 5. 第 14 题解图 年份：年份：2019 年年 考向：多情况分析考向：多情况分析-函数图像综合函数图像综合 14、在平面直角坐标系中，垂直于 x 轴的直线 l 分别与函数 y=x-a+1 和 y=x2-2ax 的图像交于 P， Q 两点，若平移直线 l，可以使 P，Q 都在 x 轴的下方，则实数 a 的取值范围 是 . 【答案】a1或 a-1 【分析】首先求出 y=x-a+10和 y=x2-2ax0 的解集，然后分情况讨论，联立不等式，即可得到 a的取 值范围. 【解析】解：直线 l分别与函数 y=x-a+1 和 y=x2-2ax的图像相交于 P，Q两点，且都在 x轴的下方，
6、 令 y=x-a+10，解得 xa-1， 令 y=x2-2ax0，当 a0时,解得：0 x2a；当 a0时，解得：2ax0， 当 a0时，若 1 02 xa xa 有解，则0a 1，解得：a1， 当 a0时，若 1 20 xa ax 有解，则2aa 1，解得：a-1， 综上所述，实数 a的取值范围是 a1或 a-1. 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数与不等式的关系，利用数形结合与分类讨论思想是解题关键. 解法总结解法总结 例 1、（2018 年合肥包河区一模）如图，在ABC 中，已知：ABAC6，BC8，P 是 BC 边上一点（P 不与点 B，C 重合），DPEB，且 DP 边始终经过点
7、A，另一边 PE 交 AC 于点 F，当APF 为等腰 三角形时，则 PB 的长为 【分析】需要分类讨论：当 APPF 时，易得ABPPCF 当 AFPF 时，ABCFAP，结合相似三角形的对应边成比例求得答案 当 AFAP 时，点 P 与点 B 重合 【解析】解：当 APPF 时，易得ABPPCF，则 PCAB6，故 PB2 当 AFPF 时，ABCFAP， ，即 PC PB 当 AFAP 时，点 P 与点 B 重合，不合题意 综上所述，PB 的长为 2 或 故答案是：2 或 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌 握性质定理是解题的关键
8、例 2（2019 年安徽省安庆一模）如图，ABC 是一张等腰三角形纸片，且 ABAC6，BC4，将ABC 沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一 个与原ABC 不全等的新三角形，则折痕的长为 【分析】如图 1，过 A 作 ADBC 于 D，沿 AD 剪开后的两个三角形能够拼成一个与原ABC 不全等 的新三角形，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论；如图 2，作 AC 边上的中线 BE，过 B 作 BHAC 于 H，沿 BE 剪开后的两个三角形能够拼成一个与原ABC 不全等的新三角形，设 CHx， 则 AH6x，根据勾股定理即可得到结论
9、【解析】解：如图 1，过 A 作 ADBC 于 D， 沿 AD 剪开后的两个三角形能够拼成一个与原ABC 不全等的新三角形， ABAC， BDCDBC2， AD4； 如图 2，作 AC 边上的中线 BE，过 B 作 BHAC 于 H， 沿 BE 剪开后的两个三角形能够拼成一个与原ABC 不全等的新三角形， 设 CHx，则 AH6x， 由勾股定理得，BC2CH2AB2AH2， 42x262（6x）2， 解得：x， BH， EH3CH， BE， 折痕的长为或 4， 故答案为：或 4 【点睛】本题考查了图形的剪拼，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 练习 1（2019 年安徽省滁州市定远
10、县一模）如图：在四边形纸片 ABCD 中，AB12，CD2，ADBC 6，AB现将纸片沿 EF 折叠，使点 A 的对应点 A落在 AB 边上，连接 AC若ABC 恰好是以 AC 为腰的等腰三角形，则 AE 的长为 【分析】过点 C 作 CMAB 于点 M，过点 D 作 DNAB 于点 N，由“AAS”可证ADNBCM，可得 ANBM，DNCM，即可证四边形 DCMN 是矩形，可得 CDMN2，ANBM5，由折叠性质可得 AEAE，分 ACBC 和 ACAB 两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解 【解析】解：如图，过点 C 作 CMAB 于点 M，过点 D 作 DNAB 于点 N，
11、ADBC6，AB，DNACMB90 ADNBCM（AAS） ANBM，DNCM，且 DNCM，DNAB 四边形 DCMN 是矩形， CDMN2 ANBM5 将纸片沿 EF 折叠，使点 A 的对应点 A落在 AB 边上， AEAE， 若 ACBC，且 CMAB BMAM5 AAABAB12102 AE1 若 ACAB，过点 A作 AHBC， CH2BC2BM2AC2AM2， 3625AB2（5AB）2， AB AAABAB12 AE 故答案为：1 或 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，利用分类讨论思想 解决问题是本题的关键 练习 2（2019 年安徽省二十
12、校联盟）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是对角线 BD 上一动 点（不与点 B、D 重合），将矩形沿过点 E 的直线 MN 折叠，使得点 A、B 的对应点 G、F 分别在直线 AD 与 BC 上，当DEF 为直角三角形时，CN 的长为 【分析】分两种情况进行讨论：当DFE90时，DEF 为直角三角形；当EDF90时，DEF 为直角三角形，分别判定DCFBCD，得到，进而得出 CF，根据线段的和差关系可得 CN 的长 【解析】解：分两种情况： 如图所示，当DFE90时，DEF 为直角三角形， CDF+CFDEFN+CFD90， CDFEFN， 由折叠可得，EFEB， EFNE
13、BN， CDFCBD， 又DCFBCD90， DCFBCD， ，即， CF， FN， CNCF+NF+； 如图所示，当EDF90时，DEF 为直角三角形， CDF+CDBCDF+CBD90， CDBCBD， 又DCFBCD90， DCFBCD， ，即， CF， NF， CNNFCF， 综上所述，CN 的长为或 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键 是依据相似三角形的对应边成比例列式计算解题时注意分类思想的运用 练习 3 （2019 年安徽省阜阳市颍上县一模） 如图， 在边长为 6 的正方形ABCD中， 点E是边AB上一动点 （
14、不 与A，B两点重合） ，过点E作EFAB交对角线AC于点F，连接DF当ADF是等腰三角形时，AE的长 度等于 【分析】分三种情况：当AFAD6 时，AEF是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出结果； 当AFDF时，ADF是等厘直角三角形，由勾股定理得出AF，再由勾股定理即可得出结果； 当ADDF时，AFD45，此时点F与点C重合，点E与点B重合，不符合题意；即可得出答案 【解析】解：当AFAD6 时，AEF是等腰直角三角形， AFAE， AE3 当AFDF时，ADF是等厘直角三角形， ADAF6， AF3， 在等腰直角三角形AEF中，AFAE， AE3 当ADDF时 ，AFD45，此时点F与点
15、C重合，点E与点B重合，不符合题意； 综上所述，当ADF是等腰三角形时，AE的长度等于或 3； 故答案为：或 3 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三 角形的性质和勾股定理是解题的关键 练习 4（2019 年安徽省合肥市肥东县一模）如图，在ABC 中，已知：ABAC6，BC8，P 是 BC 边 上一点（P 不与点 B，C 重合），DPEB，且 DP 边始终经过点 A，另一边 PE 交 AC 于点 F，当 APF 为等腰三角形时，则 PB 的长为 【分析】需要分类讨论：当 APPF 时，易得ABPPCF 当 AFPF 时，ABCFAP，结合相
16、似三角形的对应边成比例求得答案 当 AFAP 时，点 P 与点 B 重合 【解析】解：当 APPF 时，易得ABPPCF，则 PCAB6，故 PB2 当 AFPF 时，ABCFAP， ，即 PC PB 当 AFAP 时，点 P 与点 B 重合，不合题意 综上所述，PB 的长为 2 或 故答案是：2 或 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌 握性质定理是解题的关键 练习 5（2019 年合肥市六区联考）如图，在等边ABC 中，AB4cm，点 M 为边 BC 的中点，点 N 为边 AB 上的任意一点（不与点 A，B 重合）若点 B 关于直线 M
17、N 的对称点 B恰好落在等边ABC 的边上， 则 BN 的长为 cm 【分析】 如图 1， 当点 B 关于直线 MN 的对称点 B恰好落在等边三角形 ABC 的边 AB 上时， 于是得到 MN AB，BNBN，根据等边三角形的性质得到ACBC，ABC60，根据线段中点的定义得到 BN BM1，如图 2，当点 B 关于直线 MN 的对称点 B恰好落在等边三角形 ABC 的边 A，C 上时，则 MN BB，四边形 BMBN 是菱形，根据线段中点的定义即可得到结论 【解析】解：如图 1，当点 B 关于直线 MN 的对称点 B恰好落在等边三角形 ABC 的边 AB 上时， 则 MNAB，BNBN， A
18、BC 是等边三角形， ABACBC，ABC60， 点 M 为边 BC 的中点， BMBCAB2， BNBM1， 如图 2，当点 B 关于直线 MN 的对称点 B恰好落在等边三角形 ABC 的边 A，C 上时， 则 MNBB，四边形 BMBN 是菱形， ABC60，点 M 为边 BC 的中点， BNBMBCAB2， 故答案为：1 或 2 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键 练习 6（2019 年安徽省合肥市庐江县一模）如图，在直角ABC 中，C90，AC6，BC8，P、Q 分别为边BC、 AB上的两个动点， 若要使APQ是等腰三角形且BPQ是
19、直角三角形， 则AQ 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当 AQPQ，QPB90时，当 AQPQ，PQB 90时； 【解析】解：如图 1 中，当 AQPQ，QPB90时，设 AQPQx， PQAC， BPQBCA， ， ， x， AQ 当 AQPQ，PQB90时，设 AQPQy BQPBCA， ， ， y 综上所述，满足条件的 AQ 的值为或 【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会 用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题 练习 7（2019 年安徽省合肥市瑶海区一模）如图，有一张面积为 12 的锐角三角形纸片，其中一边
20、 BC 为 4，把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，且矩形的一边与 BC 平行，则矩形的周长为 【分析】画出符合的两种图形，根据面积求出高 AD 长，再根据矩形的性质求出四条边的长，即可求出 矩形的周长 【解析】解：如图中，作 ADBC 于 D，作线段 CD，BD 的垂直平分线，可得矩形 EFGH BCAD12，BC4， AD6， EFGHAD6，EHFG2， 矩形的周长2（6+2）16 如图中，作线段 AD 的垂直平分线，可得矩形 EFBC， 易知 ODECBF3，EFBC4， 矩形 EFBC 的周长2（3+4）14， 故答案为 16 或 14 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，矩形
21、的性质，三角形的面积等知识点，能画出符合的两种图 形是解此题的关键 练习 8（2019 年安徽省合肥市 168 中学一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC4，点 E 是边 BC 上 一动点，把DCE 沿 DE 折叠得DFE，射线 DF 交直线 CB 于点 P，当AFD 为等腰三角形时，DP 的 长为 【分析】先根据 ADBC4，DFCDAB6，得出 ADDF，再分两种情况进行讨论：当 FAFD 时，过 F 作 GHAD 与 G，交 BC 于 H，根据DGFPHF，得出，即，进而 解得 PF6，进而得出 DP 的长；当 AFAD4 时，过 F 作 FHBC 于 H，交 DA 的延长线 于
22、 G，根据勾股定理求得 FG，FH6，再根据DFGPFH，得出，即 ，进而解得 PF6，即可得出 PD 的长 【解析】解：ADBC4，DFCDAB6， ADDF， 故分两种情况： 如图所示，当 FAFD 时，过 F 作 GHAD 与 G，交 BC 于 H，则 HGBC，DGAD2， RtDFG 中，GF4， FH64， DGPH， DGFPHF， ，即， 解得 PF6， DPDF+PF6+6； 如图所示，当 AFAD4 时，过 F 作 FHBC 于 H，交 DA 的延长线于 G，则 RtAFG 中，AG2+FG2AF2，即 AG2+FG216； RtDFG 中，DG2+FG2DF2，即（AG+
23、4）2+FG236； 联立两式，解得 FG， FH6， GFHP90，DFGPFH， DFGPFH， ，即， 解得 PF6， DPDF+PF6+6， 故答案为： 或 【点睛】本题是折叠问题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及矩 形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，运用相似三角形的 对应边成比例列出方程，求得线段的长解题时注意分类思想的运用 练习 9 （2019 年安徽省合肥市四十五中三模）在矩形ABCD， 6,10ABBC，沿着过矩形顶点的一条 直线（不经过B点）将B折叠，使点B的对应点B落在矩形的边上，则折痕的长为_ 【分析
24、】根据题意可得图 1、图 2 两种情况，据此利用勾股定理进一步求解即可. 【解析】如图 1 中，当折痕为直线AM时， 根据折叠性质可得：6AB AB ， 22 666 2AM ， 即此时折痕长为6 2； 如图 2 中，当直线CM为折痕时， 根据折叠性质可得：BMB M ，10BBCC， 在Rt CDB中， 22 1068BD ， 10 82AB 设BMMx B ， 在RtBAM中， 2 22 62xx， 解得 10 3 x ， CM= 2 2 1010 10 10 33 ， 综上所述，满足条件的折痕长为6 2或10 10 3 ， 故答案为：6 2或10 10 3 . 【点睛】本题主要考查了四边
25、形折叠问题与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 练习 10 （2019 年安徽省合肥市四十五中三模）等边三角形 ABC 中，AB3，点 D 在直线 BC 上，点 E 在直 线 AC 上，且BADCBE，当 BD1 时，则 AE 的长为_ 【分析】分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可. 【解析】解：分四种情形： 如图 1 中，当点 D 在边 BC 上，点 E 在边 AC 上时 ABC 是等边三角形， ABBCAC3，ABDBCE60， BADCBE， ABDBCE（ASA） ， BDEC1， AEACEC2； 如图 2 中，当点 D 在边 BC 上，
26、点 E 在 AC 的延长线上时作 EFAB 交 BC 的延长线于 F CEFCAB60，ECFACB60， ECF 是等边三角形， 设 ECCFEFx， ABDBFE60，BADFBE， ABDBFE， BDAB EFBF ，即 13 3xx ，解得 x 3 2 ， AEAC+CE 9 2 ； 如图 3 中，当点 D 在 CB 的延长线上，点 E 在 AC 的延长线上时 ABDBCE120，ABBC，BADCBE， ABDBCE（ASA） ， ECBD1， AEAC+EC4； 如图 4 中，当点 D 在 CB 的延长线上，点 E 在边 AC 上时，作 EFAB 交 BC 于 F，则 EFC 是等边三角形 设 ECEFCFm， 由 ABDBFE，可得 BDAB EFBF ， 13 3mm ，解得 m 3 4 ， AEACEC 9 4 ， 综上所述，满足条件的 AE 的值为 2 或 4 或 9 2 或 9 4 故答案为：2 或 4 或 9 2 或 9 4 【点睛】本题以等边三角形为载体，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的 判定与性质，正确分类、不重不漏的画出符合题意的图形、灵活应用全等三角形和相似三角形的判定和性 质是解答的关键.
