1、数学试题数学试题 (本试卷共 6 页，22 题；全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟) 注意事项： 1答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3非选择题的作答：用 0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 第 I 卷(共 80 分) 一、单项选择题：本题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题只有一个选项符合题意 1已知全集，集合，则阴影部分表示的集合是 A B C D 2
2、已知函数，则“”是“上是增 函数”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。 周髀算经中记录着商高 同周公的一段对话。商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五。”大意为“当直角三角形的 两条直角边分别为 3(勾)和 4(股)时， 径隅(弦)则为 5”。 以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦 五”， 根据该典故称勾股定理为商高定理。 勾股数组是满足的正整数组 若 在不超过 10 的正整数中，随机选取 3 个不同的数，则能组成勾股数组的概率是 A B C D 4已知函数 (P 为自然对数的底数)，若
3、，则 A B C D 5已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是 A若，则 B若，则 C若，则 D，则所成的角和所成的角相等 6.已知，则 A B C D 7对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒 戈函数”，设是定义在上的“倒戈函数”，则实数 m 的 取值范围是 A. B. C. D. 8已知，则 AM 的最小值为 BM 的最小值为 CM 的最小值为 DM 的最小值为 二、多项选择题：本题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，每小题至少有两个选项符合题意， 全对得 5 分，漏选得 3 分，选错不得分 9新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考
4、试(以下称合格考)和选择性考试(以 下称选择考)， 其中“选择考”成绩将计入高考总成绩， 即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷 面分数，由高到低进行排序，评定为 A，B，C，D，E 五个等级某试点高中 2019 年参加“选 择考”的总人数是 2017 年参加“选择考”的总人数的 2 倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的 水平情况，现统计了该校 2017 年和 2019 年“选择考”的成绩等级结果，得到如下图表： 针对该校“选择考”情况，2019 年与 2017 年相比，下列说法正确的是 A获得 A 等级的人数减少了 B获得 B 等级的人数增加了 1.5 倍 C获得 D 等级的人数增加了了一
5、半 D获得 E 等级的人数相同 10己知函数，若将函数的图象向右平移个单位 长度后，所得图象关于原点对称，则下列结论中正确的是 A B是图象的一个对称中心 C. D图象的一条对称轴 11设函数若函数有三个零点，则实数 b 可取的 值可能是 A0 B C D1 12已知边长为 2 的等边，点 D、E 分别是边 AC、AB 上的点，满足 DEBC 且 ，沿直线 DE 折到的位置，在翻折过程中，下列结论成 立的是 A在边上存在点 F，使得在翻折过程中，满足 BF/平面 B存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面 BCDE C若，当二面角等于时， D在翻折过程中，四棱锥积的最大值记为的最大值为
6、第卷(非选择题，共 70 分) 三、填空题：本题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知的值为_ 14一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，得 0 分的概率 ，已知他投篮一次得分的数学期望为 2，则的最小值为_ 15已知定义在 R 上的函数的周期为 4，当时， 则_ 16的展开式中，常数项是_；系数最大的项是_(本小题 第一空 2 分，第二空 3 分) 四、解答题(本题包括 6 小题。共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(10 分) 已知函数 (1)当时，求曲线处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性 18(12 分) 己知
7、函数满足下列 4 个条件中的 3 个，4 个条 件依次是：，周期，过点 (1)写出所满足的 3 个条件的序号(不需要说明理由)，并求的解析式 (2)求函数的图像与直线相邻两个交点间的最短距离 19(12 分) 近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署， 在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶 贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所 示： 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： (1)求 y 关于 x 的线性回归方程，(计算结果保留两位小数) (
8、2)是否有 99.9的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性? 参考公式： 临界值表： 20(12 分) 如图四棱锥， 底面 ABCD 是等腰梯形， CDAB， AC 平分且 平面 ABCD，平面 PAB 与平面 ABCD 所成角为 60 (1)求证： (2)求二面角 DPAC 的余弦值 21(12 分) 公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼 吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验为了研究小白鼠连续接 种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定
9、对小白鼠进行做接种试验该试验的设计为： 参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状 与上次接种无关 (1)若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的 概率； (2)若某只小自鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束后，对其 终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 22(12 分) 已知函数 (1)求证：； (2)用表示中的最大值，记，讨论函数零点的个数。 参考答
10、案 选择题答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D A D A D BC CD BCD CD 三、填空题 13. -1； 14.9 15.3 16. 60 ； 240 x6 3 2 2 四、解答题 x x2x 17.解(1)当 a2 时,f(x)2x 1 lnx,f(x)2 1 1,又 f(1)0,f(1)3, 所以曲线 f(x)在 x1 处的切线方程为 y3. 4 分 1 1a ax2(1a)x1 (x -1)(ax +1) (2)f(x)ax2x x2 = (x0),. 6 分 x2 当 a0 时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上
11、单调递增； 1 1 当1a0 时,f(x)在(0,1)和 a， 上单调递减,在 1，a 上单调递增； 当 a1 时,f(x)在(0,)上单调递减； 0 1 1 当 a10.828 200 100 200 100 200 100 200 100 故有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性。. 12 分 20.解 （1）证明：因为 PC平面 ABCD，所以 PC BC. 又因为 BCAC ，所以 BC平面 PCA， PA平面 PCA,所以 BCPA. 4 分 （2）证明：等腰梯形 ABCD 中，设 BC=1. 因为 BCAC 且 AC 平分 BAD， 所以 CBA=2CAB=60o ， 所
12、以 AB=2,AC=3. VDCA 中 CD =AD , DAC = DCA=30o ， 所以 CD=1. 5 分 以 C 为原点，以 CB ， CA ， CP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标 系. C(0,0,0) , B(1,0,0) , A(0, 3, 0) ， D(-1 ,3 , 0) ， P(0,0, a) ， 2 2 平面 ABCD 法向量 n0 =（0,0,1） ，设平面 PAB 法向量为 n1 =（x,y,z） n uuuv 3 1 有 1 PB=0 1 2 uuuv ，所以 n1 =（ 3a,a, 3） ， cos60o =|cosn,n|= =
13、， n1 AB=0 4a2+3 2 所以 a=3（几何法求出也对应给分）. 8 分 2 平面 PAC 法向量 n2 =（1,0,0） ，平面 PAD 法向量 n3 =（x,y,z） ， n3 uuuv PD=0 ，所以 n=（-3, 3,2）. 10 分 uuuv 3 n3 PA=0 |cosn2 ,n3 |= 3 9+3+4 =3 ， 4 所以二面角 D-PA-C 的余弦值为 3. 12 分 4 21.解（1）已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为 1, 每次试验间相互独立 4 ， 所以，一只小白鼠第一天出现 Z 症状的概率为 p =1 1 4 第二天出现 Z 症状的概率为 p =1 3 =3 2 4 4 16 22.22. 2 分 7 分 9 分 12 分
