1、2020-2021 学年度第一学期学校学年度第一学期学校 10 月月考卷月月考卷解析版解析版 考试时间：120 分钟；命题人： 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 注意事项：注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，
2、回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题一、单选题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。题目要求的。 1已知集合已知集合| 25Axx，| 31Bxx ，则，则AB （ ） A|21xx B| 32xx C| 35xx D|15xx 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 由集合交集的定义直接运算即可得解. 【详解】 因为集合|25Axx，| 31Bxx ， 所以|21BxxA. 故选：A. 【点睛】 本题考查了集合的交集运算，
3、考查了运算求解能力，属于基础题. 2已知复数已知复数z满足满足1 izi ，则其共扼复数为（，则其共扼复数为（ ） A1i B 1i C1i D1 i 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 根据复数的运算法则计算，即可写出共轭复数. 【详解】 因为1izi ，所以 2 111 1 1 iiii zi ii ，其共轭复数为1 i. 故选：D. 【点睛】 本题考查复数的运算法则，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题. 34 名护士和名护士和 2 名医生站成一排，名医生站成一排，2 名医生顺序固定，则不同的排法种数为（ 名医生顺序固定，则不同的排法种数为（ ） A480 B360
4、C288 D144 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 先将 6 个元素作全排列，再除以 2 2 A可得答案. 【详解】 4 名护士和 2 名医生站成一排，共有 6 6 A种， 又因为 2名医生顺序固定，所以不同的排法种数为 6 6 2 2 720 360 2 A A 种. 故选：B. 【点睛】 本题考查了排列中的定序问题，属于基础题. 4 远古时期， 人们通过在绳子上打结来记录数量， 即远古时期， 人们通过在绳子上打结来记录数量， 即“ “结绳计数结绳计数”， 就是现在我们熟悉的， 就是现在我们熟悉的“进位制进位制”， 下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次
5、排列的不同绳子上打结，满五下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五 进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ） A27 B42 C55 D210 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为 5 132 ，化为十进制数即可得出结果. 【详解】 由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为 5 132 ，化为十进制数为 2 5 1321 53 5242 . 故选：B. 【点睛】 本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题. 5根据天气预报，某一天根据天
6、气预报，某一天 A城市和城市和 B城市降雨的概率均为 城市降雨的概率均为 0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之，假定这一天两城市是否降雨相互之 间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（ ） A0.16 B0.48 C0.52 D0.84 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 求其对立事件两城市均未降雨的概率，进而可得结果. 【详解】 记 A 城市和 B城市降雨分别为事件A和事件B，故 P A0.6， 0.6P B ， 可得 0.4P A ， 0.4P B ,两城市均未降雨的概率为0.4 0.40.16P
7、 A B， 故至少有一个城市降雨的概率为1 0.160.84， 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的应用，属于基础题. 6（20202020 北京卷）北京卷）已知函数( )21 x f xx，则不等式 ( )0f x 的解集是（ ） A. ( 1,1) B. (, 1)(1,) C. (0,1) D. (,0)(1,) 【答案】D 作出函数2xy 和 1yx 的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为 21 x f xx ，所以 0f x 等价于2 1 x x， 在同一直角坐标系中作出2xy 和 1yx 的图象如图： 两函数图象的交点坐标为(0,1),
8、(1,2)，不等式21 x x的解为0 x或1x . 所以不等式 0f x 的解集为：,01,.故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 7已知向已知向量量( 3,0)a ，( , 2)bx ，且，且(2 )aab，则，则x（ ） A3 B 3 2 C3 D 3 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 由向量( 3,0)a ，( , 2)bx，得到2( 32 4)abx，再根据向量的数量积的运算，列出 方程，即可求解， 【详解】 由题意，向量( 3,0)a ，(2)bx，2( 32 4)abx， 又(2 )aab，可得3( 32 )0 x，解得 3 2 x ，故选
9、 D. 【点睛】 本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，以 及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8 已知函数 2 ( )lg(45)f xxx在( , )a 上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. (2,) B. 2,) C. (5,) D. 5,) 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出 f x的定义域，然后求出 2 ( )lg(45)f xxx的单调递增区间即可. 【详解】由 2 450 xx得5x 或1x 所以 f x的定义域为, 1(5,) 因为 2 45yxx在(5, )上单调递增
10、所以 2 ( )lg(45)f xxx在(5, )上单调递增 所以5a 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 二、多选题二、多选题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对得分，部分选对得 3 分。分。 9若直线若直线:2 30lxby 过椭圆过椭圆 22 :1010Cxy的一个焦点，则实数的一个焦点，则实数 b的值可以是（的值可以是（ ） A1 B 1 2 C1 D 1
11、2 【答案】【答案】AC 【解析】【解析】 【分析】 先将椭圆方程化成标准式，即可求出焦点坐标，再根据焦点在直线上，即可求出 【详解】 将椭圆 C 的方程化为标准形式，易知椭圆 2 2 1 10 y x 的焦点为 1 0, 3F， 2 0,3F，代入直线 l 的方程中解得1b或1 故选：AC 【点睛】 本题主要考查根据椭圆的几何性质的应用，属于基础题 10函数函数( ) sin()0,0,| 2 f xAxA 的部分图像如图所示，将函数的部分图像如图所示，将函数 ( )f x的图像向 的图像向 左平移左平移 3 个单位长度后得到个单位长度后得到( )yg x的图像，则下列说法正确的是（的图像，
12、则下列说法正确的是（ ） A函数函数( )g x为奇函数为奇函数 B函数函数( )g x的最小正周期为的最小正周期为 C函数函数( )g x的图像的对称轴为直线的图像的对称轴为直线 () 6 xkk Z D函数函数( )g x的单调递增区间为的单调递增区间为 5 ,() 1212 kkk Z 【答案】【答案】BD 【解析】【解析】 【分析】 根据图象得到函数 ( )f x解析式， 将函数( )f x的图象向左平移 3 个单位长度后得到( )yg x的图象， 可得( )yg x解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判 断，从而可得结论. 【详解】 由图象可知 3
13、A， 33 253 441234 T， 2，则( )3sin(2)f xx. 将点 5 ,3 12 的坐标代入( )3sin(2)f xx中，整理得 5 sin 21 12 ， 5 22,Z 122 kk ，即2,Z 3 kk .| 2 ， 3 ， ( )3sin 2 3 f xx . 将函数 ( )f x的图象向左平移 3 个单位长度后得到( )yg x的图象， ( )3sin 23sin 2, 333 g xxxxR. ( )g x既不是奇函数也不是偶函数，故 A错误； ( )g x的最小正周期 2 2 T ，故 B 正确. 令2, 32 xkk Z，解得, 122 k xk Z .则函数
14、( )g x图像的对称轴为直线 , 122 k xk Z.故 C错误； 由222, 232 kxkk Z剟，可得 5 , 1212 kx kk Z剟， 函数( )g x的单调递增区间为 5 , 1212 kkkZ .故 D 正确. 故选：BD. 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，属于 综合题. 11设正实数设正实数a，b满足满足1ab，则（，则（ ） ） Aab有最大值有最大值 1 2 B 11 ab 有最大值有最大值 4 Cab有最大值有最大值 2 D 22 ab有最小值有最小值 1 2 【答案】【答案】ACD 【解析】【解析】 【分
15、析】 根据基本不等式，由题中条件逐项判断，即可得出结果. 【详解】 因为正实数a，b满足1ab， 所以12abab ，当且仅当ab时，等号成立，即 1 2 ab ，故 A正确； 又 1111 112 baba ab abababab 224 b a a b ，当且仅当 ba ab ，即a b时，等号成立，故 B错； 22ababababab ，当且仅当ab时，等号成立；故 C正确； 2 22 22 1 22 22 ab abababab ，当且仅当ab时，等号成立；故 D正确； 故选：ACD. 【点睛】 本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 12下图是正态分布下图
16、是正态分布 0,1N的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有（的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有（ ） A 1 2 P Xt B 1 1 2 P Xt C 1 2 P Xt D 1 2 P Xt 【答案】【答案】ACD 【解析】【解析】 【分析】 直接由正态分布曲线的对称性逐个分析四个选项可得答案 【详解】 因为正态分布曲线的对称轴为0，1， 在 y轴左右两侧面积各占 1 2 ，00PtXPXt ，故 A、C、D正确 故选：ACD 【点睛】 本小题以正态分布为载体，考查正态分布的性质等基础知识，考查数学建模能力，考查统计与概率 思想，考查数据分析核心素养，体现基础性和应用性
17、第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 三、填空题三、填空题 13.13.函数函数 x x xfln 1 1 的定义域是的定义域是_ 【答案】 ，110 【解析】 【分析】 根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 01 0ln x x 故答案为： ，110 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 14设抛物线设抛物线 y2=4x的焦点为的焦点为 F，准线为，准线为 l.则以则以 F为圆心，且与 为圆心，且与 l相切的圆的方程为相切的圆的方程为_ 【答案】【答案】(x-1)2+y2=4. 【解析】【解析】 【分析】 由抛物线方程可得焦点坐
18、标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果. 【详解】 抛物线 y2=4x中，2p=4，p=2， 焦点 F（1,0），准线 l的方程为 x=-1， 以 F 为圆心， 且与 l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4. 【点睛】 本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力. 15设设 n S为数列为数列 n a的前的前n项和，项和， 1 0a ，若，若 1 1( 1)( 2) nn nn aa （*nN），则），则 100 S_ 【答案】【答案】 101 22 3 【解析】【解析】 当
19、n为奇数时， 1 2 n n a ，则 1 2 2a ， 3 4 2a ， 99 100 2a ， 当n为偶数时， 1 2222 n n nnn aaa ，则 2 32 220aa， 4 54 220aa， 98 9998 220aa，又 1 0a ， 101 10024100 22 3 Saaa 故答案为： 101 22 3 16如下图所示如下图所示, ,一座圆拱桥一座圆拱桥, ,当水面在某位置时当水面在某位置时, ,拱顶离水面 拱顶离水面 2m, ,水面宽水面宽 12m, ,当水面下降当水面下降 1m后后, , 水面宽为水面宽为_m. 【答案】【答案】2 51 【解析】【解析】 【分析】
20、以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根 据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降 1m后,水面宽 的大小. 【详解】 以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如 下图所示： 由题意可知： 设圆的方程为： 222 ()xyrr(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面 2m,水面宽 12m, 所以设 (6, 2)A,代入圆的方程中得： 10r ,所以圆的方程为： 22 (10)100 xy,当水面下降 1m后,设 00 , 33A xx代入圆的方程中得： 0 2
21、51x . 故答案为：2 51 【点睛】 本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力. 四、解答题四、解答题 17在,mab ca， ,nab c，且m n ，22 cosacbC ， 1 sincos 62 BB 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_ （1）求角B； （2）若4b，求ABC周长的最大值 【分析】 （1）若选，根据向量数量积的坐标表示，以及余弦定理，即可求出角B；若选，根据正弦定理， 化简整理，即可求出角B；若选，先将条件化简，得到 1 cos 32 B ，即可求出角B； （2）先由余弦定理，根
22、据（1）的结果，得到 2 163acac，再由基本不等式，求出8ac ， 即可得出周长的最值. 【详解】 （1）选由 1 sincos 62 BB ，得 311 sincoscos 222 BBB， 即 311 sincos 222 BB，所以 1 cos 32 B ， 3 分 又因为0,B，所以 2 33 B ，因此 3 B 5 分 选根据正弦定理，由22 cosacbC 得2sinsin2sincosACBC， 又因为sinsinsincossincosABCBCCB， 所以2sincossinCBC，又因为sin0C ， 所以 1 cos 2 B ，又因为0,B，所以 3 B 5 分 选
23、,mab ca，,nab c，且m n ， 0ababc ca 2 分 化简得， 222 acbac，由余弦定理得 222 1 cos 222 acbac B acac ， 又因为0B， 3 B 5 分 （2）由余弦定理 222 2cosbacacB，得 2 163acac 又 2 a a c c ， 2 4 ac ac ，当且仅当ac时等号成立. 7 分 2 2 3 316 4 ac acac ，解得，8ac ， 当且仅当4ac时，等号成立 8 412abc ABC的周长的最大值为 12 10 分 【点睛】 本题主要考查解三角形，以及求三角形的周长最值问题，熟记正弦定理与余弦定理，以及基本不
24、等 式即可，属于常考题型. 18已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，满足，满足 1 1() nn aSnN ， 1 2a ， （1）求证：数列）求证：数列1 n S 为等比数列；为等比数列； （2）记）记 nn bnS，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n T . 【答案】【答案】（1）证明见解析；（2） (1) (1) 21 2 n n n n . 【解析】【解析】 【分析】 （1）由 11nnn aSS 得 n S的递推式，然后可证数列1 n S 为等比数列； （2）由（1）求得 n S，得出 n b，用错位相减法求出数列的和 n T. 【详解】 解：（1）由
25、11 121 nnnn aSSS ， 由 1 2a ，故 1 11S ， 2 分 进而： 1 122 2 11 nn nn SS SS ， 故数列1 n S 是首项为 1，公比为 2的等比数列. 4 分 （2）由（1）知： 11 1221 nn nn SS ， 故 1 2n nn bnSnn ， 6 分 分别记数列 1 2nn ， n的前n项和为 n A， n B，则 0121 1 22 23 22n n An ， 121 21 22 2(1) 22 nn n Ann ， 相减得： 21 12222(1) 21 nnn n Ann ， 10 分 所以(1)21 n n An， (1) 123
26、2 n n n Bn ， 故 (1) (1)21 2 n nnn n n TABn . 12 分 【点睛】 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和法和乘公比错位相减法在数列求和 中的应用. 19在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎在中国，不在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎在中国，不 仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付。仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付。 出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法
27、国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的 60006000 名用户，从中随机抽取了名用户，从中随机抽取了 6060 名，规定：随身携带的现金在名，规定：随身携带的现金在 100100 元以下元以下( (不含不含 100100 元元) )的为“手的为“手 机支付族”，其他为“非手机支付族”机支付族”，其他为“非手机支付族”，统计如图如示统计如图如示。 (1)(1)根据上述样根据上述样本数据，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关本数据，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关? ? (2)(
28、2)用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取 3 3 位女性用户，这位女性用户，这 3 3 位用户中“手机支付位用户中“手机支付 族”的人数为，求随机变量的期望。族”的人数为，求随机变量的期望。 (3)(3)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满 10001000 元可直元可直 减减 100100 元；方案二：手机支付消费每满元；方案二：手机支付消费每满 10001000 元可抽奖元可抽奖 2 2 次，每次中奖的概率同为次，每次中奖的概率同为 1 2
29、 ，且每次抽奖，且每次抽奖 互不影响，中奖一次打互不影响，中奖一次打 9 9 折，中奖两次打折，中奖两次打 8.58.5 折。如果你打算用手机支付购买某样价值折。如果你打算用手机支付购买某样价值 12001200 元的商元的商 品，请品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算? ? 附：附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 解：（1）由已知联列表： 所以 2 2 60 (10 8 12 30) 7.0336.635 22 38 40 20 K ， （必须保留小数点后三位，否
30、则不给分） 有 99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关； 4 分 （2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为 123 205 P ， 3 () 5 B3, ， 5 3 3)(E 5 9 6 分 （3）若选方案一，则需付款1200 1001100元 8 分 若选方案二，设实际付款X元，则X的取值为 1200，1080，1020， 02 0 2 111 1200= 224 P XC ， 11 1 2 111 1080= 222 P XC ， 20 2 2 111 1020= 224 P XC ， 111 1200108010201095 424 E X 11001095，选择第二种优惠方
31、案更划算 12 分 20如图，在正方体如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，中，E为为 1 BB的中点的中点 （）求证：）求证： 1/ / BC平面平面 1 ADE； （）求直线）求直线 1 AA与平面与平面 1 ADE所成角的正弦值所成角的正弦值 【答案】（）证明见解析；（） 2 3 . 【解析】 分析】 （）证明出四边形 11 ABC D为平行四边形，可得出 11 /BCAD，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （） 以点A为坐标原点，AD、AB、 1 AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz， 利用空间向量法可计算出直线 1 AA与平面 1 ADE所成角的正
32、弦值. 【详解】（）如下图所示： 在正方体 1111 ABCDABC D中， 11 /AB AB且 11 ABAB， 1111 /ABC D且 1111 ABC D， 11 /AB C D且 11 ABC D，所以，四边形 11 ABC D为平行四边形，则 11 /BCAD， 1 BC 平面 1 ADE， 1 AD 平面 1 ADE， 1/ BC平面 1 ADE； 6 分 （）以点A为坐标原点，AD、AB、 1 AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间 直角坐标系Axyz， 设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2，则0,0,0A、 1 0,0,2A、 1 2,0,2D、0,
33、2,1E， 1 2,0,2AD ，0,2,1AE ， 设平面 1 ADE的法向量为, ,nx y z，由 1 0 0 n AD n AE ，得 220 20 xz yz ， 令2z ，则2x，1y ，则2,1, 2n . 9 分 1 1 1 42 cos, 3 23 n AA n AA nAA . 因此，直线 1 AA与平面 1 ADE所成角的正弦值为 2 3 . 12 分 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值， 考查计算能力，属于基础题. 21如图，椭圆如图，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 经过点经过点 01A，且离心率为，
34、且离心率为 2 2 （1 1）求椭圆）求椭圆E的方程；的方程； （2 2）经过点）经过点1 1（ ， ），且斜率为，且斜率为k的直线与椭圆的直线与椭圆E交于不同的两点交于不同的两点PQ，（均异于点（均异于点A），证明：直），证明：直 线线AP与与AQ的斜率之和为定值的斜率之和为定值 【答案】【答案】（） 2 2 1 2 x y；（）证明见解析 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据A点坐标得到b的值，根据离心率得到 c a 的值，结合 222 abc，可求得 , a c的值，从 而求得椭圆方程.（2）写出直线,P Q的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，然后计算直线AP和 直线AQ点的斜率之和，
35、化简后可得定值为2. 【详解】 解：（1）由题设知： 2 2 c a ，1b，结合 222 abc，解得2a ， 所以椭圆E的方程为 2 2 1 2 x y. 3 分 （2）由题设知：直线PQ的方程为112yk xk，代入 2 2 1 2 x y， 得： 22 1241220kxk kxk k ， 5 分 由已知0 ，设 1122 ,P x yQ x y， 12 0 x x ， 则 12 2 41 12 k k xx k ， 12 2 22 12 k k x x k ， 8 分 从而直线,AP AQ的斜率之和为 1212 1212 1122 APAQ yykxkkxk kk xxxx 12 1
36、1 22kk xx 12 12 22 xx kk x x 41 22 22 k k kk k k 2212kk. 12 分 【点睛】 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系.椭圆方程有两个参数, a b，故需 要两个条件就可以求解出来.求解时要注意题目是否给定椭圆焦点在哪个坐标轴上.直线和椭圆的位 置关系，要熟练掌握将直线方程代入椭圆方程，化简后写出韦达定理这一个步骤. 22已知函数 2 ( )exf xaxx. （1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）当 x0 时，f（x） 1 2 x3+1，求 a 的取值范围. 【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x
37、2x，则( )fx=ex+2x1 故当 x（，0）时， ( )fx0所以 f（x）在 （，0）单调递减，在（0，+）单调递增 3 分 （2） 3 1 ( )1 2 f xx等价于 32 1 (1)e1 2 x xaxx . 设函数 32 1 ( )(1)e(0) 2 x g xxaxxx ，则 322 13 ( )(121)e 22 x g xxaxxxax 2 1 (23)42e 2 x x xaxa 1 (21)(2)e 2 x x xax . 6分 （i）若2a+10，即 1 2 a ，则当x（0，2）时，( )g x0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0） =1，故当x（0，2
38、）时，g（x）1，不合题意. 7分 （ii）若02a+12，即 11 22 a，则当x(0，2a+1)(2，+)时，g(x)0.所以g(x)在(0， 2a+1)， (2， +)单调递减， 在(2a+1， 2)单调递增.由于g(0)=1， 所以g(x)1当且仅当g(2)=(74a)e21，即a 2 7e 4 . 所以当 2 7e1 42 a 时，g(x)1. 9分 （iii）若2a+12，即 1 2 a ，则g(x) 3 1 (1)e 2 x xx . 由于 2 7e1 0, ) 42 ，故由（ii）可得 3 1 (1)e 2 x xx 1. 故当 1 2 a 时，g(x)1. 11分 综上，a 的取值范围是 2 7e ,) 4 . 12 分 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与 综合运算的能力，属于难题
