1、专题突破练专题突破练 28 专题七专题七 解析几何过关检测解析几何过关检测 一、单项选择题 1.(2019 重庆第一中学高三下学期第三次月考)已知直线 l1:mx+(m-3)y+1=0,直线 l2:(m+1)x+my-1=0, 若 l1l2,则 m=( ) A.m=0或 m=1 B.m=1 C.m=- D.m=0或 m=- 2.(2020 百师联盟高三 5月月考,4)已知点 F 是双曲线 C: =1(a0,b0)的左焦点,点 P 是该双曲 线渐近线上一点,若POF是等边三角形(其中 O为坐标原点),则双曲线 C 的离心率为( ) A. B.2 C.3 D. 3.(2020 北京朝阳一模,5)已
2、知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l,点 A是抛物线 C 上一点,AD l于 D.若 AF=4,DAF=60,则抛物线 C的方程为( ) A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y2=x 4.(2020 北京东城一模,4)若双曲线 C:x2- =1(b0)的一条渐近线与直线 y=2x+1 平行,则 b 的值为 ( ) A.1 B. C. D.2 5.(2020 北京东城一模,9)设 O为坐标原点,点 A(1,0),动点 P 在抛物线 y2=2x上,且位于第一象限,M 是 线段 PA 的中点,则直线 OM 斜率的取值范围是( ) A.(0,1 B.( ) C.(
3、 D. ) 6.(2019 陕西宝鸡高三高考模拟检测三)双曲线 =1 的一条弦被点 P(4,2)平分,那么这条弦所在的 直线方程是( ) A.x-y-2=0 B.2x+y-10=0 C.x-2y=0 D.x+2y-8=0 7. 已知椭圆 =1(ab0)的半焦距为 c(c0),左焦点为 F,右顶点为 A,抛物线 y 2= (a+c)x 与椭圆交 于 B,C两点,若四边形 ABFC是菱形,则椭圆的离心率是 ( ) A. B. C. D. 8.(2020 黑龙江铁人中学二模)设 F1,F2是双曲线 C: =1(a0,b0)的左、右焦点,点 A 是双曲线 C 右支上一点,若AF1F2的内切圆 M的半径
4、为 a,且AF1F2的重心 G满足 = ,则双曲线 C 的离 心率为( ) A. B. C.2 D.2 二、多项选择题 9.下列说法正确的是( ) A.直线 x-y-2=0 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2 B.点(0,2)关于直线 y=x+1的对称点为(1,1) C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为 - - - - D.经过点(1,1)且在 x轴和 y轴上的截距都相等的直线方程为 x+y-2=0 10.已知点 F是抛物线 y2=2px(p0)的焦点,AB,CD是经过点 F的弦且 ABCD,AB的斜率为 k,且 k0,C,A两点在 x轴上方,则下列结论中一定成立的是( ) A
5、. B.若|AF| |BF|= p 2,则 k= C. D.四边形 ABCD面积最小值为 16p2 11.已知椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,长轴的顶点分别为 A1,A2,短轴的顶点分 别为 B1,B2,过 F2的直线 l交 C 于 A,B 两点.若椭圆 C的离心率为 ,AF1B 的周长为 4 ,则下列说法 正确的是 ( ) A.|A1A2|=2 B.方程为 +y2=1 C.cos F1F2B1= D.中心 O到直线 A2B2的距离为 12.(2020 山东聊城二模,11)已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1),则下列结论正确的是( ) A.点 P 到抛物线
6、焦点的距离为 B.过点 P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点 Q,则OPQ的面积为 C.过点 P 与抛物线相切的直线方程为 x-2y+1=0 D.过点 P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于 M,N点,则直线 MN 的斜率为定值 三、填空题 13.(2019 山东临沂模拟)椭圆 =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,过 F2的直线交 椭圆于 A,B两点,ABF1的周长为 8,则该椭圆的短轴长为 . 14.(2020 安徽安庆二模,16)已知双曲线 C: =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,一条渐近线 方程记为 y=xtan ( ),直线 l:y=xtan 与
7、双曲线 C在第一象限内交于点 P,若 OPPF2,则双 曲线 C的离心率为 . 15.已知焦点在 x 轴上的双曲线 C的左焦点为 F,右顶点为 A,若线段 FA 的垂直平分线与双曲线 C 没 有公共点,则双曲线 C的离心率的取值范围是 . 16.(2020 山东泰安一模,16)过点 M(-m,0)(m0)的直线 l与直线 3x+y-3=0 垂直,直线 l与双曲线 C: =1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点 A,B,若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则双曲线 C 的渐近线 方程为 ,离心率为 . 四、解答题 17.已知椭圆 C: =1(ab0),点 3, 在椭圆上,过 C 的焦点且与
8、长轴垂直的弦的长度为 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 A(-2,0)作两条相交直线 l1,l2,l1与椭圆交于 P,Q两点(点 P 在点 Q 的上方),l2与椭圆交于 M,N 两点(点 M 在点 N的上方),若直线 l1的斜率为- ,SMAP= SNAQ,求直线 l2的斜率. 18.(2020 山东济宁三模,21)已知点 F 为椭圆 =1 的右焦点,点 A为椭圆的右顶点. (1)求过点 F、A 且和直线 x=9 相切的圆 C 的方程; (2)过点 F任作一条不与 x轴重合的直线 l,直线 l与椭圆交于 P,Q两点,直线 PA,QA 分别与直线 x=9 相交于点 M,N.试证明:
9、以线段 MN 为直径的圆恒过点 F. 19.(2020 北京东城一模,19)已知椭圆 E: =1(ab0),它的上、下顶点分别为 A,B,左、右焦点分 别为 F1,F2,若四边形 AF1BF2为正方形,且面积为 2. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设存在斜率不为零且平行的两条直线 l1,l2,与椭圆 E 分别交于点 C,D,M,N,且四边形 CDMN是菱形, 求出该菱形周长的最大值. 专题突破练 28 专题七 解析几何 过关检测 1.A 解析 因为直线 l1:mx+(m-3)y+1=0与直线 l2:(m+1)x+my-1=0垂直,所以 m(m+1)+m(m-3)=0,即 m(m-1)=
10、0,解得 m=0或 m=1.故选 A. 2.B 解析 由 P在渐近线上且POF是等边三角形,其中一条渐近线的斜率 =tan 60= ,所以离心率 e= =2. 3.B 解析 如图所示,由抛物线的定义可知,AD=AF=4, DAF=60,ADF 为等边三角形. DE=4,ADF=60. ADl,AD平行于 x轴, DFO=ADF=60, cos 60= ,即 ,p=2, 抛物线的方程为 y2=4x, 故选 B. 4.D 解析 双曲线 C:x2- =1(b0)的一条渐近线 y=bx, 由直线 y=bx与直线 y=2x+1 平行, 可得 b=2.故选 D. 5.C 解析 设 P( ),y0,所以 P
11、A的中点 M( ), 所以 kOM= , 因为 y+ 2 ,当且仅当 y= ,即 y= 时,等号成立,所以 01不合题意,舍去 ,故答案为 8. C 解析 如图所示,因为 = , 所以 , 所以 yM=yG=a,yA=3yG=3a,所以 2c3a= (|AF1|+|AF2|+2c) a, 又|AF1|-|AF2|=2a, 解得|AF1|=2c+a,|AF2|=2c-a, 设 A(xA,yA),F1(-c,0), 所以|AF1|= ( - ) = =exA+a. 所以|AF1|=a+exA, 解得 xA=2a, 所以 A(2a,3a),代入双曲线方程,得 =1,整理得 =3, 所以 e= =2.
12、故选 C. 9.AB 解析 A中直线在两坐标轴上的截距分别为 2,-2,所以围成三角形的面积是 2,正 确;B中 在直线 y=x+1 上,且(0,2),(1,1)连线的斜率为-1,所以 B正确;C 选项需 要条件 y2y1,x2x1,故错误;D选项错误,还有一条截距都为 0 的直线 y=x.故选 AB. 10.AC 解析 因为 AB的斜率为 k,ABCD,所以 kCD=- ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为 y=k( - ), 由 ( - ) 可得,k2x2-p(k2+2)x+ k 2p2=0, 所以|AB|=x1+x2+p= +p= ,同理可得|CD|= ( ) =2p(
13、1+k2), 则有 , 所以 A正确; =x1x2+y1y2= p 2+k2 x1- x2- = p 2+k2 x1x2- (x1+x2)+ p 2 = p 2+ k 2p2- =- p 2与 k无关,同理 =- p 2,故 ,C 正确; 若|AF| |BF|= p 2,由 x1+ x2+ =x1x2+ (x1+x2)+ p 2得 p 2+ =p2+ p 2, 解得 k= ,故 B错误; 因为 ABCD,所以四边形 ABCD面积 SABCD= |AB|CD|= 2p(1+k2)= =2p2k2+ +2 8p 2,当且仅当 k2= , 即 k=1 时,等号成立,故 D错误.故选 AC. 11.A
14、BC 解析 由题意及椭圆的定义知 4a=4 ,则 a= ,AA1=2 ,选项 A正确. 又 ,所以 c= ,所以 b2=1,所以椭圆 C 的方程 +y2=1,选项 B正确.cos F1F2B1为离心率,即为 ,选项 C 正确. 中心 O到直线 A2B2的距离为 ,不是 ,选项 D错误.故选 ABC. 12.BCD 解析 因为抛物线 C:y2=2px过点 P(1,1), 所以 p= , 所以抛物线方程为 y2=x,焦点坐标为 F( ) 对于 A,|PF|=1+ ,故选项 A错误; 对于 B,kPF= ,所以 lPF:y= ( - ),与 y 2=x联立消去 x,得 4y2-3y-1=0, 所以
15、y1+y2= ,y1y2=- , 所以 SOPQ= |OF| |y1-y2|= - ,故选项 B正确; 对于 C,依题意斜率存在,设直线方程为 y-1=k(x-1),与 y2=x联立消去 x,得 ky2-y+1- k=0, =1-4k(1-k)=0,4k2-4k+1=0,解得 k= , 所以切线方程为 x-2y+1=0,故选项 C 正确; 对于 D,依题意斜率存在,设 lPM:y-1=k(x-1),与 y2=x联立消去 x,得 ky2-y+1-k=0, 所以 yM+1= ,即 yM= -1,则 xM=( - ) , 所以点 M( - ) - ),同理 N(- - ) - - ), 所以 kMN
16、= - -(- - ) ( - ) -(- - ) - =- ,故选项 D正确.故选 BCD. 13.2 解析 因为ABF1的周长为 8,所以 F1A+F1B+F2A+F2B=4a=8,解得 a=2.因为离 心率为 ,所以 ,c= a=1.由 a 2=b2+c2,解得 b= ,则该椭圆的短轴长为 2 14 -1 解析 如图,延长 F2P交直线 y=xtan ( )于点 M, 则由角平分线的性质可得 P为 MF2的中点,|OM|=|OF2|=c, 求得 M(a,b),P( ),因为点 P( )在双曲线 C 上,所以有 ( ) ( ) =1,整理, 得 e2+2e-4=0,解得 e= -1. 15
17、.(1,3) 解析 F(-c,0),A(a,0), 线段 FA的垂直平分线为 x= - 线段 FA 的垂直平分线与双曲线 C 没有公共点, -a - 0,即 c3a,e= 1,1eb0), 所以 a2=b2+c2. 因为四边形 AF1BF2为正方形,且面积为 2, 所以 2b=2c, (2b)2c=2. 所以 b=c=1,a2=b2+c2=2. 所以椭圆 E: +y2=1. (2)设平行直线 l1:y=kx+m,l2:y=kx-m, 不妨设直线 y=kx+m 与 +y2=1 交于 C(x1,y1),D(x2,y2), 由 得 x2+2(kx+m)2=2, 整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0, 其中 =(4km)2-4(2k2+1)(2m2-2)=16k2-8m2+80,即 m22k2+1. 所以 x1+x2=- ,x1x2= - , 由椭圆的对称性和菱形的中心对称性,可知 OCOD, 所以 x1x2+y1y2=0,y1=kx1+m,y2=kx2+m, x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 = - - = - - - = - - , 所以 3m2=2k2+2. |CD| = - = * - - + = = = ( ) ( ) = , 所以当且仅当 k= 时,|CD|的最大值为 此时菱形 CDMN 周长的最大值为 4
