1、专题突破练专题突破练 4 从审题中寻找解题思路从审题中寻找解题思路 一、单项选择题 1.已知 sin -2x = ,则 sin 4x的值为( ) A. B. C. D. 2.(2020 山东济南 6月模拟,7)已知水平直线上的某质点,每次等可能的向左或向右移动一个单位长度, 则在第 6次移动后,该质点恰好回到初始位置的概率是( ) A. B. C. D. 3.已知ABC 中,sin A+2sin Bcos C=0, b=c,则 tan A的值是( ) A. B. C. D. 4.(2020 天津河东区检测,8)已知实数 a,b,ab0,则 的最大值为( ) A. B. C. D.6 5. (2
2、020广东江门 4月模拟,理 12)四棱锥 P-ABCD,AD平面 PAB,BC平面 PAB,底面 ABCD为梯 形,AD=4,BC=8,AB=6,APD=BPC,满足上述条件的四棱锥顶点 P 的轨迹是( ) A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 6.(2020 湖北高三期末,12)已知函数 f(x)= - 若方程 f(x)=m有四个不等实根 x1,x2,x3,x4(x1x2x30,|0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e1,椭圆 C1的上顶点为 M,且 =0,双曲线 C2和椭圆 C1有相同焦点,且双曲线 C2的离心率为 e2,P 为曲线 C1与 C2
3、的一个 公共点,若F1PF2= ,则正确的是( ) A. =2 B.e1 e2= C. D. =1 10.(2020 山东历城二中模拟四,12)已知函数 f(x)=2sin( - )的图象的一条对称轴为 x=,其中 为常 数,且 (0,1),则以下结论正确的是( ) A.函数 f(x)的最小正周期为 3 B.将函数 f(x)的图象向左平移 所得图象关于原点对称 C.函数 f(x)在区间*- +上单调递增 D.函数 f(x)在区间(0,100)上有 66个零点 三、填空题 11.若ABC 的面积为 (a2+c2-b2),则B= . 12.(2020 天津河东区检测,15)函数 f(x)=x,g(
4、x)=x2-x+3,若存在 x1,x2,xn* +,使得 f(x1)+f(x2)+f(xn-1)+g(xn)=g(x1)+g(x2)+g(xn-1)+f(xn),nN*,则 n 的最大值为 . 四、解答题 13.(2020 山东青岛二模,19)已知数列an的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,2Sn+n+1= ,nN*. (1)证明:当 n2 时,an+1=an+1; (2)若 a4是 a2与 a8的等比中项,求数列2n an的前 n项和 Tn. 专题突破练 4 从审题中 寻找解题思路 1.C 解析 由题意得 cos -4x =1-2sin 2 -2x =1-2 ,sin 4x=cos -4
5、x = 故选 C. 2.B 解析 在经过 6次移动后,该质点恰好回到初始位置,则每次都有向左或者向右两种 选择,共有 26=64种可能; 要回到初始位置,则只需 6次中出现 3次向左移动,3次向右移动,故满足题意的可能 有 =20种可能.故恰好回到初始位置的概率 P= 故选 B. 3.A 解析 sin A+2sin Bcos C=0, sin(B+C)+2sin Bcos C=0. 3sin Bcos C+cos Bsin C=0. cos B0,cos C0, 3tan B=-tan C b=c,cb,CB.B 为锐角,C 为钝角.tan A=-tan(B+C)=- - , 当且仅当 tan
6、 B= 时取等号. tan A的最大值是 故选 A. 4.A 解析 由于 a2+b22ab0,所以 , 故 ,当且仅当 a=b时,等号成立,故其最大值 为 5.B 解析 在平面 PAB 内,以 AB所在直线为 x 轴,AB的中垂线为 y轴,建立平面直角坐 标系. 设点 P(x,y),则由题意可得 A(-3,0),B(3,0). AD平面 PAB,BC平面 PAB,AD=4,BC=8,AB=6,APD=CPB, RtAPDRtCPB, 即 BP 2=4AP2,故有(x-3)2+y2=4(x+3)2+y2, 整理得(x+5)2+y2=16,表示一个圆. 由于点 P不能在直线 AB上,故点 P的轨迹
7、是圆的一部分,故选 B. 6.C 解析 函数 f(x)= - 的图象如下图所示: 当方程 f(x)=m有四个不等实根 x1,x2,x3,x4(x1x2x32 =2, |ln(4-x3)|=|ln(4-x4)|,即(4-x3) (4-x4)=1,且 x1+x2+x3+x4=8, 若不等式 kx3x4+ k+11 恒成立,则 k - - 恒成立,由 - - - - - - (x1+x2)-4+ - +82- ,故 k2- ,故实数 k的 最小值为 2- ,故选 C. 7.ABD 解析 由 =| | |cos A=| | |,由射影定理可得| |2= ,故选 项 A正确; 由 =| | |cos B
8、=| | |,由射影定理可得| |2= ,故选项 B 正确; 由 =| | |cos(-ACD)0,故选项 C 错误; 由题图可知 RtACDRtABC,所以| | |=| | |, 由选项 A,B可得| |2= ,故选项 D正确. 故选 ABD. 8.BD 解析 根据函数 f(x)=Asin(2x+) A0,| 部分图象如图所示, 所以函数的周期为 =,即 b-a= ,故 B正确. 由图象知 A=2,则 f(x)=2sin(2x+),在区间a,b中的对称轴为 x= , 由 f(x1)=f(x2)得,x1,x2也关于 x= 对称,则 ,即 x1+x2=a+b,则 f(a+b)=f(x1+x2)
9、= ,故 D正确,故选 BD. 9.BD 解析 因为 =0,且| |=| |,故三角形 MF1F2为等腰直角三角形,设椭 圆的半焦距为 c,则 c=b= a,所以 e1= 在焦点三角形 PF1F2中,F1PF2= ,设 |PF1|=x,|PF2|=y,双曲线 C2的实半轴长为 a, 则 - - 故 xy= c 2, 从而(x-y)2=x2+y2-xy-xy= ,所以(a)2= ,即 e2= ,故 ,e2e1= =2, =1. 故选 BD. 10.AC 解析 由函数 f(x)=2sin x- 的图象的一条对称轴为 x=,得 - =k+ (kZ), 因为 (0,1),所以 k=0,= ,则 f(x
10、)=2sin x- ,所以周期 T= =3,A正确; 将函数 f(x)的图象向左平移 ,得 g(x)=f( )=2sin x+ - =2sin( - ),显然 g(x)的图象不关于原点对称,B错误; 由 2k- x- 2k+ (kZ),即 k=0,得- x,即*- +是函数 f(x)的一个单调 递增区间,又*- + *- +,所以函数 f(x)在区间*- +上单调递增,C 正确; 由 f(x)=0,得 x- =k(kZ),解得 x= ( ),由 0 k+ 100,得- k66.5,因 为 kZ,所以 k=0,1,2,66,所以函数 f(x)在区间(0,100)上有 67个零点,D 项错误. 1
11、1 解析 由三角形面积公式可得,S= acsin B= (a2+c2-b2), sin B= - cos B,tan B= B(0,),B= 12.8 解析 函数 f(x)=x,g(x)=x2-x+3. f(x1)+f(x2)+f(xn-1)+g(xn)=g(x1)+g(x2)+g(xn-1)+f(xn),即为 x1+x2+xn-1+ - xn+3= -x1+3+ -x2+3+ - -xn-1+3+xn, 化为 -2xn+3= -2x1+3+ -2x2+3+ - -2xn-1+3, 设 h(x)=x2-2x+3,可得存在 x1,x2,xn * +,使得 h(xn)=h(x1)+h(x2)+h(
12、xn-1),故 h(x)在 x=1处取得最小值 2,在 x= 处取得最大值 ,即有 h(xn)=h(x1)+h(x2)+h(xn- 1)2(n-1), 即为 n ,可得 n 的最大值为 8. 13.解 (1)因为 2Sn+n+1= , 所以 2Sn-1+n= (n2). 两式相减得 2an+1= (n2), 所以 +2an+1= , 即(an+1)2= (n2). 因为数列an的各项均为正数, 所以当 n2时,an+1=an+1. (2)由(1)得 a4=a2+2,a8=a2+6, 因为 a4是 a2与 a8的等比中项, 所以 =a2 a8,即(a2+2)2=a2 (a2+6),解得 a2=2.又 2a1+2= ,所以 a1=1.所以 a2-a1=1, 从而 an+1-an=1 对 nN*恒成立.所以数列an是以 1为首项,1为公差的等差数列,所以 an=n, 所以 2n an=n 2n, 所以 Tn=12+222+(n-1)2n-1+n2n, 2Tn=122+223+(n-1)2n+n2n+1, 两式相减得-Tn=2+22+2n-n2n+1= - - -n2n+1=(1-n) 2n+1-2,所以 Tn=(n- 1) 2n+1+2.
