1、专题突破练专题突破练 3 分类讨论思想、转化与化归思想分类讨论思想、转化与化归思想 一、单项选择题 1.(2020 湖南湘潭三模,理 1)已知集合 A=x|ax=x2,B=0,1,2,若 AB,则实数 a 的值为( ) A.1 或 2 B.0或 1 C.0或 2 D.0 或 1或 2 2.已知函数 f(x)=ax(a0,且 a1)在区间m,2m上的值域为m,2m,则 a=( ) A. B. C. 或 D. 或 4 3.若函数 f(x)= ax 2+xln x-x存在单调递增区间,则 a的取值范围是( ) A. - ,1 B. - ,+ C.(-1,+) D. -, 4.(2020 安徽合肥二模
2、,文 9)已知函数 f(x)= - 则 f(x)0 且 a1),那么函数 f(x)=* - + * - - +的值域为( ) A.-1,0,1 B.0,1 C.1,-1 D.-1,0 7.设函数 f(x)=xex-a(x+ln x),若 f(x)0恒成立,则实数 a的取值范围是( ) A.0,e B.0,1 C.(-,e D.e,+) 8.(2020 河南新乡三模,理 12)已知函数 f(x)=x2-ax( * +)与 g(x)=ex的图象上存在两对关于直线 y=x 对称的点,则 a的取值范围是( ) A.* - + B.( - + C.* - + D.* + 二、多项选择题 9.若数列an对
3、任意 n2(nN)满足(an-an-1-2)(an-2an-1)=0,下面选项中关于数列an的命题正确的是 ( ) A.an可以是等差数列 B.an可以是等比数列 C.an可以既是等差又是等比数列 D.an可以既不是等差又不是等比数列 10.(2020 海南高三模拟,6)关于 x 的方程(x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0,下列命题正确的有( ) A.存在实数 k,使得方程无实根 B.存在实数 k,使得方程恰有 2个不同的实根 C.存在实数 k,使得方程恰有 3个不同的实根 D.存在实数 k,使得方程恰有 4个不同的实根 11.已知三个数 1,a,9 成等比数列,则圆锥曲线 =1 的离心
4、率为( ) A. B. C. D. 12.已知函数 f(x)=log2|x|+x2-2,若 f(a)f(b),a,b不为零,则下列不等式成立的是( ) A.a3b3 B.(a-b)(a+b)0 C.ea-b1 D.ln| |0 三、填空题 13.已知 a,b 为正实数,且 a+b=2,则 的最小值是 . 14.函数 y= - - 的最小值为 . 15.已知函数 f(x)= - 设 g(x)=kx+1,且函数 y=f(x)-g(x)的图象经过四个象限,则实数 k 的取值范围为 . 16.已知 A 为椭圆 =1 上的动点,MN 为圆(x-1)2+y2=1的一条直径,则 的最大值 为 . 专题突破练
5、 3 分类讨论思想、 转化与化归思想 1.D 解析 因为当 a=0 时,A=x|0=x2=0,满足 AB; 当 a0时,A=0,a,若 AB,所以 a=1或 2. 综上,a 的值为 0 或 1或 2.故选 D. 2.C 解析 分析知 m0.当 a1 时, 所以 a m=2,m=2,所以 a= ;当 0a0 在 x(0,+)上成立,即 ax+ln x0在 x(0,+)上成立, 即 a- 在 x(0,+)上成立. 令 g(x)=- ,则 g(x)=- - 令 g(x)=0,得 x=e. g(x)=- 在(0,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增.g(x)=- 的最小值为 g(e)=- a- 故选
6、 B. 4.C 解析 函数 f(x)= - 则 f(x)f(x+1),当 x0时,x+11,则不等式 f(x)f(x+1), 即 x2-1(x+1)2-1,得- x0. 当 01,则不等式 f(x)f(x+1),此时 f(x)=x2-101 时,不等式 f(x)f(x+1),即 log2x1.综上可得,不等式的解集为 (- ),故选 C. 5.D 解析 设 f(x1)=g(x2)=t,所以 x1=t-1,x2=et,所以 x2-x1=et-t+1,令 h(t)=et-t+1,则 h(t)=et-1, 所以 h(t)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,所以 h(t)min=h(0)=
7、2. 6.D 解析 g(x)= ,g(-x)= , 0g(x)1,0g(-x)1,g(x)+g(-x)=1. 当 g(x)1时,0g(-x) , f(x)= g(x)- + g(-x)- =-1+0=-1; 当 0g(x) 时, g(-x)1, f(x)= g(x)- + g(-x)- =0+(-1)=-1; 当 g(x)= 时,g(-x)= , f(x)=0. 综上,f(x)的值域为-1,0,故选 D. 7.A 解析 f(x)=(x+1)ex-a 1+ =(x+1) ex- , 当 a0时,令 f(x)=(x+1) ex- =0,解得 ,ln x0+x0=ln a,x00, 则 x0是函数
8、f(x)的极小值点,此时 x=x0,函数 f(x)取得最小值, f(x0)=x0 -a(x0+ln x0)=a-aln a0,化为 ln a1,解得 0ae. 综上可得 a的取值范围是0,e.故选 A. 8.D 解析 f(x)与 g(x)的图象在 x * +上存在两对关于直线 y=x对称的点,由 g(x)=ex, 得 x=ln y,ln x=x2-ax 在 x * +上有两解,即 a=x- 在 x * +上有两解,令 h(x)=x- , 则 h(x)= - k(x)=x2+ln x-1在 x * +上单调递增,且 k(1)=0, 当 x * +时,h(x)0,h(x)单调递增. h(x)min
9、=h(1)=1,h(x)max=max, ( ) -=max e+ ,e- =e+ , a 的取值范围是 1,e+ . 9.ABD 解析 因为(an-an-1-2)(an-2an-1)=0,所以 an-an-1-2=0 或 an-2an-1=0,即 an-an-1=2或 an=2an-1. 当 an0,an-10时,an是等差数列或是等比数列. 当 an=0或 an-1=0时,an可以既不是等差又不是等比数列. 故选 ABD. 10.AB 解析 设 t=x2-2x,方程化为关于 t 的二次方程 t2+2t+k=0. (*) 当 k1 时,0,方程(*)无实根,故原方程无实根. 当 k=1 时,
10、可得 t=-1,则 x2-2x=-1,原方程有两个相等的实根 x=1. 当 k1 时,方程(*)有两个实根 t1,t2(t1t2),由 t1+t2=-2可知,t1-1.因为 t=x2- 2x=(x-1)2-1-1,所以 x2-2x=t1无实根,x2-2x=t2有两个不同的实根.故选 AB. 11.BC 解析 由三个数 1,a,9 成等比数列,得 a2=9,即 a=3; 当 a=3 时,圆锥曲线为 =1,曲线为椭圆,则 e= ; 当 a=-3时,曲线为 =1,曲线为双曲线,e= ,则离心率为 或 故选 BC. 12.BD 解析 因为 f(-x)=log2|-x|+(-x)2-2=log2|x|+
11、x2-2,所以 f(x)是偶函数. 当 x0 时,f(x)=log2x+x2-2单调递增,所以当 xf(b),且 a,b 不为零,可知|a|b|0. 当 a=-2,b=1 时,f(a)f(b),a3b3,ea-b=e-30,即|a|b|0,故 B选项正确. 因为 ln| |0,则| |1,可得|a|b|0,故 D选项正确.故选 BD. 13 解析 a+b=2, a+(b+1)=3,即 =1, = = 1+2 , 当且仅当 ,即 a=6-3 ,b=3 -4时等号成立. 14 解析 原函数等价于 y= - - - - ,即求 x轴上一点到 A(1,1),B(3,2)两点距离之和的最小值. 将点 A
12、(1,1)关于 x轴对称,得 A(1,-1),连接 AB 交 x轴于点 P,则线段 AB 的值就是所 求的最小值,即|AB|= - - - 15 (- ) 解析 由题意知,要使 y=f(x)-g(x)的图象经过四个象限,只需 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象在(-,0)和(0,+)都相交且交点个数大于 1.当 x0 时,f(x)=x3- 12x+3,f(x)=3x2-12.易知 f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,且 f(2)0)的图象相切的切线的斜率为- 9,若 g(x)与 f(x)相交且交点个数大于 1,则 k-9,同理,当 x0时,作出 f(x)=|x+3|的图象(图 略),数形结合易知 k 综上,实数 k的取值范围为(- ) 16.15 解析 由题意知,圆心为 C(1,0), =( ) ( )= +| |2=| |2-1. 设 A(x,y),所以 =(x-1)2+y2-1=x2-2x+y2,又 =1,即 x 2-2x+5,x -3,3,又因为该二次函数开口向上,且对称轴为 x= ,故当 x=-3时取最大值为 15.
