1、考点考点 简单的线性规划简单的线性规划 1.(2020浙江,3,4分)若实数x,y满足约束条件则z=x+2y的取值范围是( ) A.(-,4 B.4,+) C.5,+) D.(-,+) -310, -30, xy xy 答案答案 B 由约束条件画出可行域如图. 易知z=x+2y在点A(2,1)处取得最小值4,无最大值,所以z=x+2y的取值范围是4,+).故选B. 2.(2019天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为( ) A.2 B.3 C.5 D.6 -20, -20, -1, -1, xy x y x y 答案答案 C 本题主要考查简单的线性规划.通过
2、求线性目标函数的最大值考查学生的运算求解能 力,体现了数形结合的素养要求. 作出可行域(如图中阴影部分), 平移直线-4x+y=0可知,目标函数z=-4x+y在点P处取最大值.由得P(-1,1). zmax=-4(-1)+1=5.故选C. -20, -1 x y x 解后反思解后反思 对于目标函数z=Ax+By,若B0,则目标直线向上平移时z变大;若B0,令t=|2x+y-2|+|6-x-3y|,当2x+y-20时,t=x-2y+4.点(x,y)可取区域内 的点(含边界). 通过作图可知,当直线t=x-2y+4过点A时,t取最小值,tmin=-+4=3. 当2x+y-28-3-4=3.综上,t
3、min=3,即|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3. 3 4 , 5 5 3 5 8 5 3 5 4 5 考点考点 简单的线性规划简单的线性规划 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020湖南长郡中学第二次适应性考试,6)已知实数x,y满足不等式组则点(x,y)构成平 面区域的面积是( ) A.3 B. C.2 D. -0, 26, 2, x y xy xy 5 2 3 2 答案答案 A 根据题意作出不等式组所表示的平面区域,分别求得A(2,2),B(4,-2),C(1,1),求出点B到直 线y=x的距离d=3,AC=, SABC=AC d=3=3.故选A. 22 |4-(
4、-2)| 1(-1) 2 22 (2-1)(2-1)2 1 2 1 2 22 2.(2020广东化州二模,5)当实数x、y满足不等式组时,恒有ax+y3成立,则实数a的取值 范围为( ) A.a0 B.a0 C.0a2 D.a3 0, 0, 22 x y xy 答案答案 D 满足约束条件的平面区域如图所示,由于对任意的实数x,y,不等式ax+y3恒 成立,数形结合,可得-a0或-akAB=-3,解得a3.故选D. 0, 0, 22 x y xy 3-0 0-1 思路分析思路分析 画出满足约束条件的平面区域,求出各个交点的坐标,根据对任意的实数x,y, 不等式ax+y3恒成立,构造关于a的不等式
5、,即可得到a的取值范围. 0, 0, 22 x y xy 3.(2020广东一模,3)若x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为( ) A.-7 B.3 C.5 D.7 | - |1, | |2, x y x 答案答案 D 由约束条件得作出可行域如图所示,由解得A(2,3). 由z=2x+y可得y=-2x+z,当y=-2x+z过点A时,z最大,即zmax=22+3=7,故选D. | - |1, | |2 x y x -1-1, -22, x y x -1, 2, x y x 2, 3, x y 4.(2020湖南长郡中学第二次适应性考试,13)已知实数x,y满足约束条件若z=x+ty(t0)
6、的 最大值为11,则实数t= . 2, 1, 2( -2). y xy yx 答案答案 4 解析解析 作出不等式组表示的可行域如图: 易得A(3,2),B(-1,2),C, 目标函数z=x+ty(t0)的最大值为11,即直线y=-x+的纵截距的最大值为,由图知,当y=-x+过 点A时,纵截距取得最大值,故11=3+2t,解得t=4. 52 ,- 33 1 t z t 11 t 1 t z t 1.(2020湖北八校第二次联考,7)已知点P为不等式组所表示的可行域内任意一点,点A(- 1,),O为坐标原点,则的最大值为( ) A. B.1 C.2 D. 3 -0, -20, 0 x y xy y
7、 3 | OA OP OP 3 1 2 B B组组 专题综合题专题综合题组组 (时间:25分钟 分值:40分) 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 答案答案 B 作出不等式组所表示的可行域,如图所示, A(-1,),P在可行域内运动,设与的夹角为,由图可知:当P在OC上时=, 当P在OB上时=,=2cos ,又,-12cos 1,最大值为1. 故选B. 3OAOP 3 2 3 2 3 3| OA OP OP | cos | OA OP OP 2 , 33 2.(2020河北邯郸一模,9)已知x,y满足约束条件若实数满足y=x+,则正数的取值范围 为( ) A. B. C. D. -0, 2
8、6, 2, x y xy xy 2 , 3 2 0, 3 1 , 2 1 0, 2 答案答案 B 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示. 易得A,B,C的坐标分别为(1,1),(2,2),(4,-2), 由y=x+,得y=(x+1),由可行域可知,x-1,所以=,而表示过点(x,y)和D(-1,0)的直线的斜 率,又kBD=,kCD=-,所以-,又0,故0. 1 y x1 y x 2 3 2 5 2 5 2 3 2 3 3.(2020湖北襄阳五中、夷陵中学4月联考,11)若不等式组所表示的平面区域的 面积为2,则z=的取值范围是( ) A. B. C.(-,-2 D.(-,-2 -2
9、0, -20(0), 0 xy kx yk y 2 -1 xy x 8 -2, 3 12 -2, 5 8 , 3 12 , 5 答案答案 C 作出不等式组表示的可行域如图.图中点A(2,0),B,C(0,2),故阴影部分的面积为 2=2,解得k=-.z=2+,设点P(x,y),m=,则m的几何意义是点P与点D(1,-2)的 连线的斜率,由图可知,m-4或m,故z的取值范围是(-,-2. 2 -,0 k 1 2 2 -2 k 1 2 2 -1 xy x 2 -1 y x 2 -1 y x 2 3 8 , 3 4.(2020湘赣皖十五校第一次联考,9)不等式组的解集记为D,有下面四个命题: p1:
10、(x,y)D,2y-x5;p2:(x,y)D,2y-x2; p3:(x,y)D,2y-x2;p4:(x,y)D,2y-x4. 其中的真命题是 A.p1,p2 B.p2,p3 C.p1,p3 D.p2,p4 4 -2, 3 x y xy 答案答案 A 作出可行域如图所示,当x=1,y=2时,(2y-x)max=3,即2y-x的取值范围为(-,3,所以(x,y) D,2y-x5,p1为真命题;(x,y)D,2y-x2,p2为真命题.p3,p4为假命题. 5.(2020辽宁大连二模,8)已知点A(3,),O是坐标原点,点P(x,y)满足设z为在上 的投影,则z的取值范围是( ) A.-, B.-3,
11、3 C.-,3 D.-3, 3 3 -0, - 320, 0, x y xy y OAOP 3333 答案答案 B z=| cosAOP=2cosAOP, AOP, 当AOP=时,zmax=2cos=3, 当AOP=时,zmin=2cos=-3, z的取值范围是-3,3.故选B. | OA OP OP OA3 5 , 66 6 3 6 5 6 3 5 6 方法总结方法总结 巧妙识别目标函数的几何意义是解决规划问题的基础,所求的目标函数包括线性的与 非线性的,非线性问题是线性规划问题的拓展与延伸,要明确非线性规划问题的几何意义,常见的 有距离型、斜率型等,这使得规划问题得以深化. 6.(2020
12、湖南湘潭一中模拟,9)太极图被称为“中华第一图”,从孔庙大成殿梁柱,到楼观台,三茅宫 标记物;从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗,太极图无不跃居其上,这种广为人知 的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图 案中,阴影部分可表示为A=(x,y)x2+(y-1)21或,设点(x,y)A,则z=2x+y的最大 值与最小值之和是( ) A.1-2 B.1- C.1+ D.1+2 22 22 4, (1)1, 0 xy xy x 55 55 答案答案 B 如图,作直线2x+y=0,当直线上移与圆x2+(y-1)2=1相切时,z=2x+y取最大值, 此时
13、,圆心(0,1)到直线z=2x+y的距离等于1, 即=1,解得zmax=+1. 当下移与圆x2+y2=4相切时,z=2x+y取最小值, 同理,=2,即zmin=-2, 所以z=2x+y的最大值与最小值之和是1-. 故选B. max |1-| 5 z 5 min |-| 5 z 5 5 7.(2020福建三明质量检查(5月),15)若x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为 . 二、填空题(每小题5分,共10分) 答案答案 13 解析解析 作出由约束条件确定的可行域,如图所示,由可得A(2,3). 当直线z=2x+3y经过可行域内点A时,z最大,此时zmax=22+33=13. 2 - -1
14、0, 2-70, 23 -50 x y xy xy 2 - -10, 2-70, x y xy 2, 3, x y 2 - -10, 2-70, 23 -50, x y xy xy 8.(2020湖北襄阳四中5月检测,14)已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M,N(0,1),Q(2,3),动点P (x,y)满足不等式01,01,则w=的最大值为 . 1 1, 2 OPOMOPONOQOP 答案答案 4 解析解析 O(0,0),M,N(0,1),Q(2,3),P(x,y), =(x,y),=,=(0,1), 又01,0=1, 又w=(x,y) (2,3)=2x+3y, 问题转化为x,y满足约
15、束条件求线性目标函数w=2x+3y的最大值,作出可行域如图 所示. 1 1, 2 OPOM 1 1, 2 ON OPOMOPON 1 01, 2 01, xy y OPOQ 1 01, 2 01, xy y 由可得因此A, 当w=2x+3y过点A时,w最大,wmax=2+31=4. 1 1, 2 1, xy y 1 , 2 1, x y 1 ,1 2 1 2 1.(2020 5 3原创题)若x,y满足约束条件则z=2x-y( ) A.有最大值8,最小值- B.有最小值-,无最大值 C.有最大值8,无最小值 D.无最大值,也无最小值 -220, - -20, 2-20, xy x y xy 2
16、5 2 5 答案答案 C 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示, 目标函数可转化为y=2x-z,可知截距最大时z最小,截距最小时z最大,由约束区域可知z在点C(6,4)处 取最大值,而点A不在可行域内,所以z有最大值26-4=8,无最小值. 故选C. 2.(2020 5 3原创题)已知x,y满足约束条件若z=ax+y仅在(-1,0)处取得最小值,则a的取值 范围是( ) A.-1a1 C.-a1 D.a1 | |- -10, -210, x y xy 1 2 1 2 答案答案 C 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. 目标函数可转化为y=-ax+z, 由z=ax+y仅在(-1,0)处取得
17、最小值, 得-1-a,即-a1.故选C. 1 2 1 2 命题说明命题说明 本题以线性规划(已知约束条件、最优解)为载体,研究含参目标函数应该具备的条件, 考查数形结合、分类讨论思想,正确解答此题,需要学生具备基本的逻辑推理、直观想象、数学运 算等核心素养. 3.(2020 5 3原创题)已知M(x,y),其中x,y满足|x-1|2-y,且y1,定点N(3,4),则向量在向量上的 投影的最大值为( ) A. B. C. D. OMON 3 5 4 5 10 5 11 5 答案答案 D |x-1|2-y且y1等价于即它表示的平面区域如图中阴影部分 所示. 设向量在上的投影为z, 则z=,当直线z
18、=经过点A(1,2)时,z取最大值,zmax=,故选D. -2-12- , 1, yxy y -10, -30, 1, x y xy y OMON | OM ON ON 34 5 xy34 5 xy3 14 2 5 11 5 命题说明命题说明 本题设计有两大亮点,一是将绝对值不等式融入约束条件中,考查了去绝对值的方法及 可行域的画法;二是与向量知识结合,通过化归与转化思想,考查了投影的概念及线性目标函数最 值的求法. 素养解读素养解读 通过向量投影公式把目标函数转化为线性目标函数,体现了逻辑推理、数学运算的核 心素养,线性目标函数最值的求法主要考查了直观想象和数学运算的核心素养. 4.(202
19、0 5 3原创题)已知A(-2,1),B(2,2),C(1,4).若点P(x,y)在ABC区域(包含边界)内运动,则x2+y2+2x 的取值范围为 . 答案答案 8 ,19 17 解析解析 点P所在平面区域如图中阴影部分所示. x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1, 其中(x+1)2+y2=x-(-1)2+(y-0)2,表示点P(x,y)到Q(-1,0)的距离的平方. 令t=x2+y2+2x,则t=|PQ|2-1. 由图可知|PQ|max=|QC|=2. 由A(-2,1),B(2,2)知直线AB的方程为x-4y+6=0, 所以|PQ|min=d=,其中d表示点Q到直线AB的距离, 所以tmax=(2)2-1=19,tmin=-1=, 22 (1 1)45 5 17 5 2 5 17 8 17 所以x2+y2+2x的取值范围为. 8 ,19 17 命题说明命题说明 非线性目标函数最值的求法主要是根据几何意义结合图形求解,本题目标函数设计巧 妙.考查了斜率公式、直线方程、点到直线的距离公式等相关知识,要求学生基本功扎实,否则就 容易掉进陷阱,如直接代顶点求最值,求出距离之后忘记平方或平方了忘记减去1.这能很好地体现 学生数学运算的核心素养. 素养解读素养解读 本题通过目标函数最值的求法,主要考查了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
