1、考点考点1 函数图象的识辨函数图象的识辨 1.(2020浙江,4,4分)函数y=xcos x+sin x在区间-,上的图象可能是( ) 答案答案 A 设f(x)=xcos x+sin x,定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于 原点对称,排除C、D;又f()=cos +sin =-,排除B,故选A. 2.(2020天津,3,5分)函数y=的图象大致为( ) 2 4 1 x x 答案答案 A 设y=f(x)=,易知f(x)的定义域为R,f(-x)=-f(x),函数f(x)=是奇函数,y=f (x)的图象关于原点对称,排除C、D,易知f(1)=2,排除B,
2、故选A. 2 4 1 x x 2 -4 1 x x 2 4 1 x x 3.(2019课标,文5,理5,5分)函数f(x)=在-,的图象大致为( ) 2 sin cos xx xx 答案答案 D 本题主要考查函数的奇偶性、三角函数的性质;考查学生的推理论证能力和运算求解 能力,以及对数形结合思想的应用;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算. f(x)的定义域为-,关于原点对称.f(-x)=-=-f(x), f(x)是奇函数.又f()=0,选D. 2 sin(- )- cos(- )(- ) x x xx 2 sin cos xx xx 2 sin cos 2 -1 思路分析思路分析 函数图象的识
3、辨题,通常从对定义域、奇偶性、特殊点的函数值的分析入手.根据本题 所给的函数解析式,可以很快捷地判断其奇偶性.再观察图象特征,取x=具有很强的分辨性. 4.(2019浙江,6,4分)在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(a0,且a1)的图象可能是( ) 1 x a 1 2 x 答案答案 D 本题主要考查指数函数与对数函数的图象和性质及函数图象的识辨,通过识辨函数图 象建立数与形的联系,考查图形描述、分析数学问题的素养. 对于函数y=loga,当y=0时,有x+=1,得x=,即y=loga的图象恒过定点,排除选 项A、C;函数y=与y=loga在各自定义域上单调性相反,排除选项B,故选D.
4、 1 2 x 1 2 1 2 1 2 x 1 ,0 2 1 x a 1 2 x 解题策略解题策略 掌握基本初等函数的图象和性质,利用排除法求解是解答本题的关键. 5.(2018课标,文3,理3,5分)函数f(x)=的图象大致为( ) - 2 e -e xx x 答案答案 B 本题主要考查函数的图象. f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称. f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,排除A选项; 又f(2)=1,排除C,D选项,故选B. 2-2 e -e 4 6.(2018课标理,7,5分)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( ) 答案答案 D y=f(x)=-x4+x2+2是
5、偶函数,且f(0)=20,f(x)=-+,在x2=处有最大值,故选D. 2 2 1 - 2 x 9 4 1 2 一题多解一题多解 f(x)=-x4+x2+2,f (x)=-4x3+2x,令f (x)0,解得x-或0x,此时f(x)递增;令f (x) 0,解得-x,此时f(x)递减.由此可得f(x)的大致图象.故选D. 2 2 2 2 2 2 2 2 7.(2018浙江,5,4分)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是( ) 答案答案 D 本题考查函数的奇偶性,指数型函数、三角函数的值域. 因为y=2|x|sin 2x为奇函数,所以排除A,B;因为2|x|0,且当0x0,当x时,sin 2x0
6、,x时,y0,y=1+x+1+x1,排除A、C.令f(x)=x+,则f(-x)=-x+ =-f(x),f(x)=x+是奇函数,图象关于点(0,0)对称, y=1+x+的图象关于点(0,1)对称,排除B.故选D. 2 sin x x 2 sin x x 2 sin(- ) (- ) x x 2 sin x x 2 sin x x 解后反思解后反思 函数图象问题,一般从定义域、特殊点的函数值、单调性、奇偶性等方面入手进行分 析.选择题通常采用排除法. 9.(2017课标文,8,5分)函数y=的部分图象大致为( ) sin2 1-cos x x 答案答案 C 当x=时,y=0,D不正确;又y=是奇函
7、数,图象关于原点对称,B不正确;x(0,1)时,恒 有y0,知A也不正确.故选C. sin2 1-cos x x (2016浙江文,3,5分)函数y=sin x2的图象是( ) 以下为教师用书专用 答案答案 D 排除法.由y=sin x2为偶函数判断函数图象的对称性,排除A,C;当x=时,y=sin=sin 1,排除B,故选D. 2 2 2 2 4 1.(2020北京,6,4分)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)0的解集是( ) A.(-1,1) B.(-,-1)(1,+) C.(0,1) D.(-,0)(1,+) 考点考点2 函数图象的应用函数图象的应用 答案答案 D 不等式f
8、(x)0等价于不等式2xx+1,作出函数y=2x和函数y=x+1的图象,如图所示,易知两 个函数图象的交点坐标为(1,2)和(0,1),观察函数图象可知,当x1或xx+1,故不等式f(x)0的解集为(-,0)(1,+),故选D. 2.(2017天津文,8,5分)已知函数f(x)=设aR,若关于x的不等式f(x)在R上恒成立, 则a的取值范围是( ) A.-2,2 B.-2,2 C.-2,2 D.-2,2 | |2,1, 2 ,1. xx xx x 2 x a 3 333 答案答案 A 令g(x)=,当a0时,如图1所示,若f(x)g(x)恒成立,则g(0)2,得a-2,-2a0; 图1 当a0
9、时,如图2所示, f(x)=x+(x1),则f (x)=1-,由f (x)=,得x=2,此时y=3,即点B(2,3),则g(2)=+ a3,得a2,0a2. 2 x a 2 x 2 2 x 1 2 2 2 图2 综上可知,-2a2. 思路分析思路分析 作出函数y=f(x)的图象,借助于图象的直观性求出f(x)在R上恒成立时a的取值 范围. 2 x a 方法总结方法总结 解决含绝对值不等式恒成立的问题,往往将不等式问题转化为两函数图象的上、下位 置关系问题,从而利用数形结合法得出满足条件的不等式,进而求出参数的值. 3.(2016课标文,12,5分)已知函数f(x)(xR)满足f(x)=f(2-
10、x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点 为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则=( ) A.0 B.m C.2m D.4m 1 m i i x 答案答案 B 由题意可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线x=1 对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所 以xi=m,故选B. 1 m i 疑难突破疑难突破 关于直线x=1对称的两点横坐标之和为2,由题意得出f(x)与y=|x2-2x-3|的图象均关于直 线x=1对称是解题的关键. 4.(2016课标理
11、,12,5分)已知函数f(x)(xR)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x 1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则(xi+yi)=( ) A.0 B.m C.2m D.4m 1x x 1 m i 答案答案 B 由f(-x)=2-f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称,又易知y=1+的图象关于点(0,1)对 称,所以两函数图象的交点成对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,则x1+xm=x2+xm-1=0,y1+ym= y2+ym-1=2, (xi+yi)=0+2=m.故选B. 1x x 1 x 1 m i 2 m 2 m 考点考点1 函数图
12、象的识辨函数图象的识辨 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020河北新时代NT教育模拟)已知函数f(x)=则函数g(x)=x2f(x)的大致图象是( ) - e -4,0, e -4,0, x x x x 答案答案 A 易知函数f(x)为偶函数,又y=x2为偶函数,故g(x)为偶函数,排除B、D;当0xln 4时, f(x) 0,所以g(x)0,所以排除选项D,故选B. 4 - (- ) e -e xx x 3.(2020湖南长沙一中月考)函数f(x)=(3x+3-x)ln|x|的图象大致为( ) 答案答案 D 易知函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且f(x)是偶函数,当
13、x(0,1)时, f(x)0时,y0,且等号可以取到, 故中的函数对应第4个图象,排除B.故选A. 5.(2019河北衡水中学第二次调研,5)函数y=(2x-1)ex的图象大致是( ) 答案答案 A 因为x趋向于-时,y=(2x-1)ex0,所以C,D错误;因为y=(2x+1)ex,所以当x-时,y0,y=(2x -1)ex在上单调递减,所以A正确,B错误,故选A. 1 2 1 - ,- 2 1.(2020普通高等学校招生全国统一考试考前演练)某函数的部分图象如图,则下列函数中可以作 为该函数的解析式的是( ) A.y= B.y= C.y= D.y= sin2 sin2 e x x cos2
14、cos2 e x x cos2 |cos2 | e x x cos |cos | e x x 考点考点2 函数图象的应用函数图象的应用 答案答案 C 根据题中函数的部分图象,可得该函数的图象关于y轴对称,故该函数为偶函数,而A中 的函数y=为非奇非偶函数,故排除A;再根据题中图象可知函数的最小正周期T4,而y= 的最小正周期是2,大于4,故排除D;又当xR时, f(x)的值恒大于等于0,故排除B.故选C. sin2 sin2 e x x cos |cos | e x x 2.(2019河北衡水中学第二次调研,7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR, f(x+2)=f (x),
15、当0 x1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数f(x)的图象在0,2内恰有两个不同的公共点,则实数a 的值是( ) A.0 B.0或- C.-或 D.0或- 1 2 1 4 1 2 1 4 答案答案 D 因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,作图,如图: 由图知,直线y=x+a与函数f(x)的图象在区间0,2内恰有两个不同的公共点时,直线y=x+a经过点(1, 1)或与曲线f(x)=x2(0 x1)相切于点A,则1=1+a,或x2=x+a,则a=0或=1+4a=0,即a=0或a=-.故选D. 1 4 3.(2019广东佛山第三中学模拟,9)已知函数f(x)=关于x的方程
16、f(x)-t=0(tR)恰好有x1, x2,x3三个不同的实数解,则|x1x2x3|的取值范围为( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,1 2 1 -1,0, 2 2 ,0, x x xx x 答案答案 B 由题意作出y=f(x)的图象如图,因为y=t与y=f(x)的图象恰好有3个交点,不妨设三个交点 的横坐标从左往右依次为x1,x2,x3,所以x10,x2+x3=2,x3=2-x2.又2x=-x2+1,x2-=1-.又 =时,x=-1,-1x10. |x1x2x3|=|x1x2(2-x2)|=|2x1(1-)|=|2x1(-1)|,易知y=|2x1(-1)|在x1(
17、-1,0)上单调递减, |x1x2x3|0,故0|x1x2x3|0, f (1)=2cos 1-2sin 1- e0,排除B、D,故选A. - - e1 e -1 x x e1 e -1 x x 方法总结方法总结 函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置; (2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势; (3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性; (4)根据函数的周期性判断图象的循环往复. 2.(2020湖南、河南、江西3月联考,9)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且在0,+)上是增 函数,不等式f(ax+2)
18、f(-1)对于x1,2恒成立,则a的取值范围是( ) A. B. C. D.0,1 3 -,-1 2 1 -1,- 2 1 -,0 2 答案答案 A 由题意可知, f(x)为偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称且f(x)在(-,0)上单调递减,由f(x)的 图象特征可得-1ax+21在1,2上恒成立,得-a-在1,2上恒成立,所以-a-1.故选A. 3 x 1 x 3 2 3.(2020湖南长沙明德中学3月月考理,6)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( ) 1 -ln -1xx 答案答案 D 由于f=0,所以排除B选项;由于f(e)=, f(e2)=,所以f(e)f(e2)0,
19、排除A、C选项.故选D. 1 2 1 11 -ln-1 22 1 1 ln2- 2 1 e-2 2 1 e -3 4.(2020湖南长沙明德中学3月月考文,8)已知函数f(x)= sin x,则函数y=f(x)的图象大致为( ) 2 1 x x 答案答案 C 函数f(x)=sin x的定义域为R, f(-x)=sin(-x)=sin x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,排除A、D;当0x0,所以f(x)= sin x0,排除B.故选C. 2 1 x x 2 - 1(- ) x x 2 1 x x 2 1 x x 5.(2019河北邯郸一模,10)如图,在直角坐标系xOy中,边长为1的正方形
20、OMNP的两条边在坐标轴上, 点A,B分别在线段MN,NP上运动.设PB=MA=x,函数f(x)=,g(x)=,则f(x)与g(x)的图象为 ( ) OABAOA OB 答案答案 A 由已知可得A(1,x),B(x,1),x0,1,则=(1-x,x-1),=(1,x),=(x,1),所以f(x)= 1-x+x(x-1)=(x-1)2,g(x)=2x,则f(x),g(x)的图象为A中图象,故选A. BAOAOBOABA OA OB 思路分析思路分析 由已知可得A(1,x),B(x,1),x0,1,根据向量的数量积即可求出f(x),g(x)的解析式,即可 得到函数的图象. 6.(2020湖北、山东
21、部分重点中学联考,5)已知二次函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=f(x) ex的图 象大致为( ) 答案答案 A 由题图知,当x1时,g(x)0;当-1x1时,g(x)0,故选A. 7.(2020普通高等学校招生全国统一考试考前演练,9)设符号minx,y,z表示x,y,z中的最小者,已知函 数f(x)=min|x-2|,x2,|x+2|,则下列结论正确的是( ) A.x0,+), f(x-2)f(x) B.x1,+), f(x-2)f(x) C.xR, f(f(x)f(x) D.xR, f(f(x)f(x) 答案答案 C 根据题意作出函数f(x)的图象如图1中实线部分所示,观察函数
22、图象可知函数f(x)的图象 关于y轴对称,则函数f(x)为偶函数. 图1 若x1,3,则(x-2)-1,1,此时f(x-2)=(x-2)2;若x(3,+),则(x-2)(1,+),此时f(x-2)=|(x-2)-2|=|x-4|. 如图2,观察可得,x1,+),恒有f(x-2)f(x),可知选项A、B的说法不正确; 图2 由于函数f(x)为偶函数,故只需考查x0时不等式是否成立即可.若x0,1,则f(x)0,1,此时f(f(x) =f(x2)=x4;若x(1,3),则f(x)0,1),此时f(f(x)=f(|x-2|)=(x-2)2;若x3,+),则f(x)1,此时f(f(x)=f(|x-2
23、|)=|x-4|. 如图3,观察可得,恒有f(f(x)f(x),所以选项C的说法正确,选项D的说法不正确.故选C. 图3 方法总结方法总结 利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数求解,但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系 问题,从而利用数形结合法求解. 1.(2020 5 3原创题)函数f(x)=的图象大致为( ) 2 3 ln| | sin xx xx 答案答案 C x3+sin x0,x0,又由|x|0得x0,f(x)的定义域为(-,0)(0,+),排除A;由已知 得f(-x)+f(x)=0,f(x)为奇函数,排除D;f0,排除B,故选C. 3 1 e 技巧
24、点拨技巧点拨 利用特值法,排除不符合要求的选项;较难的问题需要研究函数单调性、极值等,从图 象的走向趋势分析函数的单调性、周期性等. 命题说明命题说明 本题考查直观想象与逻辑推理的核心素养,通过函数解析式判断函数的定义域、奇偶 性等,进而推断出图象. 2.(2020 5 3原创题)若偶函数f(x)=ax2+(b-2)x的图象过点A(1,2),则函数g(x)=bx+,x的值域 为 . a x 1 -3,- 2 答案答案 20 -,-4 3 解析解析 函数f(x)=ax2+(b-2)x是偶函数,则f(-x)=ax2-(b-2)x=f(x)=ax2+(b-2)x恒成立,b-2=0,又函数图象 过点A
25、(1,2),2=a+(b-2),可得a=2,b=2. g(x)=2x+,x.易知g(x)在-3,-1)上为增函数,在上为减函数,x=-1时,g(x)max=g(-1) =-4,又g(-3)=-,g=-5,故g(x)的值域为. 2 x 1 -3,- 2 1 -1,- 2 20 3 1 - 2 20 -,-4 3 命题说明命题说明 偶函数的图象关于y轴对称,故二次函数为偶函数的充分必要条件是其一次项系数为0, 又给了图象上的一个点,用待定系数法即可确定题中的参数.求出函数的单调性,从而求出值域. 素养解读素养解读 重点考查逻辑推理和直观想象的核心素养. 3.(2020 5 3原创题)设方程log2
26、 020(2 022-2 020 x)+=0的两根为x1,x2,则x1x2= . 2 021 x 答案答案 -2 021 解析解析 解法一:设f(x)=log2 020(2 022-2 020 x),g(x)=-,A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=f(x)与y=g(x)图象的 交点,易知y=f(x)的图象关于直线y=x对称,y=g(x)的图象也关于直线y=x对称,A,B关于直线y=x对 称,由对称性知A(x1,x2),B(x2,x1),A(x1,x2)在曲线y=g(x)上, x2=-,故x1x2=-2 021. 解法二:令log2 020(2 022-2 02)=t, 则x1=log
27、2 020(2 022-2 020t), 代入原方程,得t+=0, 即log2 020(2 022-2 020t)+=0,则t是方程的根, 经验证知tx1,t=x2,即x2=log2 020(2 022-2 02). log2 020(2 022-2 02)+=0,x2+=0,故x1x2=-2 021. 2 021 x 1 2 021 x 1 0 x 2 020 2 021 log(2 022-2 020 ) t 2 021 t 1 0 x 1 0 x 1 2 021 x 1 2 021 x 解题关键解题关键 超越函数(方程)的零点(根)问题,常常采用数形结合的思想解题,本题中发现f(x),g(x)的 图象均关于直线y=x对称是解题的关键.
