1、考点考点1 1 二次函数二次函数 1.(2019浙江,16,4分)已知aR,函数f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|,则实数a的最大值是 . 2 3 答案答案 4 3 解析解析 本题考查绝对值不等式的解法及二次函数的最值等相关知识;以三次函数为背景,对不等 式化简变形,考查学生运算求解能力,将不等式有解问题转化为函数值域(最值)问题,考查学生的化 归与转化思想、数形结合思想;突出考查了数学运算的核心素养. |f(t+2)-f(t)|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|6at2+12at+8a-2|3at2+6at+4a-1|-3at2+6 at+4a-1a(
2、3t2+6t+4),3t2+6t+4=3(t+1)2+11,若存在tR,使不等式成立,则需a0, 故a(3t2+6t+4)a,+),只需a,+)即可, 01),函数y=3x2的图象交AB于点Q,函数y= 的图象交BC于点P,则当|AQ|+|CP|最小时,a的值为 . 1 -2 x 答案答案 3 解析解析 依题意得Q,P, 则|AQ|+|CP|=+=+, 记=t(t1), f(t)=|AQ|+|CP|,则f(t)=+, 所以f(t)=+2,当且仅当=,即t2=时取等号,此时a=. , 3 a a 1 , a a 3 a1 a3 a1 a a 3 t1 t 3 t1 t 1 33 t1 t 33
3、(2017上海春,13,5分)函数f(x)=(x-1)2的单调递增区间是( ) A.0,+) B.1,+) C.(-,0 D.(-,1 以下为教师用书专用 答案答案 B 函数f(x)=(x-1)2图象的对称轴是直线x=1,开口向上,故f(x)的单调递增区间是1,+).故选 B. 考点考点2 2 幂函数幂函数 1.(2016课标,7,5分)已知a=,b=,c=2,则( ) A.bac B.abc C.bca D.cab 4 3 2 2 3 3 1 3 5 答案答案 A a=,c=2=,而函数y=在(0,+)上单调递增,所以,即bac,故选A. 4 3 2 2 3 4 1 3 5 2 3 5 2
4、3 x 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2.(2018上海,7,5分)已知-2,-1,-,1,2,3.若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则= . 1 2 1 2 答案答案 -1 解析解析 本题主要考查幂函数的图象和性质.幂函数f(x)=x为奇函数,可取-1,1,3,又f(x)=x在(0, +)上递减,0,则幂函数的图象过原点,并且在区间0,+)上为增函数; 如果0,则幂函数的图象在区间(0,+)上为减函数; 当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数. (2014上海,9,4分)若f(x)=-,则满足f(x)0的x的取值范围是 . 2 3 x 1 -2 x 以
5、下为教师用书专用 答案答案 (0,1) 解析解析 令y1=,y2=,则f(x)0即为y1y2.函数y1=,y2=的图象如图所示,由图象知:当0x1时,y1 y2,所以满足f(x)f(cx) D.f(bx)f(cx) 答案答案 D 本题考查二次函数的性质,体现了分论讨论思想,渗透了逻辑推理的核心素养. 因为函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),则有=1,即b=2,又由f(0)=3,得c=3,所以bx=2x,cx=3x. 当x0时,cxbx1,而f(x)在(-,1)上为减函数,此时有f(bx)0时,1bxcx,而f(x)在(1,+)上为增函数,此时有f(bx)f(cx).综上
6、可得,f(bx)f(cx),故选D. 2 b 2.(2020陕西汉中二模,10)对于实数x,规定x表示不大于x的最大整数,那么不等式4x2-36x+450 成立的x的范围是( ) A. B.2,8 C.2,8) D.2,7 3 15 , 2 2 答案答案 C 由4x2-36x+450,得x2,3,4,5,6,7,又x表示不大于x的最大整数,所以2x8.故选 C. 3.(2019内蒙古赤峰二中月考,4)若函数f(x)=4x2-kx-8在5,8上是单调函数,则k的取值范围是 ( ) A.(-,40 B.40,64 C.(-,4064,+) D.64,+) 答案答案 C 二次函数图象的对称轴为直线x
7、=,函数在区间5,8上单调,8或5,k64 或k40. 8 k 8 k 8 k 4.(2018河南南阳模拟,9)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x1,3, f(x)-m+4恒成立,则实数m的取值范 围为( ) A.(-,0 B. C.(-,0) D. 5 0, 7 5 0, 7 5 - , 7 答案答案 D f(x)-m+4对于x1,3恒成立即m(x2-x+1)5对于x1,3恒成立.当x1,3时,x2-x+1 1,7,不等式f(x)-m+4等价于m.当x=3时,取最小值,若要不等式m 对于x1,3恒成立,则必须满足mf(a1)+f(a2)+f(am)成立,则m的最大值为 . 5 1,n
8、 n 答案答案 6 解析解析 n为正整数,n+, f(x)在区间上的最大值为f=,最小值为f=,=6+,m的最大值为6. 5 n 9 2 9 1, 2 9 2 19 4 5 2 3 4 19 4 3 4 1 4 考点考点2 2 幂函数幂函数 1.(2020安徽六安金安模拟,6)已知幂函数f(x)=mx1+n是定义在区间-2,n上的奇函数,设a=f,b =f,c=f,则( ) A.bac B.cba C.bca D.abc 2 sin 7 2 cos 7 2 tan 7 答案答案 A 本题考查了幂函数与奇函数的定义与应用,也考查了三角函数值的大小比较,体现的核 心素养有逻辑推理、数学运算. 根据
9、f(x)=mx1+n是幂函数且在区间-2,n上是奇函数, 得m=1,且-2+n=0,解得n=2, f(x)=x3,且在定义域-2,2上是单调增函数. 又0,cossin1tan, fff,即bac.故选A. 4 2 7 2 2 7 2 7 2 7 2 cos 7 2 sin 7 2 tan 7 2.(2019河南濮阳二模,4)已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且其图象与两坐标轴都没有交点, 则实数m=( ) A.-1 B.2 C.3 D.2或-1 2 2-3mm x 答案答案 A 函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x
10、5,其图 象过原点,不合题意;当m=-1时,f(x)=,其图象与两坐标轴都没有交点,符合题意,故m=-1,故选A. 2 2-3mm x 4 1 x 3.(2020四川攀枝花模拟,13)已知幂函数y=mxn(m,nR)的图象经过点(4,2),则m-n= . 答案答案 1 2 解析解析 本题考查了幂函数的定义与计算问题,考查了学生的计算能力,渗透了数学运算的核心素 养. 函数y=mxn(m,nR)为幂函数,则m=1;又函数y=xn的图象经过点(4,2),则4n=2,解得n=.所以m-n=1- =. 1 2 1 2 1 2 4.(2020四川嘉陵模拟,13)若幂函数y=(m2-2m-2)xm-2在x
11、(0,+)上为减函数,则实数m的值是 . 答案答案 -1 解析解析 因为函数y=(m2-2m-2)xm-2既是幂函数又是(0,+)上的减函数,所以 解得m=-1. 2-2 -2 1, -20 mm m 3-1, 2, mm m 或 一、选择题(每小题5分,共20分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：25分钟 分值：40分) 1.(2020广西来宾模拟,11)已知二次函数f(x)=ax2-ax-1没有零点,g(x)=f(x)+ax3-(a+3)x2+ax+2,若方程g (x)=0只有唯一的正实数根,则实数a的取值范围是( ) A.(-4,0) B.(-,-4) C.(-2,0) D
12、.(-4,-2) 答案答案 D 因为二次函数f(x)=ax2-ax-1没有零点,则a0且=a2+4a0,解得-4a0. 由g(x)=f(x)+ax3-(a+3)x2+ax+2=ax2-ax-1+ax3-(a+3)x2+ax+2=ax3-3x2+1,得g(x)=3ax2-6x=3x(ax-2), 令g(x)=0,得x=0或x=;由于a0,所以当x时,g(x)0,g(x)单调递减;当x0,g(x)单调递 增;当x0时,g(x)0,g(x)单调递减; 所以g为极小值, g(0)为极大值,且g(0)=1. 当a0,解得a2(舍去)或a-2.综上所述, 实数a的取值范围是(-4,-2).故选D. 2 a
13、 2 a 2 a 2 a 2 a 3 2 a 2 2 a 2.(2020江西模拟,11)已知kR,设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)0在xR上恒 成立,则k的取值范围为( ) A.0,e2 B.2,e2 C.0,4 D.0,3 2 3 -22 ,1, ( - -1)ee ,1, x xkxk x x kx 答案答案 D 本题考查分段函数的应用,考查不等式恒成立问题,着重考查分类讨论思想和等价转化 思想,考查导数的运用,考查运算求解能力和推理能力,渗透的核心素养是逻辑推理和数学运算. (1)当x1时, f(x)=x2-2kx+2k,f(x)图象的对称轴为直线x=k,开口向上. 当k1时,
14、f(x)在(-,k)上递减,在(k,1上递增, 当x=k时, f(x)有最小值,即f(k)0,0k1时, f(x)=(x-k-1)ex+e3,f (x)=(x-k)ex, 当k1时, f(x)在(1,+)上递增,f(x)f(1)=-ke+e30,ke2,此时k1; 当k1时, f(x)在(1,k)上递减,在(k,+)上递增, f(x)f(k)=-ek+e30,k3,1k3.综上,0k3.故选D. 思路分析思路分析 当x1时, f(x)=x2-2kx+2k,分k1时, f(x)=(x-k-1) ex+e3,分k1和k1两种情况讨论. 3.(2018新疆乌鲁木齐二模,8)已知点(m,8)在幂函数f
15、(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f,b=f(ln ),c=f ,则a,b,c的大小关系为( ) A.acb B.abc C.bca D.bac 3 3 2 2 答案答案 A f(x)=(m-1)xn是幂函数,m-1=1,m=2,点(m,8)即(2,8)在幂函数f(x)=xn的图象上, 8=2n,n=3,则f(x)=x3,f(x)在R上递增, 01,acb,故选A. 3 3 2 2 思路分析思路分析 由幂函数的定义可得m=2,由函数图象过(m,8),得n=3,f(x)=x3,f(x)在R上递增,结合对 数函数和幂函数的性质,即可得到a,b,c的大小关系. 4.(2019安徽合肥模拟,7)若
16、0ba1,则在ab,ba,aa,bb中最大的是( ) A.ba B.aa C.ab D.bb 答案答案 C 0baaa,ba bb.故在ab,ba,aa,bb中最大的是ab,故选C. 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.(2020河南郑州二模)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m= . 答案答案 2 解析解析 本题考查了幂函数的定义与性质,体现了数学建模的核心素养. 函数f(x)=(m2-3m+3)xm是幂函数, m2-3m+3=1,解得m=1或m=2. 当m=1时,函数y=x的图象不关于y轴对称,舍去; 当m=2时,函数y=x2的图象关于y轴对称.m=2.
17、6.(2020吉林模拟,15)M是幂函数f(x)=xn图象上的点,将f(x)的图象向右平移2个单位长度,再向 上平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若点Tn(n,m)(nN*,且n2)在g(x)的图象上,则|MT2|+| MT3|+|MT9|= . 9 3 , 4 2 3 2 答案答案 30 解析解析 由题意得=,解得n=. f(x)=,则g(x)=+, 点Tn(n,m)(nN*,且n2)在g(x)的图象上, m=+.=n-2. 抛物线=x-2的焦点为M,准线方程为x=2-=.根据抛物线的性质可得:|MTn|=n-, 则|MT2|+|MT3|+|MT9|=2-+3-+9-=-8=30.
18、 3 2 9 4 n 1 2 x-2x 3 2 -2n 3 2 2 3 - 2 m 3 2 m 2 3 - 2 y 9 3 , 4 2 1 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7 4 (29) 8 2 7 4 思路分析思路分析 由=,解得n=,可得f(x)=.则可得g(x)=+,根据点Tn(n,m)(nN*,且n2)在 g(x)的图象上,可得=n-2.利用抛物线的定义及性质即可得出答案. 3 2 9 4 n 1 2 x-2x 3 2 2 3 - 2 m 3 2 m 三、解答题(共10分) 7.(2019山西晋中模拟,18)已知f(x)=ax2-2x+1-a,aR. (1)求f(x)在0,2上的
19、最小值g(a); (2)若关于x的方程f(2x)=(a+1) 4x-a (2x+1)-2x+1+3有正实数根,求实数a的取值范围. 解析解析 (1)当a=0时, f(x)=-2x+1在0,2上单调递减,故最小值g(a)=f(2)=-3. 当a0时, f(x)=ax2-2x+1-a是关于x的二次函数,其图象的对称轴为x= . 当a0时,x= 0时,x=0, 当(0,2),即a时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,故最小值g(a)=f=1-a-; 当2,+),即00),则方程变形为t2-at+2=0, 根据题意得,原方程4x-a 2x+2=0有正实数根,即关于t的一元二次方程t2-at+2=0有
20、大于1的实数根, 1 a 1 a 1 2 1 0, a 1 ,2 a 1 a 1 a 1 a 1 2 1 3 -3, 2 11 1- ,. 2 aa a a a 而方程t2-at+2=0+t=a在(1,+)上有实根, 令F(t)=+t,t(1,+),则F(t)在(1,+)上的值域为2,+),故a2,+). 2 t 2 t 2 2 思路分析思路分析 (1)通过讨论a的范围,结合二次函数的性质求出函数的单调区间,求出函数的最小值即可; (2)化简方程,得到4x-a 2x+2=0,令t=2x(t0),问题转化为+t=a在(1,+)上有实根,求出a的范围即可. 2 t 1.(2020 5 3原创题)若
21、幂函数f(x)=x(R)满足(+1) f(x)=f(ex),则关于函数f(x)的性质正确的判断是 ( ) A.f(x)的图象关于直线x=-1对称 B.f(x)是周期函数 C.f(x)的图象关于点(0,1)对称 D.f(x)是单调函数 答案答案 C (+1)f(x)=f(ex), (+1)x=ex,即e=+1. 令g()=e-1,则g()=e-1, 令g()=0,得=0. 当(-,0)时,g()0,g()单调递增. g()min=g(0)=0, 方程e=+1有唯一解=0, f(x)=x0=1(x0), f(x)的图象不关于直线x=-1对称, f(x)不是周期函数, f(x)无单调性, f(x)的
22、图象关于点(0,1)对称.故 选C. 疑难突破疑难突破 本题难点在于求出字母的值,如能掌握好教材习题结论xR,exx+1,当且仅当x=0 时取等号,则问题就可简化. 命题说明命题说明 本题以幂函数为载体考查了函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性以及指数运 算、导数的应用.引导学生发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题的 能力. 2.(2020 5 3原创题)已知函数f(x)=g(x)=16|f(x)| (2|f(x)|-m)+m2+4m-5. (1)求函数f(x)的值域; (2)若函数g(x)有3个零点,求m的取值范围. 2 -( -1) ,1, -1 ,1, 1 xx
23、 x x x 解析解析 (1)当x(-,1时, f(x)=-(x-1)2在(-,1内是增函数,且f(1)=0, f(x)(-,0. 当x(1,+)时, f(x)=1-是增函数,且f(1)=0, f(x)1,f(x)(0,1). 综上, f(x)的值域是(-,1). (2)令t=|f(x)|,则h(t)=32t2-16mt+m2+4m-5,y=|f(x)|的图象如图所示, -1 1 x x 2 1x 即或或 解得3m9或m=1. 2 2 4 -50, -12270 mm mm 2-12 270, 12 2 mm m 2 4 -50, 01, 2 mm m 要使函数g(x)有3个零点,只要32t2-16mt+m2+4m-5=0的两根t1,t2满足0t11t2或t1=0t21. 结合函数图象可知 或 或 (0)0, (1)0 h h 12 (1)0, 12 h tt 12 (0)0, 01. h tt 方法技巧方法技巧 遇到复合函数的零点个数问题,一般先采用换元法(整体思想与化简),转化为基本函数 模型的问题,然后借助函数图象,找到复合函数、中间元及自变量间的对应关系求解. 命题说明命题说明 本题以二次函数与反比例形式的函数构成的分段函数为背景,考查函数图象与性质、 图象变换以及数形结合思想、转化与化归思想、数学抽象、逻辑推理,需要读懂数学符号与数学 图形等数学语言.
