1、考点考点1 1 极坐标方程极坐标方程 1.(2020课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t1),C与 坐标轴交于A,B两点. (1)求|AB|; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程. 2 2 2- - , 2-3 xt t ytt 解析解析 (1)因为t1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交 点为(-4,0).故|AB|=4. (2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为+=1,将x=cos ,y=sin 代入,得直线AB的极坐标方 程为3c
2、os -sin +12=0. 10 -4 x 12 y 2.(2020江苏,21B,10分)在极坐标系中,已知点A在直线l:cos =2上,点B在圆C:=4sin 上(其中0,02). (1)求1,2的值; (2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标. 1 , 3 2 , 6 解析解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力. (1)由1cos =2,得1=4;2=4sin =2, 又(0,0)也在圆C上,因此2=2或0. (2)由得4sin cos =2,所以sin 2=1. 因为0,00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4, 0)且与OM垂直,垂足为P. (1)当0=
3、时,求0及l的极坐标方程; (2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程. 3 解析解析 本题主要考查了极坐标的概念和求极坐标方程的基本方法,考查了数学运算能力和数形结 合的思想方法,主要体现了直观想象和数学运算的核心素养. (1)因为M(0,0)在C上,所以当0=时,0=4sin=2.由已知得|OP|=|OA|cos=2.设Q(,)为l上除P 的任意一点.在RtOPQ中,cos=|OP|=2. 经检验,点P在曲线cos=2上. 所以,l的极坐标方程为cos=2. (2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos .因为P在线段OM上,且
4、APOM,故的 取值范围是.所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos ,. 3 3 3 3 - 3 2, 3 - 3 - 3 , 4 2 , 4 2 4.(2017课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM| |OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值. 2, 3 解析解析 本题考查极坐标方程及其应用. (1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|
5、=,|OM|=1=. 由|OM| |OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0). (2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积S=|OA| B sinAOB =4cos =22+. 当=-时,S取得最大值2+. 所以OAB面积的最大值为2+. 4 cos 1 2 sin- 3 3 sin 2 - 32 3 12 3 3 5.(2019课标,22,10分) 如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,),弧,所在圆的圆心分别是(1,0), ,(1,),曲线M1是弧,曲线M2是
6、弧,曲线M3是弧. (1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程; (2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标. 2, 4 3 2, 4 AB BC CD 1, 2 AB BC CD 3 解析解析 (1)由题设可得,弧, , 所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos . 所以M1的极坐标方程为=2cos ,M2的极坐标方程为=2sin ,M3的极坐标方 程为=-2cos . (2)设P(,),由题设及(1)知 若0,则2cos =,解得=; 若,则2sin =,解得=或=; 若,则-2cos =,解得=. 综上,P的极坐标为或或或. AB
7、 BC CD 0 4 3 44 3 4 4 3 6 4 3 4 3 3 2 3 3 4 3 5 6 3, 6 3, 3 2 3, 3 5 3, 6 6.(2016课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; (2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率. cos , sin xt yt 10 解析解析 (1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程2+12cos +11=0.(3分) (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=
8、(R).(4分) 设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0. 于是1+2=-12cos ,12=11.(6分) |AB|=|1-2|=.(8分) 由|AB|=得cos2=,tan =.(9分) 所以l的斜率为或-.(10分) 2 1212 () -4 2 144cos-44 10 3 8 15 3 15 3 15 3 7.(2018课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)
9、若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 解析解析 (1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公 共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0,经检验,当k=0 时,l1与C2没有公共点
10、;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点. 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时, l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点. 综上,所求C1的方程为y=-|x|+2. 2 |-2| 1 k k 4 3 4 3 2 |2| 1 k k 4 3 4 3 4 3 1.(2017北京,11,5分)在极坐标系中,点A在圆2-2cos -4sin +4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最 小值为 . 以下为教师用书专用 答案答案 1 解析解析 由2-2cos -4sin +4=0,得x2+y2-
11、2x-4y+4=0, 即(x-1)2+(y-2)2=1,圆心的坐标为(1,2),半径r=1, 结合图形可知|AP|的最小值为-r=2-1=1. 22 (1-1)(2-0) 2.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线cos -sin -1=0与圆=2cos 交于A,B两点,则|AB|= . 3 答案答案 2 解析解析 =2cos 2=2cos (cos )2+(sin )2=2cos ,将x=cos ,y=sin 代入直线与圆的极坐 标方程得其直角坐标方程分别为x-y-1=0及(x-1)2+y2=1,圆心(1,0)满足1-0-1=0,所以直线过圆 心,则AB为圆的一条直径,所以|AB|=
12、2. 33 3.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4cos+1=0与圆=2sin 的公共点的个数为 . - 6 答案答案 2 解析解析 将4cos+1=0展开为4cos +sin +1=0,即2cos +2sin +1=0,将x=cos , y=sin 代入得2x+2y+1=0. =2sin ,即2=2sin ,化为直角坐标方程为x2+y2=2y,配方得x2+(y-1)2=1.圆心坐标为(0,1),半径r=1. 圆心(0,1)到直线的距离d=0)与圆=2cos 相切,则a= . 答案答案 1+ 2 解析解析 由可将直线cos +sin =a化为x+y-a=0,将=2cos ,即2=
13、2cos 化为x2+y2=2x, 整理成标准方程为(x-1)2+y2=1. 又直线与圆相切,圆心(1,0)到直线x+y-a=0的距离d=1,解得a=1,a0,a=1+. 222 cos, sin, x y xy |1- | 2 a 22 方法总结方法总结 这种类型的题目的解法是先将极坐标方程化为直角坐标方程,然后用平面几何知识求 解. 5.(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点
14、为M,N,求C2MN的面积. 4 解析解析 (1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4 sin +4=0.(5分) (2)将=代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=,故1-2=,即|MN|=. 由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.(10分) 4 22222 1 2 思路分析思路分析 (1)利用x=cos ,y=sin 求解; (2)将直线C3的极坐标方程代入圆C2的极坐标方程,通过解方程求出|MN|的值,再结合圆C2的半径求 C2MN的面积. 方法总结方法总结 直角坐标方程与极坐标方
15、程的互化方法: 直角坐标方程极坐标方程 6.(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t0),其中0.在以O 为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=2cos . (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值. cos , sin xt yt 3 解析解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和. (2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0. 因此A的
16、极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2cos ,). 所以|AB|=|2sin -2cos |=4. 当=时,|AB|取得最大值,最大值为4. 3 22 22 -20, -2 30, xyy xyx 0, 0, x y 3 , 2 3 . 2 x y 3 3 , 22 3 3 sin- 3 5 6 思路分析思路分析 (1)由互化公式把曲线C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,联立方程求得交点的直角 坐标; (2)求出C1的极坐标方程,进而得点A,B的极坐标分别为(2sin ,),(2cos ,),从而得出|AB|=|2sin -2cos |,利用三角函数的相关知识可求其最大值. 3 3
17、解题关键解题关键 将|AB|表示成关于的函数是解第(2)问的关键. 7.(2013课标,23,10分)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin . (1)把C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C1与C2交点的极坐标(0,00时,=;当y0时,=0;当x0时,=.若x0 且y0,则先由直角坐标的符号特征判断点所在的象限,进而得极角的范围,再利用tan =求的 值. 22 xy 2 3 2 y x 考点考点2 2 参数方程参数方程 1.(2020课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为
18、参数).以坐标原点 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos -16sin +3=0. (1)当k=1时,C1是什么曲线? (2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标. cos , sin k k xt yt 解析解析 (1)当k=1时,C1:消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆. (2)当k=4时,C1:消去参数t得C1的普通方程为+=1.C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0. 由解得 故C1与C2的公共点的直角坐标为. cos , sin , xt yt 4 4 cos , sin , xt yt xy 1, 4 -16
19、30 xy xy 1 , 4 1 . 4 x y 1 1 , 4 4 2.(2020课标,22,10分)已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:(为参数),C2:(t为 参数). (1)将C1,C2的参数方程化为普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过 极点和P的圆的极坐标方程. 2 2 4cos, 4sin x y 1, 1 - xt t yt t 解析解析 (1)C1的普通方程为x+y=4(0 x4). 由C2的参数方程得x2=t2+2,y2=t2+-2, 所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4. (2)
20、由得所以P的直角坐标为. 设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0), 由题意得=+,解得x0=. 因此,所求圆的极坐标方程为=cos . 2 1 t 2 1 t 22 4, -4 xy x y 5 , 2 3 , 2 x y 5 3 , 2 2 2 0 x 2 0 5 - 2 x 9 4 17 10 17 5 3.(2019课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点 O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos +sin +11=0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值. 2 2 2 1- , 1
21、4 1 t x t t y t 3 解析解析 本题主要考查学生对椭圆的参数方程、直线的极坐标方程的掌握与运用,考查学生的运算 求解能力及化归与转化思想;考查的核心素养是数学运算. (1)因为-11,且x2+=+=1,所以C的直角坐标方程为x2+=1(x-1). l的直角坐标方程为2x+y+11=0. (2)由(1)可设C的参数方程为(为参数,-0).在以 坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. cos
22、 , 1sin xat yat 解析解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(3分) 将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(5分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 (6分) 若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0,解 得a=-1(舍去),或a=1.(8分) a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.(9分) 所以a=1.(10分) 22 -2
23、sin1-0, 4cos . a 1.(2019北京,3,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),则点(1,0)到直线l的距离是( ) A. B. C. D. 1 3 , 24 xt yt 1 5 2 5 4 5 6 5 以下为教师用书专用 答案答案 D 本题考查参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式. 由(t为参数)消去t得4x-3y+2=0, 则点(1,0)到直线l的距离为=,故选D. 1 3 , 24 xt yt 22 |4 1-3 02| 4(-3) 6 5 2.(2019天津,12,5分)设aR,直线ax-y+2=0和圆(为参数)相切,则a的值为 . 22cos , 12si
24、n x y 答案答案 3 4 解析解析 本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系,通过直线与圆相切的条件考查了数学运算和 数形结合的思想方法,体现了直观想象、数学运算的核心素养. 解法一:由圆的参数方程知圆心为(2,1),半径r=2,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半 径,即=2,解得a=. 22 |2 -12| (-1) a a 3 4 解法二:如图,由圆的参数方程消去,得普通方程为(x-2)2+(y-1)2=4,设圆心为C,圆与y轴切于点D,易 知直线过定点A(0,2),设CAD=,易求得tan =2,则a=-=-=. 1 tan(180?-2 ) 1 tan2 2 1-tan 2
25、tan 3 4 3.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆 C的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长. 1 1, 2 3 2 xt yt cos , 2sin x y 解析解析 椭圆C的普通方程为x2+=1. 将直线l的参数方程代入x2+=1,得 +=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-. 所以AB=|t1-t2|=. 2 4 y 1 1, 2 3 2 xt yt 2 4 y 2 1 1 2 t 2 3 2 4 t 16 7 16 7 4.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系x
26、Oy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线 C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值. -8, 2 xt t y 2 2, 2 2 xs ys 解析解析 解法一:直线l的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P在曲线C上,所以设P(2s2,2s), 从而点P到直线l的距离d=. 当s=时,dmin=.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取最小值. 解法二:直线l的普通方程为x-2y+8=0,曲线C是抛物线,方程为y2=4x.因为直线l与抛物线C不相交. 则C上点P到直线l的最短距离即为直线l到与l平行的抛物线C的切线l1的距离,设
27、l1的方程为x-2y+t= 0(t8). 由消去x,得y2-8y+4t=0.由=(-8)2-414t=0,解得t=4,此时切点为(4,4). 因此直线l到直线l1的距离d=, 故曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值为. 2 2 22 |2-4 28| 1(-2) ss 2 2( - 2)4 5 s 2 4 5 5 4 5 5 2 -20, 4 xyt yx 4 5 4 5 5 5.(2017课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数 方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程; (2)以坐
28、标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )-=0,M为l3与C的交点, 求M的极径. 2,xt ykt -2,xm m y k 2 解析解析 本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程. (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2). 设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y0). 所以C的普通方程为x2-y2=4(y0). (2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(02,). 联立得cos -sin =2(cos +sin ). 故tan =-,从而cos2=,sin2=. 代入2
29、(cos2-sin2)=4得2=5,所以交点M的极径为. 1 k ( -2), 1 (2). yk x yx k 222 (cos-sin)4, (cossin )- 20 1 3 9 10 1 10 5 思路分析思路分析 (1)由参数方程直接消去参数t、m、k,即得C的普通方程.(2)将C的直角坐标方程化为 极坐标方程,与直线l3的参数方程联立,从而求得点M的极径. 6.(2014课标,23,10分)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 2 4 x
30、 2 9 y2, 2-2 xt yt 解析解析 (1)曲线C的参数方程为(为参数). 直线l的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为 d=|4cos +3sin -6|.则|PA|=|5sin(+)-6|, 其中为锐角,且tan =. 当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为. 当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为. 2cos , 3sin x y 5 5sin30? d2 5 5 4 3 22 5 5 2 5 5 思路分析思路分析 (1)利用三角换元的方法求曲线C的参数方程,消去参数t得直线l的普通方程; (2)
31、利于曲线C的参数方程表示出P的直角坐标,由点到直线的距离公式及解直角三角形建立|PA|关 于的函数,利用三角函数的知识求最值. 7.(2014课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆C的极坐标方程为=2cos ,. (1)求C的参数方程; (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标. 0, 2 3 解析解析 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1). 可得C的参数方程为(t为参数,0t). (2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,
32、1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直, 所以直线GD与l的斜率相同,tan t=,t=. 故D的直角坐标为,即. 1cos , sin xt yt 3 3 1cos,sin 33 33 , 22 思路分析思路分析 (1)先把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,再求其参数方程. (2)利用曲线C的参数方程设出点D的直角坐标,由切线的性质求解. 失分警示失分警示 容易忽视参数的范围而产生增解的情形. 8.(2013课标,23,10分)已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2 (02),M为PQ的中点. (1)求M的轨迹的参数方程; (2)将M到坐标原点的距离d
33、表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点. 2cos , 2sin xt yt 解析解析 (1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2). M的轨迹的参数方程为 (为参数,02). (2)M点到坐标原点的距离d=(00,00,00),直线l的极坐标方程为sin=3,点P. (1)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程; (2)若直线l与曲线C2交于点A,曲线C1与曲线C2交于点B,求PAB的面积. 13cos , 3sin x y 3 6 6, 6 解析解析 (1)由题意知曲线C1的普通方程为(x-1)
34、2+y2=3,即x2+y2-2x-2=0,2-2cos -2=0,曲线C1的极 坐标方程为2-2cos -2=0.(2分) 直线l的极坐标方程为sin=3, 即sin +cos =6,(3分) 直线l的直角坐标方程为x+y-6=0.(5分) (2)设A,B,Asin=3, 解得A=3.(6分) 又-2Bcos-2=0,B=2(B=-1舍去),(7分) |AB|=3-2=1.(8分) 又点P到直线AB的距离为6sin=3,(9分) PAB的面积为13=.(10分) 6 3 3 , 3 A , 3 B 36 2 B 3 - 3 6 1 2 3 2 3.(2020陕西4月质检,22)在平面直角坐标系
35、xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原 点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2sin . (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (2)若射线=(0)与直线l和曲线C分别交于A,B两点,求|AB|的值. 8 , 2 4 2 x t t y t 4 解析解析 (1)由x=得x0,(1分) 将(t为参数)消去参数t, 得直线l的普通方程为x+y-4=0(x0).(2分) 由=2sin 得2=2sin ,(3分) 将y=sin ,2=x2+y2代入上式,得x2+y2-2y=0,(4分) 所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.(5分) (2
36、)由(1)可知直线l的普通方程为x+y-4=0(x0),(6分) 化为极坐标方程为cos +sin -4=0,(7分) 当=(0)时,设A,B两点的极坐标分别为,则A=2,(8分) B=2sin=,(9分) 所以|AB|=|A-B|=|2-|=.(10分) 8 2t 8 , 2 4 2 x t t y t 2 4 , 4 A , 4 B 2 4 2 222 思路分析思路分析 (1)将直线l的参数方程消参,即可得到直线的普通方程,要注意前后的等价性;将曲线C 的极坐标方程两边同乘,再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到曲线C的直角坐标方程; (2)先将直线l的直角坐标方程化为极坐标方程,再将射
37、线方程代入直线l和曲线C的极坐标方程中, 得出点A,B对应的极径,再根据极径的几何意义求得|AB|. 考点考点2 2 参数方程参数方程 1.(2020吉林三校第五次联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参 数,0,2),曲线C2的参数方程为(t为参数). (1)求曲线C1,C2的普通方程; (2)求曲线C1上一点P到曲线C2距离的取值范围. cos , 3sin x y 1 -2-, 2 3 2 xt yt 解析解析 本题主要考查参数方程与普通方程的互化,以及椭圆参数方程的应用,通过消参考查转化与 化归思想,考查的核心素养为数学运算、逻辑推理. 由(为参数),得两式平方
38、相加, 即可得C1的普通方程为x2+=1,(2分) (1)由(t为参数)消去参数,得C2的普通方程为y=-(x+2),即x+y+2=0.(4分) (2)设P(cos ,3sin ),则P到C2的距离d=,(6分) 0,2),当sin=1,即=时,dmax=2, 当sin=-1,即=时,dmin=0,(8分) 曲线C1上一点P到曲线C2距离的取值范围为0,2.(10分) cos , 3sin x y cos , sin , 3 x y 2 9 y 1 -2-, 2 3 2 xt yt 333 | 3cos3sin2 3| 2 2 3sin2 3 6 2 6 3 3 6 4 3 3 2.(2020
39、山西运城一模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),直线l 与曲线C:(y-2)2-x2=1交于A、B两点. (1)求|AB|; (2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点P的极坐标为,求点P到线段 AB中点M的距离. 3 -2, 5 4 2 5 xt yt 3 2 2, 4 解析解析 本题主要考查直线参数方程中参数的几何意义,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养 为数学运算、逻辑推理. (1)将直线l的参数方程(t为参数), 代入(y-2)2-x2=1得t2+t-5=0, 设A,B所对应的参数分别为t1,t2, 则t1+t2=-,t1t2=-,
40、|AB|=|t1-t2|=.(6分) (2)由P的极坐标为可得P点的直角坐标为(-2,2), 而线段AB中点M对应的参数为, P到AB中点M的距离为=.(10分) 3 -2, 5 4 2 5 xt yt 7 25 12 5 60 7 125 7 2 121 2 () -4ttt t 10 71 7 3 2 2, 4 12 2 tt 12 2 tt30 7 知识拓展知识拓展 经过点P(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数).若A,B为直线l 上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则有以下结论:(1)t0= ;(2)|PM|=|t0|=;
41、(3)|AB|=|t2-t1|;(4)|PA| |PB|=|t1t2|. 0 0 cos , sin xxt yyt 12 2 tt 12 | 2 tt 温馨提示温馨提示 利用直线的参数方程中参数的几何意义时,一定要注意直线参数方程是不是标准形式 (即参数t前的系数的平方和是不是1),若不是标准形式,则参数t不具有几何意义,就不能利用对应的 公式求解. 3.(2019四川蓉城名校联盟第二次联考,22)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半 轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为cos2=4sin ,倾斜角为 的直线l过平面直角坐标系中的点M(0,),且直线
42、l与曲线C相交于A,B两点. (1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程; (2)求-的值. 3 3 1 |MA 1 |MB 解析解析 (1)由cos2=4sin 得,2cos2=4sin , 又x=cos ,y=sin , 曲线C的直角坐标方程为x2=4y. 直线l的倾斜角为且过点M(0,), 直线l的参数方程为(t为参数). (2)将直线l的参数方程(t为参数)代入x2=4y, 得t2-8t-16=0,设点A对应的参数为t1,点B对应的参数为t2,则t1+t2=8,t1 t2=-160,即t1与t2异 号. -=-=. 3 3 1 , 2 3 3 2 xt yt 1 , 2 3 3
43、2 xt yt 3333 1 |MA 1 |MB 1 1 | | t 2 1 | |t 12 11 tt 12 1 2 tt t t 1 2 解答题(共40分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：10分钟 分值：40分) 1.(2020安徽合肥二模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数). 以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin=. (1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程; (2)若直线l与曲线C交于P,Q两点,M(2,0),求|MP|+|MQ|的值. 3cos -4sin , 129 cossin 55 x y
44、 3 3 解析解析 (1)将曲线C的参数方程(为参数)消去参数得,曲线C的普通方程为+ =1. sin=,cos +sin -2=0, 直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(5分) (2)由题意设直线l的参数方程为(t为参数), 将其代入曲线C的普通方程并化简得7t2-6t-63=0,设P,Q对应的参数分别为t1,t2,t1+t2=,t1t2=-9. M点在直线l上, |MP|+|MQ|=|t1-t2|=.(10分) 3cos -4sin , 129 cossin 55 x y 2 25 x 2 9 y 3 333 33 1 2-, 2 3 2 xt yt 6 7 2 121 2 () -4
45、ttt t 36 36 49 30 2 7 思路分析思路分析 (1)由=cos -sin ,=cos +sin 两边分别平方相加即可消去参数得到曲线 C的普通方程;把直线l的极坐标方程展开,再由极坐标与直角坐标的互化公式化成直角坐标方程即 可;(2)点M(2,0)恰好在直线l上,则以M(2,0)为直线的定点写出直线l的参数方程,然后代入曲线C的 普通方程,再利用参数t的几何意义求出结果. 5 x3 5 4 53 y4 5 3 5 2.(2020陕西咸阳一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l 的参数方程为(t为参数). (1)求曲线C的普通方程; (2)以坐标原点
46、O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,当曲线C截直线l所得线段的中点的极 坐标为时,求直线l的倾斜角. 2 3cos , 2sin x y 3cos , 1sin xt yt 2, 6 解析解析 本题主要考查参数方程与普通方程的互化,极坐标与直角坐标的互化,直线与圆锥曲线的位 置关系以及直线参数方程的应用,考查的核心素养为数学运算和逻辑推理. (1)由曲线C的参数方程(为参数),得则 曲线C的普通方程为+=1. (2)解法一:把极坐标化成直角坐标为(,1). 设直线l与曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则=,=1, -得+=0, 化简得=-=-=-, 即kl=-=tan , 2 3cos , 2sin x y cos, 2 3 sin, 2 x y 2 2 2 2 cos, 12 sin, 4 x y
