1、考点考点 二项式定理二项式定理 1.(2020课标,8,5分)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为( ) A.5 B.10 C.15 D.20 2 y x x 答案答案 C 本题考查二项式定理.要求(x+y)5的展开式中x3y3的系数,只要分别求出(x+y)5的 展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可,由二项式定理可得(x+y)5的展开式中x2y3的系数为=10,x4y 的系数为=5,故(x+y)5的展开式中x3y3的系数为10+5=15.故选C. 2 y x x 3 5 C 1 5 C 2 y x x 2.(2020北京,3,4分)在(-2)5的展开式中,x2的系数为( ) A.-5 B
2、.5 C.-10 D.10 x 答案答案 C (-2)5的展开式的通项是Tr+1=()5-r (-2)r=(-2)r ,令=2,解得r=1,因此x2的系数 为(-2)1=-10,故选C. x 5 Crx 5 Cr 5- 2 r x 5- 2 r 1 5 C 3.(2018课标,5,5分)的展开式中x4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 5 2 2 x x 答案答案 C 本题考查二项式定理. 的展开式的通项Tr+1=(x2)5-r (2x-1)r=2r x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22=40. 故选C. 5 2 2 x x 5 Cr 5 Cr 2
3、 5 C 4.(2019课标,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( ) A.12 B.16 C.20 D.24 答案答案 A 本题考查二项式定理的应用,通过求解二项展开式中指定项的系数考查学生对公式的 运用能力,考查了数学运算的核心素养. (1+x)4的展开式的通项为Tk+1=xk(k=0,1,2,3,4),故(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为+2=12. 故选A. 4 Ck 3 4 C 1 4 C 解题关键解题关键 熟记二项展开式的通项是解决本题的关键. 5.(2017课标,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( ) A.-80
4、B.-40 C.40 D.80 答案答案 C 本题考查二项式定理,求特定项的系数. (2x-y)5的展开式的通项为Tr+1= (2x)5-r (-y)r=(-1)r 25-r x5-ryr.其中含x2y3项的系数为(-1)3 22=-40,含 x3y2项的系数为(-1)2 23=80.于是(x+y) (2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40. 5 Cr 5 Cr 3 5 C 2 5 C 6.(2017课标,6,5分)(1+x)6展开式中x2的系数为 ( ) A.15 B.20 C.30 D.35 2 1 1 x 答案答案 C 对于(1+x)6,若要得到x2项,可以在中选取1,
5、此时(1+x)6中要选取含x2的项, 则系数为;当在中选取时,(1+x)6中要选取含x4的项,即系数为,所以,展开式中x2的系 数为+=30,故选C. 2 1 1 x 2 1 1 x 2 6 C 2 1 1 x 2 1 x 4 6 C 2 6 C 4 6 C 7.(2020课标,14,5分)的展开式中常数项是 (用数字作答). 6 2 2 x x 答案答案 240 解析解析 展开式的通项为Tr+1=(x2)6-r=2rx12-3r,令12-3r=0,解得r=4,故常数项为24=240. 6 Cr 2 r x 6 Cr 4 6 C 8.(2020浙江,12,6分)二项展开式(1+2x)5=a0+
6、a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4= ,a1+a3+a5= . 答案答案 80;122 解析解析 二项展开式的通项Tr+1=(2x)r= 2rxr,a4= 24=80;a1+a3+a5=2+23+25=10+80+ 32=122. 5 Cr 5 Cr 4 5 C 1 5 C 3 5 C 5 5 C 9.(2020天津,11,5分)在的展开式中,x2的系数是 . 5 2 2 x x 答案答案 10 解析解析 展开式的通项Tr+1=x5-r=2rx5-3r,令5-3r=2,r=1,T2=21x2=10 x2,x2的系数是 10. 5 Cr 2 2 r x 5 Cr 1 5 C
7、10.(2019浙江,13,6分)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数 是 . 2 答案答案 16;5 2 解析解析 本题主要考查二项展开式的通项公式的运用,通过通项公式的化简和运算确定特定项,以此 考查学生数学运算的能力,以及用方程思想解决求值问题的能力. (+x)9展开式的通项Tr+1=()9-rxr= xr(r=0,1,2,9), 令r=0,得常数项T1= x0=16, 要使系数为有理数,则只需Z,则r必为奇数, 满足条件的r有1,3,5,7,9,共五个, 故系数为有理数的项的个数是5. 2 9 Cr2 9 Cr 9- 2 2 r 0 9 C 9 2 2 9
8、2 22 9- 2 r 解后反思解后反思 二项式的展开式中特定项的确定需写出其通项公式,并化简整理,根据特定项的特点列 方程确定r的值,进而可求出特定项. 11.(2019天津,10,5分)的展开式中的常数项为 . 8 3 1 2 - 8 x x 答案答案 28 解析解析 本题考查二项展开式的通项,通过二项展开式中指定项的求解考查学生的运算能力,从而体 现了数学运算的核心素养. 展开式的通项Tk+1=(2x)8-k=(-1)k28-k 2-3k x8-4k=(-1)k 28-4k x8-4k,令8-4k=0,得k=2,即 T3=(-1)220=28,故常数项为28. 8 3 1 2 - 8 x
9、 x 8 Ck 3 1 - 8 k x 8 Ck 8 Ck 2 8 C 2 8 C 12.(2018天津,10,5分)在的展开式中,x2的系数为 . 5 1 - 2 x x 答案答案 5 2 解析解析 本题主要考查展开式中指定项的系数. 由题意得Tr+1=x5-r=, 令5-=2,得r=2,所以=. 故x2的系数为. 5 Cr 1 - 2 r x 1 - 2 r 5 Cr 3 5-2r x 3 2 r1 - 2 r 5 Cr 2 1 - 2 2 5 C 5 2 5 2 方法总结方法总结 求二项展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项Tr+1=an-rbr进行求解. C r n 13.(2
10、016课标,14,5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案) x 答案答案 10 解析解析 本题主要考查展开式中指定项的系数. Tr+1=(2x)5-r ()r=25-r ,令5-=3,得r=4,T5=10 x3,x3的系数为10. 5 Crx 5 Cr 5-2 r x 2 r 1.(2015课标,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 以下为教师用书专用 答案答案 C (x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展开式中只有(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为=30,故 选C. 2 5 C 2
11、 5 C 1 3 C 2.(2013课标,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二 项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案答案 B 由题意得:a=,b=,所以13=7,=,=13,解得 m=6,经检验为原方程的解,选B. 2 Cmm 21 Cmm 2 Cmm 21 Cmm 13 (2 )! ! m m m 7 (21)! ! (1)! m mm 7(21) 1 m m 思路分析思路分析 先表示出a,b,再利用13a=7b列方程,进而可求出m值. 3.(2013课标,5,5分)已知(1+a
12、x)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 答案答案 D 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1= xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式 中相应x2的系数为,当r=1时,相应x2的系数为 a,所以+ a=5,a=-1,故选D. 5 Cr 2 5 C 1 5 C 2 5 C 1 5 C 4.(2015课标,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 答案答案 3 解析解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其展开式的所有项的系数和为f(1)=(a+1) (1+1)4=
13、(a+1)16,展开式中 x的奇数次幂项的系数和为f(1)-f(-1),又f(-1)=0,(a+1)16=32,a=3. 1 2 1 2 5.(2018浙江,14,4分)的展开式的常数项是 . 8 3 1 2 x x 答案答案 7 解析解析 本题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算. 的展开式的通项Tk+1= x-k=,要使Tk+1为常数,则=0,k=2, 此时T3=7,故展开式的常数项为7. 8 3 1 2 x x 8 Ck 8- 3 k x 1 2 k 1 2k 8 Ck 8-4 3 k x 8-4 3 k 2 1 2 2 8 C 思路分析思路分析 (1)求出二项展开式的通项.(2)
14、令通项中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1. 6.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答) 答案答案 60 解析解析 本题考查展开式中指定项的系数. Tr+1= 16-r (-2x)r=(-2)r xr,令r=2, 得T3=(-2)2x2=60 x2.故x2的系数为60. 6 Cr 6 Cr 2 6 C 7.(2017山东,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= . 答案答案 4 解析解析 本题主要考查二项展开式. (1+3x)n的展开式的通项Tr+1=3rxr,含有x2项的系数为32=54,n=4.
15、Cr n 2 Cn 8.(2016天津,10,5分)的展开式中x7的系数为 .(用数字作答) 8 2 1 -x x 答案答案 -56 解析解析 本题主要考查展开式中指定项的系数. Tr+1=x16-2r(-x)-r=(-1)-rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3=-56. 8 Cr 8 Cr 3 8 C 易错警示易错警示 本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意. 9.(2016山东,12,5分)若的展开式中x5的系数是-80,则实数a= . 5 2 1 ax x 答案答案 -2 解析解析 本题主要考查展开式中指定项的系数. Tr+1=a
16、5-r,令10-r=5,解得r=2,所以a3=-80,所以a=-2. 5 Cr 5 10-2r x 5 2 2 5 C 10.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= . 答案答案 16;4 解析解析 本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力. 设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2. 则a4=b2c2+b3c1=1222+132=16, a5=b3c2=1322=4. 2 3 C 1 2 C 考点考点 二项式定理二项式定理 A A组组 考点
17、基础题组考点基础题组 1.(2020安徽江南十校质量检测,5)若(1+ax)(1+x)5的展开式中x2,x3的系数之和为-10,则实数a的值为 ( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.1 答案答案 B 由(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax(1+x)5,得x2的系数为+a=5a+10,x3的系数为+a=10a+1 0,又由展开式中x2,x3的系数之和为(5a+10)+(10a+10)=15a+20=-10,解得a=-2.故选B. 2 5 C 1 5 C 3 5 C 2 5 C 2.(2019安徽蚌埠二模,6)设aR,若与的展开式中的常数项相等,则a=( ) A.4 B.-4 C.2
18、D.-2 9 2 2 x x 9 2 a x x 答案答案 A 的展开式的通项为Tk+1=(x2)9-k=x18-2k 2kx-k= 2kx18-3k,由18-3k=0得k=6,即 常数项为T6+1= 26=8464.的展开式的通项为Tr+1=x9-r=x9-r arx-2r= arx9-3r,由9-3r= 0得r=3,即常数项为T3+1= a3=84a3.两个展开式中的常数项相等,84a3=8464,a3=64,即a=4,故 选A. 9 2 2 x x 9 Ck 2 k x 9 Ck 9 Ck 6 9 C 9 2 a x x 9 Cr 2 r a x 9 Cr 9 Cr 3 9 C 3.(2
19、019江西上饶二模,7)多项式的展开式中各项系数的和为3,则该展开式中x3的系 数是( ) A.-184 B.-84 C.-40 D.320 3 a x x 6 2 -x x 答案答案 A 令x=1,可得(a+1)1=3,a=2,多项式为= (x6-12x4+60 x2-160+240 x-2-192x-4+64x-6),故它的展开式中x3的系数为2(-12)+(-160)=-184,故选A. 3 2 x x 6 2 -x x 3 2 x x 4.(2020江西南昌模拟,13)的展开式中的常数项为 . 6 1 2-x x 答案答案 240 解析解析 本题考查了二项展开式求指定项系数问题,体现了
20、数学运算的核心素养. 的展开式的通项为Tr+1=(2)6-r=(-1)r26-r,令=0,得r=2,得常数项为240. 6 1 2-x x 6 Crx 1 - r x 6 Cr 6-3 2 r x 6-3 2 r 5.(2020天一大联考,13)的展开式中,含x4项的系数为 . 5 2 1 2x x 答案答案 80 解析解析 本题考查二项式定理,考查数学运算能力. 的通项为Tr+1=(2x2)5-r=25-rx10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以含x4项的系数为25-2=80. 5 2 1 2x x 5 Cr 1 r x 5 Cr 2 5 C 选择题(每小题5分,共35分) B B组组
21、 专题综合题组专题综合题组 (时间：20分钟 分值：45分) 1.(2020河南部分重点高中联考,9)已知(3x-1)n展开式的第5项的二项式系数最大,且n为偶数,则(3x- 1)n展开式中x2的系数为( ) A.-252 B.252 C.-28 D.28 答案答案 B 由题意可得n=8,则(3x-1)8的展开式的通项是Tr+1=(3x)8-r (-1)r,令8-r=2,解得r=6,则展开 式中x2的系数为32=252. 8 Cr 6 8 C 2.(2020吉林梅河口五中模拟,10)在的展开式中,常数项为( ) A.12 B.11 C.-11 D.-12 4 2 1 -1x x 答案答案 C
22、的通项为Tk+1=(-1)4-k,要求常数项,需求(k=0,1,2,3,4)的展开 式中的常数项,的展开式的通项为Tr+1= xk-r x-2r= xk-3r,令k-3r=0k=3r,即k是3的倍数,所 以k=0或3.当k=0时,(-1)4-0=1;当k=3时,r=1, (-1)4-3=-12,所以原式展开后的常数项为1+(-12)= -11,故选C. 4 2 1 -1x x 4 Ck 2 1 k x x 2 1 k x x 2 1 k x x Cr k Cr k 0 4 C 3 4 C 1 3 C 3.(2020江西南昌四校联考,5)(2x-1)(2-2x)5的展开式中含8x的项的系数为(
23、) A.120 B.80 C.60 D.40 答案答案 A 本题主要考查了二项展开式求指定项系数问题,体现了数学运算的核心素养. (2x-1)(2-2x)5的展开式中含8x的项为2x23(-2x)2+(-1)22(-2x)3=1208x.故含8x的项的系数为 120. 2 5 C 3 5 C 4.(2019贵州凯里中学4月月考,5)如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的 系数是( ) A.7 B.-7 C.21 D.-21 23 1 3 - n x x 3 1 x 答案答案 C 令x=1,得展开式的各项系数和为2n,所以2n=128,解得n=7,所以展开式的通项 为Tr+1=(-1)
24、r 37-r,令7-=-3,解得r=6,所以展开式中的系数为3=21,故选C. 7 23 1 3 -x x 7 Cr 5 7-3r x 5 3 r 3 1 x 6 7 C 5.(2019豫南九校第三次模拟,7)设a=sin xdx,则的展开式中的常数项为( ) A.560 B.1 120 C.2 240 D.4 480 0 8 a x x 答案答案 B a=sin xdx=-cos x=2,则=的展开式的通项为Tr+1= 2r x8-2r,令8-2r=0,得 r=4,可得展开式中的常数项为16=1 120,故选B. 0 0 | 8 a x x 8 2 x x 8 Cr 4 8 C 6.(201
25、8安徽马鞍山二模,10)的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x的 指数为整数的项的个数为( ) A.3 B.5 C.6 D.7 3 1 3 n x x 答案答案 D 根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大,得n=20,的展 开式的通项为Tr+1= (x)20-r=()20-r,要使x的指数是整数,需r是3的倍数, r=0,3,6,9,12,15,18, x的指数是整数的项共有7项.故选D. 3 1 3 n x x 3 1 3 n x x 20 Cr3 3 1 r x 3 20 Cr 4 20- 3 r x 思路分析思路分析 根据展开式中中间项的二项式系数最大求出n的值,再利用
26、展开式的通项求得x的指数 是整数的项数. 7.(2019四川广元质检一,9)如果(+2x)11=a0+a1x+a2x2+a11x11,那么(a1+a3+a5+a11)2-(a0+a2+a4+ +a10)2的值是( ) A.-1 B.0 C.3 D.1 3 答案答案 D 令x=1,得a0+a1+a2+a11=(+2)11, 令x=-1,得a0-a1+a2-a11=(-2)11, 两式相加,得a0+a2+a4+a10=, 两式相减,得a1+a3+a5+a11 =, 所以(a1+a3+a5+a11)2-(a0+a2+a4+a10)2=-=1. 3 3 1111 ( 32)( 3-2) 2 1111
27、( 32) -( 3-2) 2 2 1111 ( 32) -( 3-2) 2 2 1111 ( 32)( 3-2) 2 1.(2020 5 3原创题)已知-(2-x)+(2-x)2-(2-x)3+(2-x)100=a0+a1x+a2x2+a100 x100,则a1+a2 +a3+a99的值是( ) A.-1 B.-2 C.299-1 D. 1 100 C 2 100 C 3 100 C 100 100 C 99 2 -1 2 答案答案 B 记f(x)=1-(2-x)+(2-x)2-(2-x)3+(2-x)100-1=1-(2-x)100-1=(x-1)100-1, 即(x-1)100-1=a0
28、+a1x+a2x2+a100 x100, 令x=1,得a0+a1+a2+a100=-1. 令x=0,得a0=0,又易知a100=1,所以a1+a2+a3+a99=-2. 1 100 C 2 100 C 3 100 C 100 100 C 命题说明命题说明 本题以二项展开式的通项公式的应用和二项式各项系数的和为考查背景,考查二项式 定理的逆用、变形用、系数和等知识,涉及“赋值法”,考查逻辑推理、数学抽象、数学运算的核 心素养. 解后反思解后反思 从“项数”“系数”“指数”把握二项式定理,是本题逆用二项式定理的基础,掌握基 本“赋值法”是解题的关键. 2.(2020 5 3原创题)记f(x)=(1
29、+x)2 020+x(1+x)2 019+x1 010 (1+x)1 010,则f(x)的展开式中x1 010的系数是 ( ) A. B. C. D. 1 010 2 020 C 1 011 2 019 C 1 011 2 021 C 1 011 2 020 C 答案答案 C 由二项式定理易知x1 010的系数是 + =+ =+ =+ =+=+=. 1 010 2 020 C 1 009 2 019 C 1 008 2 018 C 0 1 010 C 1 010 2 020 C 1 010 2 019 C 1 010 2 018 C 1 010 1 011 C 1 010 1 010 C 1
30、011 1 011 C 1 010 1 011 C 1 010 1 012 C 1 010 2 019 C 1 010 2 020 C 1 011 1 012 C 1 010 1 012 C 1 010 1 013 C 1 010 2 019 C 1 010 2 020 C 1 011 1 013 C 1 010 1 013 C 1 010 2 019 C 1 010 2 020 C 1 011 2 020 C 1 010 2 020 C 1 011 2 021 C 命题说明命题说明 本题通过求二项展开式指定项的系数,考查组合数公式、二项式定理的灵活应用、二 项式系数的性质等,考查学生的逻辑思
31、维能力、运算能力. 解后反思解后反思 灵活利用二项式系数的性质是快速准确解题的关键,如果知道结论+ +=可快速解题. Cn n1 Cn n2 Cn n -1 Cn n k Cn n k 1 1 Cn n k 3.(2020 5 3原创题)记(x+1)5+x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a10(x-1)10,则a3的值是 . 答案答案 160 解析解析 令t=x-1,则x=t+1,x+1=t+2,故(t+2)5+(t+1)10=a0+a1t+a2t2+a10t10,a3即为该展开式中t3的系数,所 以a3=22+17=160. 2 5 C 7 10 C 命题说明命题说明 本题是一
32、个典型的求展开式特定项系数的问题.解决本题的关键在于将等式右侧的x- 1进行整体代换,转化成我们所熟知的形式. 4.(2020 5 3原创题)若(1+2 020 x)2 020=a0+a1x+a2x2+a2 020 x2 020,则+ = . 1 2 020 a 2 2 2 2 020 a 3 3 3 2 020 a 1 010 1 010 1 010 2 020 a 答案答案 2 02022 018 解析解析 因为=n=2 020, 所以+ =2 020(+) =2 020=2 02022 018. 2 020 n n na 2 020 2 020 C 2 020 nn n n 2 020 Cn -1 2 019 Cn 1 2 020 a 2 2 2 2 020 a 3 3 3 2 020 a 1 010 1 010 1 010 2 020 a 0 2 019 C 1 2 019 C 1 009 2 019 C 2 019 2 2
