1、考点考点1 1 等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和 1.(2020课标,6,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=( ) A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 n n S a 答案 B 设等比数列an的公比为q,则=q=2,=2-21-n.故选B. 64 53 - - a a a a 53 53 - - aq aq a a 24 12 n n S a 1 -1 1 (1-2 ) 1-2 2 n n a a 2.(2019课标,6,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=
2、( ) A.16 B.8 C.4 D.2 答案答案 C 设等比数列an的公比为q(q0),则由前4项和为15,且a5=3a3+4a1,有 a3=q2=4,故选C. 23 1111 42 111 15, 34 , aa qa qa q a qa qa 1 1, 2, a q 3.(2018北京,5,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比 例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三 个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单 音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.f B
3、.f C.f D.f 12 2 3 2 23 2 512 2 712 2 答案答案 D 本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用. 由题意知,十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列,设该等比数列为an,则a8=a1q7,即 a8=f,故选D. 12 2 712 2 4.(2019课标,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=,则S4= . 3 4 答案答案 5 8 解析解析 本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运 算. 设公比为q(q0), 则S3=a1+a2+a3=1+q+q2=,解得q=-, a4=a1q
4、3=-, S4=S3+a4=-=. 3 4 1 2 3 4 1 8 5 8 5.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8= . 7 4 63 4 答案答案 32 解析解析 设等比数列an的公比为q. 当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意, q1,由题设可得 解得a8=a1q7=27=32. 3 1 6 1 (1-)7 , 1-4 (1-)63 , 1-4 aq q aq q 1 1 , 4 2, a q 1 4 6.(2020课标,17,12分)设等比数列an满足a1+a2=4,a3-a1=8. (1)求an的通项
5、公式; (2)记Sn为数列log3an的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m. 解析解析 (1)设an的公比为q,则an=a1qn-1. 由已知得解得a1=1,q=3. 所以an的通项公式为an=3n-1. (2)由(1)知log3an=n-1.故Sn=. 由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2), 即m2-5m-6=0.解得m=-1(舍去)或m=6. 11 2 11 4, -8. aa q a q a ( -1) 2 n n 7.(2020新高考,18,12分)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8. (1)求an的通项公式; (
6、2)(新高考)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100. (新高考)求a1a2-a2a3+(-1)n-1anan+1. 解析解析 (1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q1=(舍去),q2=2.由题设得a1=2. 所以an的通项公式为an=2n. (2)(新高考)由题设及(1)知b1=0,且当2nm1,则( ) A.a1a3,a2a3,a2a4 C.a1a4 D.a1a3,a2a4 以下为教师用书专用 答案答案 B 解法一:因为ln xx-1(x0), 所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)a1+a2+
7、a3-1, 所以a4-1,又a11,所以等比数列的公比q1,所以ln(a1+a2+a3)0, 与ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a40矛盾, 所以-1q0,a2-a4=a1q(1-q2)a3,a21,所以等比数列的公比q1,所以ln(a1+a2+a3)0与ln(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a40矛盾, 所以-1q0,a2-a4=a1q(1-q2)a3,a20,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当 排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 . 答案答案 9 解析解析 依题意有a,b是方程x2-px+q=0的两根, 则a+b=p,ab=q,
8、 由p0,q0可知a0,b0. 由题意可知ab=(-2)2=4=q,a-2=2b或b-2=2a, 将a-2=2b代入ab=4可解得a=4,b=1, 此时a+b=5,将b-2=2a代入ab=4可解得a=1,b=4, 此时a+b=5,则p=5,q=4,故p+q=9. 3.(2016四川,19,12分)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*. (1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列an的通项公式; (2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=2,求+. 2 2 n y a 2 1 e 2 2 e 2 n e 解析解析 (1)由已知,Sn
9、+1=qSn+1,得Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan对所有n1都成立. 所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列. 从而an=qn-1. 由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3, 所以a3=2a2,故q=2.所以an=2n-1(nN*). (2)由(1)可知,an=qn-1. 所以双曲线x2-=1的离心率en=. 由e2=2解得q=. 所以,+ =(1+1)+(1+q2)+1+q2(n-1)=n+1+q2+q2(n-1)=n+=n+(3n-1). 2 2 n y a 2
10、1 n a 2( -1) 1 n q 2 1q3 2 1 e 2 2 e 2 n e 2 2 -1 -1 n q q 1 2 考点考点1 1 等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020甘肃陇南二诊,4)设等比数列an的前6项和为6,且a1=a,a2=2a,则a=( ) A. B. C. D. 2 21 1 7 4 21 5 21 答案答案 A 等比数列an的前6项和为6,且a1=a,a2=2a, 由题意得S6=63a1=6,解得a=a1=.故选A. 6 1(1-2 ) 1-2 a2 21 2.(2018四川成都外国语学校月考,4)数列an中
11、,“=an-1an+1对任意n2且nN*都成立”是“an 是等比数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 n a 答案答案 A 由an为等比数列能推出=an-1 an+1,当an=an-1=an+1=0时,尽管满足=an-1 an+1,但an不为 等比数列,故“=an-1an+1对任意n2且nN*都成立”是“an是等比数列”的必要不充分条件, 故选A. 2 n a 2 n a 2 n a 3.(2019黑龙江齐齐哈尔一模,6)在公比为整数的等比数列an中,a2-a3=-2,a1+a3=,则an的前4项 和为( ) A. B. C. D.
12、 10 3 40 3 44 3 23 2 25 2 答案答案 A 设等比数列an的公比为q, 因为a2-a3=-2,a1+a3=,所以两式相除得2q2-5q-3=0, 又公比q为整数,所以q=3,a1=,S4=,故选A. 10 3 2 11 2 11 -2, 10 , 3 a q a q aa q 1 3 4 1(1- ) 1- aq q 1 (1-81) 3 1-3 40 3 4.(2020内蒙古呼和浩特一模,14)在一次电子邮件传播病毒的事例中,已知第一轮感染的计算机是6 台,并且从第一轮开始,以后各轮的每一台计算机都会感染下一轮的10台,那么到第6轮后,被感染的 计算机的台数为 (用数字
13、作答). 答案答案 666 666 解析解析 设每轮被感染的计算机的台数构成数列an,由题知an是等比数列,首项a1=6,公比q=10,所 以其前六项之和为T6=666 666. 故第6轮后,感染了666 666台. 6 6(1-10 ) 1-10 5.(2020江西九江十校4月模拟,14)在等比数列an中,a1+a2=1,a4+a5=27,则an的前5项和为 . 答案答案 121 4 解析解析 设等比数列an的公比为q,等比数列an中,a1+a2=1,a4+a5=(a1+a2) q3=27,q=3,a1+a2=a1 +a1q=1,a1=,则an的前5项和为=. 1 4 5 1 (1-3 )
14、4 1-3 121 4 6.(2019陕西第二次质量检测,15)公比为的等比数列an的各项都是正数,且a2a12=16,则log2a15= . 2 答案答案 6 解析解析 等比数列an的各项都是正数,且公比为,a2a12=16,所以a1qa1q11=16,即q12=16,所以a1q6=2 2,所以a 15=a1q 14=a 1q 6(q2)4=26,则log 2a15=log22 6=6. 2 2 1 a 考点考点2 2 等比数列的性质等比数列的性质 1.(2020四川泸县第四中学第一次在线月考,5)设an是等比数列,则“a1a2a3”是“数列an是递 增数列”的( ) A.充分而不必要条件
15、B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案答案 C 设等比数列an的公比为q.因为a1a2a3a1a1qa1q2或所以数列an 是递增数列,若数列an是递增数列,则a1a2a3,因此“a1a20,a2+a3=4,a3 +3a4=2,则S3=( ) A. B.12 C. D.13 28 3 38 3 答案答案 D 设等比数列an的公比为q.数列an是等比数列,Sn是其前n项和,an0,a2+a3=4,a3+3a4= 2, 解得a1=9,q=,S3=13.故选D. 2 11 23 11 4, 32, 0, a qa q a qa q q 1 3 3 1 9 1- 3 1
16、 1- 3 2.(2020陕西铜川二模,3)设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3=( ) A.12 B.23 C.34 D.13 答案答案 C an为等比数列,则S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,由S6S3=12,令S3=x(x0),则S6=x, 则S3(S6-S3)=(S6-S3)(S9-S6)=-21,则S9-S6=x,则S9=x,则S9S3=xx=34.故选C. 1 2 1 4 3 4 3 4 方法总结方法总结 若an为等差数列,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等差数列;若an为等比数列,则Sm,S2m-Sm,S3m -S2m,也成等比数列(其中
17、Sm不为零).这是等差数列与等比数列的重要性质,要熟练掌握. 3.(2020辽宁沈阳东北育才中学模拟,11)一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用, 从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄a元一年定期,若年利率为r保持不变,且每年到期时存款 (含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取 回的钱的总数为( ) A.a(1+r)17 B.(1+r)17-(1+r) C.a(1+r)18 D.(1+r)18-(1+r) a r a r 答案答案 D 根据题意,当孩子18岁生日时,孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r) 17元
18、, 孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)16元, 孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)元,故所有存款可以看成是以a(1+r)为首 项,(1+r)为公比的等比数列的前17项的和, 此时将存款(含利息)全部取回, 则取回的钱的总数S=a(1+r)17+a(1+r)16+a(1+r)=(1+r)18-(1+r).故选D. 17 (1)(1) -1 1-1 arr r a r 4.(2019宁夏中卫一模,7)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关, 初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意 为
19、:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走 了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( ) A.24里 B.12里 C.6里 D.3里 答案答案 C 记每天走的路程里数构成数列an,可知an是公比q=的等比数列, 由S6=378,得S6=378,解得a1=192, a6=192=6,故选C. 1 2 16 1 1- 2 1 1- 2 a 5 1 2 5.(2018四川“联测促改”活动,9)已知等比数列an中,a1=1,a4=,且a1a2+a2a3+anan+1k,则k的取 值范围是( ) A. B. C. D. 1 8 1 2 , 2 3 1
20、 , 2 1 2 , 2 3 2 , 3 答案答案 D 设等比数列an的公比为q,则q3=,解得q=,an=,anan+1=, 数列anan+1是首项为,公比为的等比数列, a1a2+a2a3+anan+1=1, 由a2=9,S3=39,可得+9+9q=39,解得q=3或(舍去),则数列an的通项公式为an=a2qn-2=9 3n-2=3n. (2)bn=(2n-1), Tn=1+3+5+(2n-1), Tn=1+3+5+(2n-1), 两式相减可得Tn=+2+-(2n-1)=+2-(2n-1), 化简可得Tn=1-(n+1). 9 q 1 3 2 -1 n n a 1 3 n 1 3 2 1
21、 3 3 1 3 1 3 n 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 1 1 3 n 2 3 1 3 2 1 3 3 1 3 1 3 n 1 1 3 n 1 3 -1 11 1- 93 1 1- 3 n 1 1 3 n 1 3 n 1.(2020 5 3原创题)等比数列an中,a3a7a15=6,a8=3,则a9= ( ) A. B. C.2 D.12 3 2 答案答案 A 解法一:设an的公比为q, 由得 由得q=,故a9=a8q=. 解法二:注意到3+7+15=25=8+8+9, 根据等比数列性质可知a3a7a15=a9=6, 故a9=. 3715 8 6, 3, a a a a 32
22、2 1 7 1 6, 3, a q a q 2 9 2 3 2 8 a 2 8 6 a 2 3 2 3 2.(2020 5 3原创题)数列an满足a1=7,且当n2时,总有an=an-1+成立(其中,为常数). (1)试写出,满足的关系式,使得数列an-3是等比数列; (2)记bn=,Sn为数列bn的前n项和,若=2,=-3,不等式SnK恒成立,求K的取值 范围. 222 3 log (-3) log (-3) nn aa 解析解析 (1)由题意知,对任意n2,an=an-1+, 若an-3是等比数列,则必存在q0,对任意n2,有an-3=q(an-1-3), 整理得an=qan-1+3-3q
23、, 由得 消去q,得3+=3(1且0). (2)显然=2,=-3满足(1)中求得的关系式, 此时an-3是以7-3=4为首项,2为公比的等比数列, 故an-3=42n-1,an=2n+1+3,则bn=, 因此Sn=b1+b2+bn=+=+-=- , 显然Sn是递增数列,因此,当nN*时,Sn,因为SnK恒成立,故K. , 3-3 , q q 13 22 3 log 2log 2 nn 3 (1)(3)nn 3 2 2 (1)(3)nn 3 2 11 - 13nn 3 2 1 1 - 2 4 1 1 - 3 5 11 - 13nn 3 2 1 2 1 3 1 2n 1 3n 5 4 3 2(2)n 3 2(3)n 3 5 , 8 4 5 4 命题说明命题说明 本题重点考查等比数列的定义、裂项相消求和以及不等式恒成立问题.本题第(1)问是 第(2)问的铺垫.完成本题的训练,有助于提高学生数学抽象、数学运算的核心素养,并深化学生对 等比数列定义的认识.
