1、考点考点1 1 椭圆的定义和标准方程椭圆的定义和标准方程 1.(2019课标,12,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2| F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2 2 x 2 3 x 2 2 y 2 4 x 2 3 y 2 5 x 2 4 y 答案答案 B 本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用,考查学生的运算求解能力,考 查了方程的思想方法,体现的核心素养是数学运算. 设|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x, |BF1|=3
2、x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x, 由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x, 所以|AF1|=2x. 在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B| |F1F2|cosBF2F1,即9x2=x2+22-4x cosBF2F1, 在AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2| |F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22+8x cosBF2 F1, 由得x=,所以2a=4x=2,a=,所以b2=a2-c2=2. 所以椭圆的方程为+=1.故选B. 3 2 33 2 3 x 2
3、2 y 思路分析思路分析 由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值,而b2=a2-1,故可 得椭圆的方程. 2.(2019课标,15,5分)设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1 F2为等腰三角形,则M的坐标为 . 2 36 x 2 20 y 答案答案 (3,) 15 解析解析 本题考查了椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合的思想方法; 考查了数学运算的核心素养. 不妨设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,由M点在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2|,又 由椭圆方程+=1,知|F1F2|=8
4、,|F1M|+|F2M|=26=12, 所以|F1M|=|F1F2|=8,所以|F2M|=4. 设M(x0,y0)(x00,y00), 则解得x0=3,y0=,即M(3,). 2 36 x 2 20 y 22 00 22 00 (4)64, (-4)16, xy xy 1515 一题多解一题多解 依题意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cosMF1F2=, 则tanMF1F2=. 所以直线MF1的方程为y-0=(x+4). 设M(6cos ,2sin ), 因为M点在直线MF1上, 所以2sin =(6cos +4), 结合sin2+cos2=1且sin 0,cos 0得cos
5、=,sin =,即M点的坐标为(3,). 222 88 -4 2 8 8 7 8 15 7 15 7 5 5 15 7 1 2 3 2 15 温馨提示温馨提示 在处理椭圆上的点到焦点的距离时可采用以下公式直接处理 :已知F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P(x0,y0)在椭圆上,则有|PF1|=a+ ex0,|PF2|=a-ex0(焦半径公式). 22 22 :1 xy C ab 以椭圆为例 3.(2019浙江,15,4分)已知椭圆+=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中 点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是 . 2 9 x 2 5 y 答案答
6、案 15 解析解析 如图,记椭圆的右焦点为F,取PF中点为M, 由题知a=3,b=,c=2,连接OM,PF, 则|OM|=|OF|=2,又M为PF的中点, |PF|=2|OM|,PFOM,|PF|=4, 又P在椭圆上,|PF|+|PF|=6,|PF|=2, 在PFF中,|PF|=|FF|=4,|PF|=2,连接FM, 则FMPF,|FM|=, kPF=tanPFF=. 即直线PF的斜率为. 5 22 | -|FFFM16-115 | | | FM FM 15 15 一题多解一题多解 易知F(-2,0),设P(3cos ,sin ),设PF的中点为M,则M,|OM|=|OF|= 2, +=4,9
7、cos2-12cos +4+5sin2=16,又sin2=1-cos2,4cos2-12cos -7=0, 解得cos =-,sin2=,又P在x轴上方,sin =, P,kPF=,故答案为. 5 3cos -25sin , 22 2 3cos -2 2 2 5sin 2 1 2 3 4 3 2 315 -, 22 1515 4.(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m1)上两点A,B满足=2,则当m= 时, 点B横坐标的绝对值最大. 2 4 x APPB 答案答案 5 解析解析 本题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数的最值. 设B(t,u),由=2,易得A
8、(-2t,3-2u). 点A,B都在椭圆上, 从而有+3u2-12u+9=0,即+u2=4u-3. 即有4u-3=mu=,+=m, t2=-m2+m-=-(m-5)2+4. 当m=5时,(t2)max=4,即|t|max=2, 即当m=5时,点B横坐标的绝对值最大. APPB 2 2 2 2 , 4 4 (3-2 ), 4 t um t um 2 3 4 t 2 4 t 3 4 m 2 4 t 2 (3) 16 m 1 4 5 2 9 4 1 4 思路分析思路分析 (1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标. (2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式.
9、(3)利用(2)中的关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的二次函数. (4)利用二次函数的最值得结论. 5.(2020课标,21,12分)已知椭圆C:+=1(0m0,由题意知yP0. 由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5), 所以|BP|=yP,|BQ|=. 因为|BP|=|BQ|, 所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3. 由直线BP的方程得yQ=2或8. 所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8). |P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,故AP1
10、Q1的面积为 =. |P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=x+,点A到直线P2Q2的距离为,故AP2Q2的面积为 =. 综上,APQ的面积为. 2 25- 5 m15 4 25 16 2 25 x 2 25 16 y 1 Q y 2 1 Q y 2 1 Q y 10 1 3 10 2 1 2 10 2 10 5 2 130 7 9 10 3 130 26 1 2 130 26 130 5 2 5 2 6.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的焦点为F1(-1,0),F2 (1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2
11、+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延 长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求点E的坐标. 2 2 x a 2 2 y b 5 2 解析解析 (1)设椭圆C的焦距为2c. 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1. 又因为DF1=,AF2x轴,所以DF2=. 因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2. 由b2=a2-c2,得b2=3. 因此,椭圆C的标准方程为+=1. (2)解法一:由(1)知,椭圆C:+=1,a=2. 因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1. 将x=1代入圆F2的方程(
12、x-1)2+y2=16,解得y=4. 因为点A在x轴上方,所以A(1,4). 又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2. 由得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-. 将x=-代入y=2x+2,得y=-.因此B. 5 2 22 112 -DFFF 2 2 5 -2 2 3 2 2 4 x 2 3 y 2 4 x 2 3 y 22 22, ( -1)16, yx xy 11 5 11 5 12 5 11 12 -,- 55 又F2(1,0),所以直线BF2:y=(x-1). 由得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=. 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1. 将x=-1
13、代入y=(x-1),得y=-. 因此E. 解法二:由(1)知,椭圆C:+=1. 如图,连接EF1. 3 4 22 3 ( -1), 4 1, 43 yx xy 13 7 3 4 3 2 3 -1,- 2 2 4 x 2 3 y 因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB, 从而BF1E=B. 因为F2A=F2B,所以A=B. 所以A=BF1E,从而EF1F2A. 因为AF2x轴,所以EF1x轴. 因为F1(-1,0),由解得y=. 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-. 因此E. 22 -1, 1, 43 x xy 3 2 3 2 3 -1,- 2 7.(2017天津,2
14、0,14分)已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c), EFA的面积为. (1)求椭圆的离心率; (2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM与 直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. (i)求直线FP的斜率; (ii)求椭圆的方程. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 b 3 2 解析解析 (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=. 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 又因为0e0),则直线FP的斜率为. 由(1)知a=2
15、c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=, y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3 m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为. (ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1. 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0, 解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ |=-=c. 1 2 2 2 b 1 2 1 2 1 m 2 x c y c (2 -2) 2 mc m 3 2 c m (2 -2)3
16、 , 22 mcc mm 3 2 2 (2 -2) 2 mc c m 2 3 2 c m 2 3 2 c 4 3 3 4 3 2 2 4 x c 2 2 3 y c 22 22 3 -430, 1, 43 xyc xy cc 13 7 c3 , 2 c c 2 2 3 () 2 c cc 5 2 c 5 2 c3 2 c 由已知,知线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP. 因为QNFP,所以|QN|=|FQ| tanQFN=,所以FQN的面积为|FQ|QN|=,同理 FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c
17、0,得c=2. 所以椭圆的方程为+=1. 3 2 c3 4 9 8 c1 2 2 27 32 c 2 75 32 c 2 75 32 c 2 27 32 c 2 16 x 2 12 y 方法总结方法总结 1.求椭圆离心率常用的方法:(1)直接求a,c,利用定义求解;(2)构造关于a,b,c的齐次等式, 结合b2=a2-c2消去b,化为关于a,c的齐次方程,从而利用方程思想求出离心率e的值. 2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k=(x1x2),其中两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2);(2)利用导数 的几何意义求解;(3)直线的方向向量a=(m,n),则k=(m0);(4)点差法.
18、 12 12 - - y y x x n m 3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用. 8.(2018天津,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,| AB|=. (1)求椭圆的方程; (2)设直线l:y=kx(kx10,点Q的坐标为(-x1,-y1).由BPM的面积 是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1. 易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去 y,可得x1=. 由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2
19、+25k+8=0,解得k=-或k=-. 当k=-时,x2=-9b0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的 直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为( ) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 2 2 x a 2 2 y b 3 3 3 2 3 x 2 2 y 2 3 x 2 12 x 2 8 y 2 12 x 2 4 y 以下为教师用书专用 答案答案 A 由椭圆的定义可知AF1B的周长为4a, 所以4a=4,故a=, 又由e=得c=1, 所以b2=a2-c2=2, 则C的方程为+=1,故选A. 33 c a 3 3 2 3 x 2 2 y 2.(2017
20、江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂 线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2. (1)求椭圆E的标准方程; (2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标. 2 2 x a 2 2 y b 1 2 解析解析 本题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知 识,考查分析问题能力和运算求解能力. (1)设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=,=8,解得a=2,c=1,于
21、是b=, 因此椭圆E的标准方程是+=1. (2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0). 设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x00,y00. 当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符. 当x01时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为. 因为l1PF1,l2PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-, 从而直线l1的方程:y=-(x+1), 直线l2的方程:y=-(x-1). 由,解得x=-x0,y=,所以Q. 1 2 c a 1 2 2 2a c 22 -a c3 2 4 x 2 3 y 0 0 1 y x 0 0-1 y x 0 0 1x y 0 0 -1x
22、 y 0 0 1x y 0 0 -1x y 2 0 0 -1x y 2 0 0 0 -1 -, x x y 因为点Q在椭圆上,由对称性,得=y0,即-=1或+=1. 又P在椭圆E上,故+=1. 由解得x0=,y0=;无解. 因此点P的坐标为. 2 0 0 -1x y 2 0 x 2 0 y 2 0 x 2 0 y 2 0 4 x 2 0 3 y 22 00 22 00 -1, 1, 43 x y xy 4 7 7 3 7 7 22 00 22 00 1, 1, 43 xy xy 4 7 3 7 , 77 解后反思解后反思 本题中求出点Q坐标后,利用对称性得到x0,y0的另一表达式,大大简化了计
23、算,因为点Q 在椭圆上,由对称性,得=y0,即-=1或+=1. 但很多同学会想不到这一步,我们也可以通过下面的方法处理: 这样=,亦可知=y0,后面处理同原解法. 2 0 0 -1x y 2 0 x 2 0 y 2 0 x 2 0 y 2 2 0 2 0 0 22 00 -1 1, 43 1, 43 x yx xy 2 2 0 0 -1 3 x y 2 0 3 y 2 0 0 -1x y 3.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,
24、过D作AM的垂线交BN于点E.求 证:BDE与BDN的面积之比为45. 3 2 解析解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆C的方程为+=1(ab0). 由题意得解得c=. 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m2,且n0. 直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-. 所以直线DE的方程为y=-(x-m), 直线BN的方程为y=(x-2). 联立得 2 2 x a 2 2 y b 2, 3 , 2 a c a 3 2 4 x 2 n m 2m n 2
25、m n 2- n m 2 -( - ), ( -2), 2- m yx m n n yx m 得点E的纵坐标yE=-. 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2, 所以yE=-n. 又SBDE=|BD| |yE|=|BD| |n|, SBDN=|BD| |n|, 所以BDE与BDN的面积之比为45. 2 22 (4-) 4- nm mn 4 5 1 2 2 5 1 2 温馨提示温馨提示 在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n, 则要考虑斜率为0的情况. 4.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2
26、的直线交椭圆于P, Q两点,且PQPF1. (1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程; (2)若|PQ|=|PF1|,且,试确定椭圆离心率e的取值范围. 2 2 x a 2 2 y b 22 3 4 4 3 解析解析 (1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此 2c=|F1F2|=2,即c=,从而b=1. 故所求椭圆的标准方程为+y2=1. (2)如图,由PF1PQ,|PQ|=|PF1|,得 |QF1|=|PF1|. 由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2
27、a,进而 |PF1|+|PQ|+|QF1|=4a. 于是(1+)|PF1|=4a, 22 22 12 |PFPF 22 (22)(2- 2)33 22 -a c 2 4 x 22 1 |PFPQ 2 1 2 1 解得|PF1|=, 故|PF2|=2a-|PF1|=. 由勾股定理得 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2, 从而+=4c2, 两边除以4a2,得 +=e2. 若记t=1+,则上式变成 e2=8+. 由,并注意到t=1+关于的单调性,得3t4,即. 进而e2,即b0)的左、右顶点分别为A1、A2,且以线段A1A2为 直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则
28、C的离心率为( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 6 3 3 3 2 3 1 3 答案答案 A 本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系. 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,=a,即2b= , a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=. 22 |0-02| (- ) baab ba 22 ab 2 2 c a 2 3 c a 6 3 4.(2018课标,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2F1=60, 则C的离心率为 ( ) A.1- B.2- C. D.-1 3 2
29、 3 3-1 2 3 答案答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质. 不妨设椭圆方程为+=1(ab0). 在RtF1PF2中,因为PF2F1=60,|F1F2|=2c, 所以|PF2|=c,|PF1|=c. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 即c+c=2a,所以椭圆的离心率e=-1.故选D. 2 2 x a 2 2 y b 3 3 c a 2 31 3 疑难突破疑难突破 利用椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,再结合题意得到关于a、c的关系式是求解的关键,也 是难点的突破口. 5.(2017课标,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=
30、120, 则m的取值范围是 ( ) A.(0,19,+) B.(0,9,+) C.(0,14,+) D.(0,4,+) 2 3 x 2 y m 3 3 答案答案 A 本题考查椭圆的几何性质. 当0m3时,椭圆C的长轴在x轴上, 如图(1),A(-,0),B(,0),M(0,). 图(1) 33m 当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值, 此时AMB120, 则|MO|1,即03时,椭圆C的长轴在y轴上, 如图(2),A(0,),B(0,-),M(,0). mm3 图(2) 当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值, 此时AMB120,则|OA|3,即3,即m9. 综上,m(0,19,+),故
31、选A. m 6.(2016课标,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左, 右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过 OE的中点,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D. 2 2 x a 2 2 y b 1 3 1 2 2 3 3 4 答案答案 A 本题考查椭圆的几何性质,考查了学生的运算求解能力和对数形结合思想方法的运用. 解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=,从而直线AM的方程为y=(x+a),令x= 0,得点E的纵坐标yE=. 同理,OE的中点N的纵
32、坐标yN=. 因为2yN=yE,所以=,即2a-2c=a+c,所以e=.故选A. 0 - y a c 0 - y a c 0 - ay a c 0 ay ac 2 ac 1 -a c c a 1 3 解法二:如图,设OE的中点为N, 由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a, PFy轴,=, =, | | MF OE | | AF AO -a c a | | MF ON | | BF OB ac a 又=,即=, a=3c,故e=. | | MF OE | 2| MF ON -a c a2 ac a c a 1 3 7.(2020课标,19,12分)已知
33、椭圆C1:+=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心 与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|. (1)求C1的离心率; (2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程. 2 2 x a 2 2 y b 4 3 解析解析 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=. 不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,-;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|= ,|CD|=4c. 由|CD|=|AB|得4c=,即3=2-2, 解得=-2(舍去)或=. 所以C1的离心率为.
34、(2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:+=1.所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0),(-2c,0),(0,c),(0,- c),C2的准线为x=-c. 由已知得3c+c+c+c=12,即c=2. 所以C1的标准方程为+=1,C2的标准方程为y2=8x. 22 -a b 2 b a 2 b a 2 2b a 4 3 2 8 3 b a c a 2 c a c a c a 1 2 1 2 3 2 2 4 x c 2 2 3 y c 33 2 16 x 2 12 y 8.(2020江苏,18,16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点A 在椭圆E上且
35、在第一象限内,AF2F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B. (1)求AF1F2的周长; (2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求的最小值; (3)设点M在椭圆E上,记OAB与MAB的面积分别为S1,S2,若S2=3S1,求点M的坐标. 2 4 x 2 3 y OPQP 解析解析 本题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数 量积等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. (1)设椭圆E:+=1的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c, 则a2=4,b2=3,c2=1. 所以AF1F2的周长为2a+2c=6. (2)椭
36、圆E的右准线为x=4. 设P(x,0),Q(4,y), 则=(x,0),=(x-4,-y), =x(x-4)=(x-2)2-4-4, 在x=2时取等号. 所以的最小值为-4. 2 4 x 2 3 y OPQP OPQP OPQP (3)因为椭圆E:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2F1F2,则F1(- 1,0),F2(1,0),A, 所以直线AB:3x-4y+3=0. 设M(x,y),因为S2=3S1, 所以点M到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离的3倍. 由此得=3, 则3x-4y+12=0或3x-4y-6=0. 由得7x2+24x+32=0,此方程
37、无解; 由得7x2-12x-4=0, 所以x=2或x=-. 代入直线l:3x-4y-6=0,对应分别得y=0或y=-. 2 4 x 2 3 y 3 1, 2 |3 -43| 5 xy |3 0-4 03| 5 22 3 -4120, 1, 43 xy xy 22 3 -4 -60, 1, 43 xy xy 2 7 12 7 因此点M的坐标为(2,0)或. 212 -,- 77 9.(2019课标,20,12分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原 点. (1)若POF2为等边三角形,求C的离心率; (2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积
38、等于16,求b的值和a的取值范围. 2 2 x a 2 2 y b 解析解析 本题主要考查椭圆的定义、简单的几何性质;考查数形结合的数学思想和逻辑思维能力与 运算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养. (1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中,F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1| +|PF2|=(+1)c,故C的离心率e=-1. (2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在, 当且仅当|y| 2c=16,=-1,+=1, 即c|y|=16, x2+y2=c2, +=1. 3 3 c a 3 1 2 y xc- y x c 2 2 x
39、 a 2 2 y b 2 2 x a 2 2 y b 由及a2=b2+c2得y2=, 又由知y2=,故b=4. 由得x2=(c2-b2),所以c2b2, 从而a2=b2+c22b2=32,故a4. 当b=4,a4时,存在满足条件的点P. 4 2 b c 2 2 16 c 2 2 a c 2 2 所以b=4,a的取值范围为4,+). 2 思路分析思路分析 第(1)问中由平面几何知识可知PF1F2是F1PF2=90的直角三角形,且|PF2|=c,|PF1|= c,再利用椭圆的定义找出a与c的等量关系,进而求离心率. 第(2)问中设出P点坐标,利用=16,PF1PF2以及+=1得到方程,消元化简可求
40、b的 值和a的取值范围. 3 1 2 PF F S 2 2 x a 2 2 y b 一题多解一题多解 (2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 由椭圆的定义可得r1+r2=2a, =r1r2=16,r1r2=32. 又PF1PF2,+=4c2, (r1+r2)2=+2r1r2=4c2+64=4a2, 4a2-4c2=64,b=4, 又+2r1r2,4c2232,c4, a2=b2+c2=16+c232, b的值为4,a的取值范围为4,+). 1 2 PF F S 1 2 2 1 r 2 2 r 2 1 r 2 2 r 2 1 r 2 2 r 2 1.(2017浙江,2,4分)椭圆+=1的离
41、心率是( ) A. B. C. D. 2 9 x 2 4 y 13 3 5 3 2 3 5 9 以下为教师用书专用 答案答案 B 本题考查椭圆的标准方程和几何性质. 由题意得,a=3,c=,离心率e=.故选B. 5 c a 5 3 易错警示易错警示 1.把椭圆和双曲线中的a,b,c之间的关系式记混,而错选A. 2.把离心率记成e=或e=,而错选C或D. b a 2 2 c a 2.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 . 2 2 x a 2 2 y b2 b 答案答案 6
42、 3 解析解析 本题考查椭圆的几何性质,考查学生的运算求解能力和对数形结合的思想方法的运用. 由已知条件易得B,C, F(c,0),=,=, 由BFC=90,可得=0, 所以+=0,c2-a2+b2=0, 即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2, 所以=,则e=. 3 -, 22 b a 3 , 22 b a BF 3 ,- 22 b ca CF 3 -,- 22 b ca BFCF 3 - 2 ca 3 2 ca 2 - 2 b 3 4 1 4 2 2 c a 2 3 c a 6 3 方法点拨方法点拨 圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直,然后利用垂直向量的数量积为零转化为
43、数 量关系. 3.(2014课标,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x 轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为,求C的离心率; (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 2 2 x a 2 2 y b 3 4 解析解析 (1)根据c=及题设知M,2b2=3ac. 将b2=a2-c2代入2b2=3ac, 解得=或=-2(舍去). 故C的离心率为. 22 -a b 2 , b c a c a 1 2 c a 1 2 (2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1
44、与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点, 故=4,即b2=4a. 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设N(x1,y1),由题意知y10,y0), =0,NFNO,N,O分别是MF和FF1的中点,MFMF1,由已知可得F(-,0),F1(,0), (x+,y) (x-,y)=0, 即x2+y2=5,由(x0,y0), 得M,kMF=, 直线MF的方程为y=(x+),即x-2y+=0,故选D. NF NO55 55 22 22 1, 94 5 xy xy 3 5 4 5 , 55 4 5 5 3 5 5 5 1 2 1 2 55 思路分析思路分析 设椭圆C的右焦点为F1,M
45、(x,y)(x0,y0),通过向量的数量积为0,结合圆的方程与椭圆方 程的关系,求出点M的坐标,然后求解直线的斜率,得到直线方程. 2.(2020安徽合肥二模,10)记F1,F2为椭圆C:+y2=1(m0且m1)的两个焦点,若C上存在点M满足 =0,则实数m的取值范围是( ) A.2,+) B.(2,+) C.(1,2 D.(1,2 2 x m 1 MF 2 MF 1 0, 2 1 ,1 2 1 0, 2 1 ,1 2 答案答案 A 解法一:当m1时,c2=m-1,因为点M满足=0,所以点M在以F1F2为直径的圆上,设M (x,y),则点M的轨迹方程为x2+y2=m-1,又点M在椭圆上,所以方
46、程组有解,消去y得x2= ,所以0m,解得m2;当0m1时,c2=1-m,同理可得点M的轨迹方程为x2+y2=1-m,又 点M在椭圆上,所以方程组有解,消去y得x2=,所以0m,解得01时,c2=m-1,b2=1,所以m-11,解得m2;当0m1时,c2=1- m,b2=m,所以1-mm,解得m,即0b0)的左、右焦点分别为F1,F 2,右顶点为A,上顶点为B,以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P,若F2BAP且线段AP的 长为2+,则该椭圆的方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2 2 x a 2 2 y b 2 2 4 x 2 2 y 2 8 x 2 3
47、 y 2 5 x 2 4 y 2 8 x 2 4 y 答案答案 D 本题考查椭圆的方程及性质,圆的性质等知识,考查了数形结合思想,体现了直观想象, 数学运算的核心素养. 设椭圆的半焦距为c,因为点P在以线段F1A为直径的圆上,所以APPF1, 因为F2BAP,所以F2BBF1,又因为|F2B|=|BF1|,所以F1F2B是等腰直角三角形,于是|F2B|=|BF1|=a, cos 45=,|F1A|=|AP|, 即a+c=(2+), 解得a=2,c=2,b2=a2-c2=4, 所以椭圆的方程为+=1,故选D. 2 2 | | OF BF c a 2 2 2 22 2 2 8 x 2 4 y 思路分析思路分析 由以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P,可得APPF1,因为F2
