1、考点考点 函数模型及应用函数模型及应用 1.(2020课标,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布 数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K 为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 193)( ) A.60 B.63 C.66 D.69 -0.23( -53) 1e t K 答案答案 C I(t*)=0.95K,整理可得=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 193,解 得t*66,故选C. * -0.23( -53) 1e
2、 t K * 0.23(-53) e t 2.(2020新高考,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数 指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始 阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与 R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累 计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)( ) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 答案答案 B 因为R0=3
3、.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r=0.38,设累计感染病例增加1倍需要 的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 20.69, 所以t=1.8.故选B. 0-1 R T ln2 0.38 0.69 0.38 3.(2020北京,10,4分)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day).历史上,求圆周率的方法有 多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔 卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算 单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的
4、正6n边形)的周长,将它们的算 术平均数作为2的近似值.按照阿尔 卡西的方法,的近似值的表达式是( ) 答案答案 A 如图所示,设单位圆O的一个内接正6n边形的一边为AB,一个外切正6n边形的一边为A B,并与圆O切于点R, 在AOB中,AB的中点为S,OA=1,AOB=, AB=2AS=2AO sinAOS=2AO sin=2sin,O的内接正6n边形的周长为6n AB=12 nsin, 在AOB中,OR=1,AOB= AB=2AR=2OR tanAOR=2OR tan=2tan,O的外切正6n边形的周长为6n A 1 2 AOB 1 2 AOB B=12ntan, 单位圆的内接与外切正6n
5、边形的周长的算术平均数为 故的近似值的表达式为3n,故选A. 4.(2016四川,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发 资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金 开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案答案 B 设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130(1+12%)n -1200, 则lg130(1+12%)n-1lg
6、200, lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 0.11+(n-1)0.050.30,解得n, 又nN*,n5, 该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B. 24 5 5.(2019课标理,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆, 我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探 测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长
7、线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离 为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程: +=(R+r). 设=.由于的值很小,因此在近似计算中33,则r的近似值为( ) A.R B.R C.R D.R 1 2 () M Rr 2 2 M r 1 3 M R r R 345 2 33 (1) 2 1 M M 2 1 2 M M 2 3 1 3M M 2 3 1 3 M M 答案答案 D 将r= R代入方程可得+=(1+),即+=(1+)M1, =,即=,33, ,r=R R.故选D. 1 2 () M RR 2 22 M R 1 2 M R 1 2 (1)
8、M 2 2 M 232 2 (33 ) (1) 2 1 M M 2 1 M M 543 2 33 (1) 2 1 M M 2 3 1 3 M M 2 3 1 3 M M 解后反思解后反思 题中内容丰富、字母较多,需要冷静、沉思,抓住题目的实质,进而转化成数学运算问 题.平时一定要注重培养良好的解题习惯. 6.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未 达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在 a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关 系如图所示.
9、 给出下列四个结论: 在t1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; 在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ( )- ( ) - f b f a b a 在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标; 甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,在0,t1的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是 . 答案答案 解析解析 设y=-,由已知条件可得甲、乙两个企业在t1,t2这段时间内污水治理能力强弱的数 值计算式为-,由题图易知y甲y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以对; 由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以 对;
10、 在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以对; 由计算式-可知,甲企业在0,t1这段时间内污水治理能力最弱,所以错. ( )- ( ) - f b f a b a 21 21 ( )- ( ) - f tf t t t ( )- ( ) - f b f a b a 解后反思解后反思 本题以环保部门要求相关企业加强污水处理,排放未达标的企业要限期整改这个情境 为载体,贴近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型 来解决问题,体现试题的教育价值.通过企业污水治理能力的强弱的计算式,考查学生的抽象概 括、直观想象、分析和解决具有实
11、际意义问题的能力,同时考查了数形结合的思想. 思路分析思路分析 与函数和导数有关的实际应用问题,先把实际问题翻译成数学问题,再逐步对四个结论 去伪存真. 解题关键解题关键 正确理解题目所给的信息,并把信息翻译成数学问题是解决本题的第一个关键;理解 一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式,并把这个计算式与函数图象在某点处切线的斜率 联系起来是正确解决本题的第二个关键. 7.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促 销:一次购买水果的总价达到
12、120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支 付款的80%. 当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元; 在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 . 答案答案 130 15 解析解析 本题通过生活中常见的网络购物,考查函数的实际应用,利用促销返利考查学生应用数学知 识解决实际问题的能力.让学生通过分析,把实际问题模型化,构建不等式,体现了社会生活与数学 知识的密切联系. x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题意可知顾客需支付140-10=130元. 设每笔订单金额为m元,则只需考虑m120时的情况
13、. 根据题意得(m-x)80%m70%,所以x,而m120, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x,而=15,x15. 所以x的最大值为15. 8 m min 8 m min 8 m 8.(2020江苏,17,14分)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水 平线MN上,桥AB与MN平行,OO为铅垂线(O在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与 F到OO的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO的距离为4
14、0米. (1)求桥AB的长度; (2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥 墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k0),问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价 最低? 1 40 1 800 3 2 解析解析 本题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识,考查直观想象和数学建模 及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. (1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足. 由条件知,当OB=40时, BB1=-403+640=160,则AA1=160. 由OA2=160,
15、得OA=80. 所以AB=OA+OB=80+40=120(米). (2)以O为原点,OO所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示). 设F(x,y2),x(0,40), 则y2=-x3+6x, 1 800 1 40 1 800 EF=160-y2=160+x3-6x. 因为CE=80,所以OC=80-x. 设D(x-80,y1),则y1=(80-x)2, 所以CD=160-y1=160-(80-x)2=-x2+4x. 记桥墩CD和EF的总造价为f(x)万元, 则f(x)=k+k=k(0x0). 则年总产值为4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin c
16、os )=8 000k(sin cos +cos ), .设f()=sin cos +cos ,. 则f ()=cos2-sin2-sin =-(2sin2+sin -1)=-(2sin -1)(sin +1), 令f ()=0,得=,当时, f ()0,所以f()为增函数; 当时, f ()0,所以f()为减函数, 0 , 2 1 ,1 4 1 ,1 4 0 , 2 0 , 2 6 0 , 6 , 6 2 因此,当=时, f()取到最大值. 答:当=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 6 6 名师点睛名师点睛 (1)用表示OE和EC长,就能求出矩形ABCD及三角形CPD的面积,求定义域时
17、抓住N、 G关于直线OK对称得到GOK的正弦值,从而求得sin 的范围. (2)先构造函数,再用导数求最值,求导时,注意的范围,判断f ()的符号,再确定f()的单调性,就能得 到最大值,从而解决问题. 考点考点 函数模型及应用函数模型及应用 A A组组 考点基础题组考点基础题组 1.(2020海南天一大联考一模,8)如图,矩形花园ABCD的边AB靠在墙PQ上,另外三边是由篱笆围成 的.若该矩形花园的面积为4平方米,墙PQ足够长,则围成该花园所需要篱笆的( ) A.最大长度为8米 B.最大长度为4米 C.最小长度为8米 D.最小长度为4米 2 2 答案答案 D 设BC=a米,CD=b米,则ab
18、=4, 所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为2a+b=2a+2=4, 当且仅当2a=,即a=时取等号.故选D. 4 a 4 2a a 2 4 a 2 2.(2019广西桂林一模,6)一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有的质量发生衰变. 若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要的年数是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 3 4 答案答案 C 设这种放射性物质最初的质量为1,经过x(xN)年后,剩余量是y,则有y=,依题意得 ,整理得22x100,解得x4,所以至少需要的年数是4,故选C. 1 4 x 1 4 x 1 100 3.(2018江西南昌第二轮复习测试卷(八),6)某地
19、一企创电商最近两年的“双十一”当天的销售额 连续增加,其中2016年的增长率为a,2017年的增长率为b,则该电商这两年的“双十一”当天销售 额的平均增长率为( ) A. B. C. D.-1 ab 2 ab (1)(1)-1 2 ab (1)(1)ab 答案答案 D 设该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为x,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,x= -1,故选D. (1)(1)ab 4.(2018衡水金卷信息卷(二),6)已知某服装厂生产某种品牌的衣服,销售量q(x)(单位:百件)关于每 件衣服的利润x(单位:元)的函数解析式为q(x)=则当该服装厂所获效益最大 时,x=( )
20、 A.20 B.60 C.80 D.40 1 260 ,020, 1 90-3 5,20180, x x xx 答案答案 C 设该服装厂所获效益为f(x)元, 则f(x)=100 xq(x)= 当0x20时, f(x)=126 000-, f(x)在区间(0,20上单调递增, 所以当x=20时, f(x)有最大值120 000. 当20x180时, f(x)=9 000 x-300 x, 则f (x)=9 000-450, 令f (x)=0,得x=80.当20x0, f(x)单调递增,当80 x180时, f (x)0, f(x)单调递减, 所以当x=80时, f(x)有极大值,也是最大值,为
21、240 000.故选C. 126 000 ,020, 1 100 (90-3 5),20180. x x x xxx 126 000 1 x x 126 000 1x 5x 5x 5.(2020安徽滁州定远4月模拟,13)某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数 量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P=P0e-kt.如果在前5小时消除了10%的污染物,那么污染物减少 19%需要花费的时间为 小时. 答案答案 10 解析解析 本题主要考查了指数函数在实际生活中的应用. 由题意可知,(1-0.1)P0=P0e-kt,即0.9=e-5k, 故-5k=ln 0.9,又(1-0.19
22、)P0=P0e-kt,即0.81=e-kt, -kt=ln 0.81=2ln 0.9=-10k,t=10. 一、选择题(每小题5分,共25分) B B组组 专题综合题组专题综合题组 (时间：30分钟 分值：35分) 1.(2020安徽淮北一中第五次月考,5)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家,以华氏命名的数学科研成 果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等.他除了数学理论研究,还在生产一线大力推广 了“优选法”和“统筹法”.“优选法”是指研究如何用较少的试验次数,迅速找到最优方案的一 种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻,为防范机场带来的境外输入,某机场海关在对入境 人员进行检测时采用了“
23、优选法”提高检测效率:每16人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌 物混合检查,如果为阴性则全部放行;若为阳性,则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有 一人感染(鼻咽拭子样本检验是阳性),若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人 均分为2组,选其中一组8人的样本检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性则认定在本组.继续把 认定的这组的8人均分两组,选其中一组4人的样本混合检查以此类推,最终从这16人中认定那 名感染者需要经过 次检测.( ) A.3 B.4 C.6 D.7 答案答案 B 本题考查的是二分法的实际应用,考查学生的逻辑推理能力. 先把这16人均分为2组,选其中
24、一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性则认 定在本组,此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组,选其中一组4人的样本混合检查, 若为阴性则认定在另一组;若为阳性则认定在本组,此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人 均分两组,选其中一组2人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性则认定在本组,此 时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本检查,若为阴性则认定是另一个人;若为阳 性则认定为此人,此时进行了4次检测.所以,最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.故 选B. 2.(2020宁夏回族自治区银川一中三模,10)天文学中为了衡量天体的明
25、暗程度,古希腊天文学家喜 帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,天体 就越亮;星等的数值越大,它就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学 家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描 述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2=2.5(lg E2-lg E1).其中星等为mi的天体的亮度为Ei(i=1,2).已知 “心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,10 x1+2.3x+2
26、.7x2)( ) A.1.24 B.1.25 C.1.26 D.1.27 答案答案 C 本题考查对数运算,以及数据的估算,考查数学建模、数学运算素养以及分析问题和解 决问题的能力. 根据题意可得1-1.25=2.5(lg E2-lg E1), 可得lg=,解得r=1.根据参考公式可得r1+2.3+2.7=1.257,故与r最接近的是 1.26.故选C. 1 2 E E 1 10 1 2 E E 1 10 0 1 10 1 100 3.(2020河南名校联盟尖子生模拟,12)已知函数f(x)=-1的图象与g(x)=2sin x的图象在-8,10 上有k个交点,分别记作(x1,y1),(x2,y2
27、),(xk,yk),则(xi+yi)=( ) A.9 B.10 C.19 D.20 4 22x 1 k i 答案答案 C 本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想 方法,以及逻辑推理能力和数学运算能力. f(x)=-1的定义域为R,该函数在R上为减函数, 又f(1+x)+f(1-x)=-1+-1=+-2=-2=0, f(x)的图象关于点(1,0)对称. g(x)=2sin x的周期T=2,且g(1)=0,g(x)的图象也关于点(1,0)对称.在同一坐标系中作出两 个函数的图象如图,在-8,10内有9个周期,故(xi+yi)=92+1=19.故选C. 4 22x
28、 1 4 22 x 1- 4 22 x 2 12x 2 2 21 x x 2(12 ) 12 x x 2 1 k i 4.(2019广西南宁二中、柳州高级中学二联,12)如图,有四个平面图形分别是等腰三角形、平行四 边形、直角梯形、圆.垂直于x轴的直线l:x=t(0ta)经过原点O向右平行移动,l在移动过程中扫 过平面图形的面积为y(图中阴影部分),若函数y=f(t)的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能 是( ) 答案答案 C 由函数y=f(t)的图象可知,平面图形具有对称性,选项A、B、D中,l在移动过程中扫过平 面图形的面积y,在中线位置前,都是先慢后快,中线后相反.选项C中,中线后是
29、直线增加,不满足题 意,故选C. 5.(2018辽宁抚顺3月模拟,10)已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x) 为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m 2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是 ( ) A.-, B.-2,+) C.(-,2 D.-2, 33 223 答案答案 B 根据“局部奇函数”的定义可知,函数f(-x)=-f(x)有解,即4-x-m 2-x-3=-(4x-m 2x-3)有解, 4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0有解,即(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解.设t=2-x+2x,则t2(
30、当且仅当x=0时,取“=”). t2-mt-8=0在t2上有解, 设g(t)=t2-mt-8.函数g(t)恒过定点(0,-8),要满足题意,则只需g(2)0,即22-2m-80,解得m-2.故 选B. 二、填空题(每小题5分,共10分) 6.(2020辽宁辽南协作校一模,15)考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当 有机体生存时,会持续不断地吸收碳14,从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平;但当有机体 死亡后,就会停止吸收碳14,其体内的碳14含量就会逐渐减少,而且每经过大约5 730年后会变为原 来的一半.假设有机体生存时碳14的含量为1,如果用y表示该有机体死亡x年
31、后体内碳14的含量,则 y与x的关系可以表示为 . 答案答案 y= 5 730 1 2 x 解析解析 依题意可设y=,当x=5 730时,y=,即有=,解得a=,故答案为y=. 1 2 ax 1 2 1 2 5 730 1 2 a 1 5 730 5 730 1 2 x 7.(2020陕西咸阳二模,15)为了抗击新型冠状病毒肺炎,某医药公司研究出一种消毒剂,据实验表明, 该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系式为y=(如图所示),实验表明,当药物释放 量y, 故为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过60=40 (分钟)人方可进入房间. 1 2
32、 1 1 2 k 1 , 2 1 0.75, 2 t t 2 3 2 3 1.(2020 5 3原创题)人们用分贝(dB)来划分声音的等级,声音的等级d(x)(单位:dB)与声音强度x(单 位:W/m2)满足d(x)=9lg.一般两人小声交谈时,声音的等级约为54 dB,在有50人的课堂上讲课 时,老师声音的等级约为63 dB,那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的 ( ) A.1倍 B.10倍 C.100倍 D.1 000倍 -13 1 10 x 答案答案 B 设老师上课时声音强度,一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2,x2 W/m2, 根据题意得d(x1)=9lg
33、=63,解得x1=10-6, d(x2)=9lg=54, 解得x2=10-7,所以=10, 因此,老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍,故选B. 1 -13 1 10 x 2 -13 1 10 x 1 2 x x 命题说明命题说明 本题以声音强度与声音等级的函数关系为背景,考查对数函数、指数与对数运算.同时 也涉及了指数式与对数式的互化,引导学生学会用数学知识解释生活现象,自觉把数学运用到实际 生活中去,考查数学运算、数学建模的核心素养. 2.(2020 5 3原创题)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律,统计显示,生 长4年的树高为米,如图所示的散点
34、图,记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请 你据此判断,在下列函数模型:y=2t-a;y=a+log2t;y=t+a;y=+a中(其中a为正的常实数),拟 合生长年数与树高的关系最好的是 (填写序号),估计该树生长8年后的树高为 . 7 3 1 2 t 答案答案 ;米 10 3 解析解析 由散点图的走势,知模型不合适.曲线过点,则后三个模型的解析式分别为y=+ log2t;y=t+;y=+,易知拟合最好的是.将t=8代入得8年后的树高为米. 7 4, 3 1 3 1 2 1 3 t 1 3 10 3 命题意图命题意图 在选择函数模型,解决实际问题的试题中,既要关注问题本身的
35、属性,又要满足潜在的 数学属性. 树木生长有的先慢后快,有的先快后慢,但在一定年限之后几乎都是“蜗牛式增长”;高寒山区树 木普遍不高,生长也较缓慢;散点图走势既像直线,也不能排除对数型和抛物线型.单纯考虑其中一 个方面,不能对四个函数模型直接选定或排除. 素养解读素养解读 本题重点考查数学建模、数据分析与逻辑推理的核心素养. 3.(2020 5 3原创题)为了调控过高的猪肉价格,在春节前,某市从2020年1月1日起一直从外地引进生 猪进入本市市场销售,过了一段时间,通过市场调查,发现近期猪肉的价格f(t)(单位:元/kg)与时间t(t 表示距春节的天数,单位:天,t(0,9)的数据如表: (1
36、)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述猪肉价格f(t)与时间t的变化关系:f(t)=at+b, f(t)= at2+bt+c, f(t)=a+b, f(t)=aet+b, f(t)=aln t+b,其中a0,并求出此函数; (2)为了控制猪肉的价格,不使猪肉的价格过高,经过市场调研,引入一控制函数h(t)=et-(8-2)t+60,t 0,称为控制系数,求证:当-1+ln 2时, f(t)-1+ln 2知g(ln 2)0, g(t)0,则g(t)在区间(0,9上为增函数, 于是有g(t)g(0),而g(0)=0,故g(t)0, 即当-1+ln 2且t0时,h(t)-f(t)0, 即f(t)h(t). 解题关键解题关键 依据题中表格,结合预选函数的性质选择恰当的函数模型是解题的基础,借助导数工具 是解题的关键.
