1、 二、二、 随机现象随机现象 四、四、 小结小结 一、一、 概率论的诞生及应用概率论的诞生及应用 三、三、 随机试验随机试验 第一节第一节 随机试验随机试验 1654年年,一个名叫一个名叫梅累的骑士就梅累的骑士就“两个赌徒两个赌徒 约定赌若干局约定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若在一赌若在一赌 徒胜徒胜 a 局局 ( ac ),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止赌时便终止赌 博博,问应如何分赌本问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕斯卡帕斯卡 与费马通信讨论这一问题与费马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同建立了年共同建立了 概率论的第
2、一个基本概念概率论的第一个基本概念 数学期望数学期望. 一、概率论的诞生及应用一、概率论的诞生及应用 1. 概率论的诞生概率论的诞生 2. 概率论的应用概率论的应用 概率论是数学的一个分支概率论是数学的一个分支，它研究随机现象它研究随机现象 的数量规律的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学概率论的应用几乎遍及所有的科学 领域领域，例如天气预报例如天气预报、 地震预报地震预报、产品的抽样调产品的抽样调 查查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干 扰性扰性、分辨率等等分辨率等等. 在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象的现象称为
3、确定性现象. . “太阳不会从西边升起”太阳不会从西边升起”, 1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥”同性电荷必然互斥”, “水从高处流向低处”水从高处流向低处”, 实例实例 自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象 二、随机现象二、随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象 称为随机现象称为随机现象. 实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况正反两面出现的情况. 2. 随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数”函数在间断点处不存在导数”
4、 等等. 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面. 确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果 结果有可能为结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或或 6. 实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数. 实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况. 结果结果: 弹落点会各不相同弹落点会各不相同. 实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取 一个产品一个产品. 其结果可能为其结果可能为
5、: 正品正品 、次品次品. 实例实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通 指挥灯指挥灯. 实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿可 能是能是男男,也可能是也可能是女女. 实例实例7 明天的天气可明天的天气可 能是能是晴晴 , 也可能是也可能是多云多云 或或雨雨. 随机现象的特征随机现象的特征 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. 条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然 性性, 但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中
6、, 这种结果的出现具有这种结果的出现具有 一定的统计一定的统计规律性规律性 , 概率论就是研究随机现象这概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科种本质规律的一门数学学科. 随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的. 问题问题 什么是随机试验什么是随机试验? 如何来研究随机现象如何来研究随机现象? 说明说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述. 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试
7、验的可能结果不止一个,并且能事并且能事 先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现会出现. 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称 为为随机试验随机试验. 定义定义 三、随机试验三、随机试验 说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包 括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行 的的 “调查”、“观察”或“调查”、“观察”或 “测量”“测量” 等等. 实例实例 “抛掷一枚
8、硬币“抛掷一枚硬币,观观 察字面察字面,花面出现的情况”花面出现的情况”. 分析分析 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示. (1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行; 1. 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数. 2. 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数. 同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验. (2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果: 字面字面、花面花面; (3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能 确定哪一个结果会出现确定哪
9、一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验. 3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等 车人数车人数. 4. 考察某地区考察某地区 10 月月 份的平均气温份的平均气温. 5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只,测试其寿命测试其寿命. 四、小结四、小结 随机现象的特征随机现象的特征: 1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科. . 条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果. 2. 随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的. (1) 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地
10、进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, 并且能事并且能事 先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现出现. 随随 机机 试试 验验 一、样本空间一、样本空间 样本点样本点 三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算 二、随机事件的概念二、随机事件的概念 四、小结四、小结 第二节第二节 样本空间、随机事件样本空间、随机事件 问题问题 随机试验的结果随机试验的结果? 定义定义 随机试验随机试验 E 的所有可能结果组成的集合的所有可能结果组成的集合 称为称为 E
11、的样本空间的样本空间, 记为记为 S . 样本空间的元素样本空间的元素 , 即试验即试验E 的每一个结果的每一个结果, 称为称为 样本点样本点. 实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察字面观察字面,花面出现的情况花面出现的情况. ., 1 THS 一、样本空间一、样本空间 样本点样本点 字面朝上字面朝上H 花面朝上花面朝上T 实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数. .6, 5, 4, 3, 2, 1 2 S 实例实例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的情况现正品与次品的情况. . , , , , , , 3 DD
12、DDNDDDNNDD DNNNDNNNDNNNS 则则 .,次品次品正品正品记记DN 实例实例4 记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数. ., 2, 1, 0 4 S 实例实例5 考察某地区考察某地区 12月份的平月份的平 均气温均气温. . 215 TtTtS . 为平均温度为平均温度其中其中t 实例实例6 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只, 测试其寿命测试其寿命. .0 6 ttS .t的寿命的寿命为灯为灯其中其中泡泡 实例实例7 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数. . .
13、, 2, 1, 0 7 S 答案答案 .18 , , 5 , 4 , 3 . 1 S . ,12 ,11 ,10 .2 S 写出下列随机试验的样本空间写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到生产产品直到得到10件正品件正品,记录生产产品记录生产产品 的总件数的总件数. 课堂练习课堂练习 2. 同一试验同一试验 , 若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样则对应的样 本空本空 间也不同间也不同. 例如例如 对于同一试验对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面若观察正面 H、反面、反面
14、 T 出现的情况出现的情况 ,则样本空间则样本空间 为为 若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数 , 则样本空间为则样本空间为 . 3, 2, 1, 0 S ., , TTTTHTTTHHTT THHHTHHHTHHHS 说明说明 1. 试验不同试验不同, 对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同. 说明说明 3. 建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现事实上就是建立随机现 象的数学模型象的数学模型. 因此因此 , 一个样本空间可以一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题概括许多内容大不相同的实际问题. 例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间 它既可以
15、作为抛掷硬币出现它既可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反面反面的的 模型模型 , 也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的模的模 型型 , 又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与与无人排队无人排队的的 模型等模型等. 所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究 中中 , 描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步 就是建立样本空间就是建立样本空间. 随机事件随机事件 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集称的子集称 为为 E 的随机事件的随机事件, 简称事件简称事件. 试验中试验中,骰子“出现骰子“出现1点”点”, “出现出现2点”点
16、”, ,“出现出现6点”点”, “点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数”点数为偶数” 等都为随机事件等都为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数. 1. 基本概念基本概念 二、随机事件的概念二、随机事件的概念 实例实例 上述试验中上述试验中 “点数不大于点数不大于6” 就是必然事件就是必然事件. 必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果. 不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果. 实例实例 上述试验中上述试验中 “点数大于点数大于6” 就是不可能事件就是不可能事件. 必然事件的对立面是
17、不可能事件必然事件的对立面是不可能事件,不可能事不可能事 件的对立面是必然事件件的对立面是必然事件,它们互称为它们互称为对立事件对立事件. 实例实例 “出现“出现1点”点”, “出现出现2点”点”, , “出现出现6点”点”. 基本事件基本事件 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集. 2. 几点说明几点说明 例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数. 可设可设 A = “点数不大于点数不大于4”, B = “点数为奇数”点数为奇数” 等等 等等. (1) 随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母并以大写英文字母 A, B, C, 来表示
18、事件来表示事件 (2) 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样样 本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件. 随机试验随机试验 样本空间样本空间 子集子集 随机事件随机事件 随 机 事 件 随 机 事 件 基本事件基本事件 必然事件必然事件 不可能事件不可能事件 复合事件复合事件 互为对立事件互为对立事件 .), 2 , 1 ( , , , 的子集的子集是是 而而的样本空间为的样本空间为设试验设试验 S kABASE k 1. 包含关系包含关系 若事件若事件 A 出现出现, 必然导致
19、必然导致 B 出现出现 , 则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A,记作记作 .BAAB 或或 实例实例 “长度不合格”“长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合格”“产品不合格” 所以“产品不合格”所以“产品不合格” 包含“长度不合格”包含“长度不合格”. 图示图示 B 包含包含 A. S B A 三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算 2. A等于等于B 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B， 而且事件而且事件 B 包含事件包含事件 A，则称事件则称事件 A 与事件与事件 B 相等相等，记作记作 A=B. 3. 事件事件 A 与与 B 的并的并(和事件和事件) . 和
20、事件和事件的的事件事件 与与称为事件称为事件或或事件事件 B ABxAxxBA 实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此 “产品不合格”是“长度“产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. S B A ; , , , 21 1 的和事件的和事件个事件个事件为为称称推广推广 nk n k AAAnA 4. 事件事件 A 与与 B 的交的交 (积事件积事件) .ABBA或或积事件也可记作积事件也可记作 . , , 21 1 的和
21、事件的和事件为可列个事件为可列个事件称称AAAk k . 积事件积事件的的与事件与事件 称为事件称为事件且且事件事件 BA BxAxxBA 图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件. S A B AB 实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此“因此“产品合格产品合格”是”是 “长度合格长度合格”与“”与“直径合格直径合格”的交或积事件”的交或积事件. 和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质 ,AAA ,SSA ,AA ,AAA ,ASA . A ; , , , 21 1 的积事件的积事件个事件个事
22、件为为称称推广推广 n n k k AAAnA . , , 21 1 的积事件的积事件为可列个事件为可列个事件称称 AAA k k 5. 事件事件 A 与与 B 互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 的出现必然导致事件的出现必然导致事件 B 不出现不出现, B 出现也必然导致出现也必然导致 A不出现不出现,则称事件则称事件 A与与B互不相互不相 容容, 即即 . ABBA 实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现花面”出现花面” 与与 “出现字面”“出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件. “骰子出现骰子出现1点”点” “骰子出现“骰子出现2点”点” 图示图示 A
23、 与与 B 互斥互斥. S A B 互斥互斥 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 6. 事件事件 A 与与 B 的差的差 由事件由事件 A 出现而事件出现而事件 B 不出现所组成的不出现所组成的 事件称为事件事件称为事件 A 与与 B 的差的差. 记作记作 A- - B. 图示图示 A 与与 B 的差的差. S A B S A B AB AB BA 实例实例 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格” 是是 “长度合格长度合格” 与与 “直径合格直径合格” 的差的差. 设设 A 表示“事件表示“事件 A 出现”出现”, 则“事件则“事件 A 不出现”不出现
24、” 称为事件称为事件 A 的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件. 记作记作 实例实例 “骰子出现“骰子出现1点”点” “骰子不出现“骰子不出现1点”点” 图示图示 A 与与 B 的对立的对立. S B A 若若 A 与与 B 互逆互逆,则有则有 A 7. 事件事件 A 的对立事件的对立事件 对立对立 对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 S S A B A B A A、B 对立对立 A、B 互斥互斥 AB 互互 斥斥 对对 立立 事件间的运算规律事件间的运算规律 .,)1(BAABABBA 交换律交换律 ),()()2(CBACBA 结合律结合律 ,)()()( )3( BCACC
25、BCACBA 分配律分配律 .,:(4)BABABABA 摩根律摩根律德德 则有则有为事件为事件设设 ,CBA ).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA 例例1 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事件试将下列事件 用用A,B,C 表示出来表示出来. . (1) A 出现出现 , B, C 不出现不出现; (5) 三个事件都不出现三个事件都不出现; (2) A, B都出现都出现, C 不出现不出现; (3) 三个事件都出现三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现; (6) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现;
26、(7) 不多于两个事件出现不多于两个事件出现; (8) 三个事件至少有两个出现三个事件至少有两个出现; (9) A, B 至少有一个出现至少有一个出现, C 不出现不出现; (10) A, B, C 中恰好有两个出现中恰好有两个出现. 解解 ;)1(CBA;)2(CAB;)3(ABC ;)4(CBA;)5(CBA ;)8(BCACBACABABC ;)()9(CBA .)10(BCACBACAB ;ABC或或 ;)6(CBACBACBACBA , )7( BCACBA CABCBACBACBACBA (1)没有一个是次品没有一个是次品; (2)至少有一个是次品至少有一个是次品; (3)只有一个
27、是次品只有一个是次品; (4)至少有三个不是次品至少有三个不是次品; (5)恰好有三个是次品恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品至多有一个是次品. 解解 ;)1( 4321 AAAA : , )4, 3, 2, 1( , 示下列各事件示下列各事件 表表试用试用个零件是正品个零件是正品产的第产的第 表示他生表示他生零件零件设一个工人生产了四个设一个工人生产了四个 i i Aii A 2例例 4321432143214321 )2(AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321 AAAAAAAAAAAAAAAA 43214321 AAAAAAAA 43214321 AAA
28、AAAAA 43214321 AAAAAAAA , 4321 AAAA ; 4321 AAAA或或 ;)3( 4321432143214321 AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321 )4(AAAAAAAAAAAAAAAA ; 4321 AAAA ; )5( 4321 432143214321 AAAA AAAAAAAAAAAA . )6( 4321 4321432143214321 AAAA AAAAAAAAAAAAAAAA 随机试验随机试验 样本空间样本空间 子集子集 随机事件随机事件 随 机 事 件 随 机 事 件 基本事件基本事件 必然事件必然事件 不可能事
29、件不可能事件 复合事件复合事件 四、小结四、小结 1. 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 2. 概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系 记号记号 概率论概率论 集合论集合论 S 样本空间，必然事件样本空间，必然事件 空间空间 不可能事件不可能事件 空集空集 e 基本事件基本事件 元素元素 A 随机事件随机事件 子集子集 AA的对立事件的对立事件 A的补集的补集 BA A出现必然导致出现必然导致B出现出现 A是是B的子集的子集 BA 事件事件A与事件与事件B相等相等 集合集合A与集合与集合B相等相等 BA 事件事件A与事件与事件B的差的差 A与
30、与B两集合的差集两集合的差集 AB事件事件A与与B互不相容互不相容 A与与B 两集合中没有两集合中没有 相同的元素相同的元素 BA事件事件A与事件与事件B的和的和 集合集合A与集合与集合B的并集的并集 AB 事件事件A与事件与事件B的的 积事件积事件 集合集合A与集合与集合B的交集的交集 一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质 三、小结三、小结 第三节第三节 频率与概率频率与概率 ).( ,. , , , Af A n n AnA nn n A A 成成 并记并记发生的频率发生的频率称为事件称为事件比值比值生的频数生的频数 发发称为事件称为事件发生的
31、次数发生的次数事件事件次试验中次试验中 在这在这次试验次试验进行了进行了在相同的条件下在相同的条件下 1. 定义定义 一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质 2. 性质性质 设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则 ; 1)(0)1( Afn ; 0)(, 1)()2( fSf ).()()()( ,)3( 2121 21 knnnk k AfAfAfAAAf AAA 则则是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若 试验试验 序号序号 5 n H nf 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 H nf 50 n 22 25 21 25 24 18 2
32、7 H n 500 n 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 f 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率. 波动最小波动最小 随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性 从上述数据可得从上述数据可得 (2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时
33、较小时, 频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅 度较大度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即即 当当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且且 逐渐稳定于逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同; 实验者实验者 德德 摩根摩根 蒲蒲 丰丰 n H nf 皮尔逊皮尔逊 K 皮尔逊皮尔逊 K 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 1201
34、2 0.5005 )(Hf 的增大的增大n . 2 1 我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿高尔顿(Galton)板试验板试验. 试验模型如下所示试验模型如下所示: 自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自 由下落由下落,在下落过程中当小球碰在下落过程中当小球碰 到钉子时到钉子时,从左边落下与从右边从左边落下与从右边 落下的机会相等落下的机会相等.碰到下一排钉碰到下一排钉 子时又是如此子时又是如此.最后落入底板中最后落入底板中 的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球, 则此球落入哪一个格子则此球落入哪一个格子,预先难以确定
35、预先难以确定.但是如果放但是如果放 入大量小球入大量小球,则其最后所呈现的曲线则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样几乎总是一样 的的. 单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停 ESCESC键退出键退出 请看动画演示请看动画演示 重要结论重要结论 频率当频率当 n 较小时波动幅度比较大，当较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增逐渐增 大时大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的 概率概率 医生在检查完病人的时候摇摇头：医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的你的 病很重病很
36、重，在十个得这种病的人中只有一个能救活在十个得这种病的人中只有一个能救活 .” 当病人被这个消息吓得够呛时当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：医生继续说： “但你是幸运的但你是幸运的因为你找到了我因为你找到了我，我已经看过我已经看过 九个病人了九个病人了，他们都死于此病他们都死于此病.” 医生的说法对吗医生的说法对吗? 请同学们思考请同学们思考. 1933年年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概 率论的公理化结构率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义，给出了概率的严格定义 ，使，使 概率论有了迅速的发展概率论有了迅速的发展. 二、概率的定义与性质二、概率的定
37、义与性质 柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料 :)(, , )(, ., 满足下列条件满足下列条件如果集合函数如果集合函数的概率的概率件件 称为事称为事记为记为赋予一个实数赋予一个实数的每一事件的每一事件 对于对于是它的样本空间是它的样本空间是随机试验是随机试验设设 PA APA ESE ; 0)(,: (1) APA 有有对于每一个事件对于每一个事件非负性非负性 ; 1)(,: (2) SPS 有有对于必然事件对于必然事件规范性规范性 则有则有即对于即对于事件事件 是两两互不相容的是两两互不相容的设设 , 2, 1, ,: (3) 21 jiAAji AA ji 可列可加性可列可加性 )()(
38、)( 2121 APAPAAP 概率的可列可加性概率的可列可加性 1. 概率的定义概率的定义 . 0)()1( P 证明证明 ), 2 , 1( nAn ., 1 jiAAA jin n 且且则则 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 n n APP 1 )( 1 )( n n AP 1 )( n P 0)( P . 0)( P 2. 性质性质 概率的有限可加性概率的有限可加性 证明证明 , 21 nn AA令令 ., 2 , 1, jijiAA ji 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 )( 21n AAAP)( 1 k k AP 1 )( k k AP0)( 1 n k k AP
39、 ).()()( 21n APAPAP 则有则有是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若,)2( 21n AAA ).()()()( 2121nn APAPAPAAAP ).()()(),()( ,)3( APBPABPBPAP BABA 则则且且为两个事件为两个事件设设 证明证明 B A ,BA 因为因为 ).(ABAB 所以所以 ,)( AAB又又 . )()()(ABPAPBP 得得 , 0)( ABP又因又因).()(BPAP 故故 ).()()(APBPABP 于是于是 ).(1)(,)5(APA PAA 则则的对立事件的对立事件是是设设 证明证明 , 1)(, SPAASAA因
40、为因为 ).(1)(APAP . 1)(,)4( APA对于任一事件对于任一事件 SA , 1)()( SPAP . 1)( AP故故 证明证明 )()(1AAPSP 所以所以 . )()(APAP ).()()()( ,)()6( ABPBPAPBAP BA 有有对于任意两事件对于任意两事件加法公式加法公式 证明证明 AB 由图可得由图可得 ),(ABBABA ,)( ABBA且且 ).()()(ABBPAPBAP 故故 又由性质又由性质 3 得得 因此得因此得 AB ),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况 )(
41、321 AAAP ).()( )()()()()( 32131 3221321 AAAPAAP AAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况 )( 21n AAAP nji ji n i i AAPAP 11 )()( ).()1()( 21 1 1 n n nkji kji AAAPAAAP 解解 ),()()1(BPABP 由图示得由图示得 . 2 1 )()( BPABP故故 )()()( )2( APBPABP 由图示得由图示得 . 6 1 3 1 2 1 . 8 1 )()3(;)2(;)1( .)( , 2 1 3 1 , ABPBABA ABP BA 互斥互斥与与
42、的值的值三种情况下三种情况下 求在下列求在下列和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件 BA S S A B 1例例 ,)3(BAABA 由图示得由图示得 ),()()()(ABPBPAPBAP 又又 ),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因而因而 . 8 3 8 1 2 1 , ABA且且 S A B AB ).()()(),()( ,)4( BPAPBAPBPAP BABA 则则且且为两个事件为两个事件设设 1. 频率频率 (波动波动) 概率概率(稳定稳定). n 2. 概率的主要性质概率的主要性质 , 1)(0) 1 ( AP; 0)(, 1)( PSP );(
43、1)()2(APAP );()()()() 3(ABPBPAPBAP 三、小结三、小结 Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,Russia Died: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia 柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料 Andrey Nikolaevich Kolmogorov 一、等可能概型一、等可能概型 二、典型例题二、典型例题 三、几何概率三、几何概率 四、小结四、小结 第四节第四节 等可能概型等可能概型(古典概型古典概型) . . )2( ; )1( 古典概型古典概型 验称为等可能概型或验称为等可能概型或
44、具有以上两个特点的试具有以上两个特点的试 生的可能性相同生的可能性相同试验中每个基本事件发试验中每个基本事件发 有限个元素有限个元素试验的样本空间只包含试验的样本空间只包含 1. 定义定义 一、等可能概型一、等可能概型(古典概型古典概型) 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成， A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件，且包含且包含 m 个样本点个样本点，则事则事 件件 A 出现的概率记为出现的概率记为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式 称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义. 3. 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸
45、球模型摸球模型 (1) 无放回地摸球无放回地摸球 问题问题1 设袋中有设袋中有4 只白球和只白球和 2只黑球只黑球, 现从袋中无现从袋中无 放回地依次摸出放回地依次摸出2只球只球,求这求这2只球都是白球的概率只球都是白球的概率. 解解 ,2只球都是白球只球都是白球摸得摸得设设 A 基本事件总数为基本事件总数为 , 2 6 A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为 , 2 4 2 6 2 4 )(AP故故. 5 2 (2) 有放回地摸球有放回地摸球 问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放 回地摸球回地摸球3次次,求前求前2次摸到次摸到黑球黑球、第第3次摸到红球次摸到红球 的概率的概率. 解解 3,2次摸到红球次摸到红球第第次摸到黑球次摸到黑球前前设设 A 第第1 1次摸球次摸球 10种种 第第2次摸球次摸球 10种种 第第3次摸球次摸球 10种种 6种种 第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种 第第2次摸到黑球次摸到黑球 4种种 第第3次摸到红球次摸到红球 基本事件总数为基本事件总数为 ,10101010 3
