1、 类型五类型五 二次函数与特殊平行四边形判定问题二次函数与特殊平行四边形判定问题 例 1、如图，抛物线 2 yxbxc 与直线 1 2 2 yx交于,C D两点，其中点C在y轴 上， 点D的坐标为 7 (3,) 2 。 点P是y轴右侧的抛物线上一动点， 过点P作PEx轴于点E， 交CD于点F. （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以, ,O C P F为顶点的四边形是平行四边形？ 请说明理由。 【解析】 （1）直线 1 2 2 yx经过点C,(0,2)C 抛物线 2 yxbxc 经过点(0,2)C，D 7 (3,) 2 2 27 27 33 2 2 c b bc
2、c 抛物线的解析式为 2 7 2 2 yxx （2）点P的横坐标为m且在抛物线上 2 71 ( ,2),( ,2) 22 P mmmF mm PFCO，当PFCO时，以, ,O C P F为顶点的四边形是平行四边形 当03m时， 22 71 2(2)3 22 PFmmmmm 2 32mm，解得： 12 1,2mm 即当1m或2时，四边形OCPF是平行四边形 当3m时， 22 17 (2)(2)3 22 PFmmmmm 2 32mm，解得： 12 317317 , 22 mm （舍去） 即当 1 317 2 m 时，四边形OCFP是平行四边形 例 2、如图，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x
3、轴相交于点 A（1，0） 、B（3，0） ，与 y 轴相交于点 C，点 P 为线段 OB 上的动点（不与 O、B 重合） ，过点 P 垂直于 x 轴的直线与抛物线及线 段 BC 分别交于点 E、F，点 D 在 y 轴正半轴上，OD=2，连接 DE、OF （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形 ODEF 是平行四边形时，求点 P 的坐标； 【解析】解： （1）点 A（1，0） 、B（3，0）在抛物线 y=ax2+bx+3 上， ， 解得 a=1，b=2， 抛物线的解析式为：y=x2+2x+3 （2）在抛物线解析式 y=x2+2x+3 中，令 x=0，得 y=3，C（0，3） 设直线 BC 的解
4、析式为 y=kx+b，将 B（3，0） ，C（0，3）坐标代入得： ， 解得 k=1，b=3， y=x+3 设 E 点坐标为（x，x2+2x+3） ，则 P（x，0） ，F（x，x+3） ， EF=yEyF=x2+2x+3（x+3）=x2+3x 四边形 ODEF 是平行四边形， EF=OD=2， x2+3x=2，即 x23x+2=0， 解得 x=1 或 x=2， P 点坐标为（1，0）或（2，0） 例 3、如图，抛物线 3 2 bxaxy 与 y 轴交于点 C，与x轴交于 A、B 两点， 3 1 tanOCA ， 6 ABC S （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式及顶点坐标； （
5、3）设点 E 在x轴上，点 F 在抛物线上，如果 A、C、E、F 构成平行四边形，请写出点 E 的坐标（不必书写计算过程） 【解析】解： （1） 3 2 bxaxy C (0,3) 1 分 又tanOCA= 3 1 A（1，0）1 分 又S ABC=6 63 2 1 AB C A B O y x AB=4 1 分 B（3，0）1 分 （2）把 A（1，0） 、B（3，0）代入3 2 bxaxy得： 3390 30 ba ba 1 分 1a，2b 32 2 xxy2 分 4) 1( 2 xy 顶点坐标（1，4）1 分 （3）AC 为平行四边形的一边时 E1析(1，0) 1 分 E2（27，0）1
6、 分 E3（27，0）1 分 AC 为平行四边形的对角线时 E4（3，0）1 分 例 4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0） 、B（0，3） ，点 P 是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t （1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式 （2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM，当线段 PM 最长时，求ABM 的面积 （3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 【解析】 ： （1）分别利用待定系数法
7、求两函数的解析式：把 A（3，0）B（0，3）分别代入 y=x2+mx+n 与 y=kx+b，得到关于 m、n 的两个方程组，解方程组即可； （2）设点 P 的坐标是（t，t3） ，则 M（t，t22t3） ，用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标 得到 PM 的长，即 PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到 当 t= 3 2 时，PM 最长为= 9 4 ，再利用三角形的面积公式利用 SABM=SBPM+SAPM计算即可； （3）由 PMOB，根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四 边形为平行四边形，然后讨论：当 P 在第四象限：
8、PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可 能；当 P 在第一象限：PM=OB=3， （t22t3）（t3）=3；当 P 在第三象限：PM=OB=3， t23t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值 【答案】解： （1）把 A（3，0）B（0，3）代入 y=x2+mx+n，得 解得，所以抛物线的解析式是 y=x22x3 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b， 把 A（3，0）B（0，3）代入 y=kx+b，得，解得， 所以直线 AB 的解析式是 y=x3； （2）设点 P 的坐标是（t，t3） ，则 M（t，t22t3） ， 因为 p 在第四象限， 所以 PM=（t3）（t22
9、t3）=t2+3t， 当 t= 3 2 时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为= 9 4 ， 则 SABM=SBPM+SAPM= （3）存在，理由如下： PMOB， 当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形， 当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有 9 4 ，所以不可能有 PM=3 x y A O C B （第 5 题图） x y A O C B （第 5 题图） N P N M H M 当 P 在第一象限： PM=OB=3， （t22t3） （t3） =3， 解得 t1=， t2=（舍 去） ，所以 P 点的横坐标是； 当 P 在第三象限：PM=OB
10、=3，t23t=3，解得 t1=（舍去） ，t2=，所以 P 点的横坐标是 所以 P 点的横坐标是或 例 5、如图，抛物线经过 5 ( 1,0), (5,0),(0,) 2 ABC三点. (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； (3)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为 平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】解： （1）设抛物线的解析式为 2 yaxbxc， 根据题意，得 0, 2550, 5 . 2 abc abc c ， 解得 1
11、, 2 2, 5 . 2 a b c 抛物线的解析式为： 2 15 2. 22 yxx (3 分) （2）由题意知，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B,连接 BC 交抛物线的对称轴于点 P，则 P 点 即为所求. 设直线 BC 的解析式为ykxb， 由题意，得 50, 5 . 2 kb b 解得 1 , 2 5 . 2 k b 直线 BC 的解析式为 15 . 22 yx (6 分) 抛物线 2 15 2 22 yxx的对称轴是2x， 当2x时， 153 . 222 yx 点 P 的坐标是 3 (2,) 2 . (7 分) （3）存在 (8 分) (i)当存在的点 N 在 x 轴的下方时
12、，如图所示，四边形 ACNM 是平行四边形，CNx 轴， 点 C 与点 N 关于对称轴 x=2 对称，C 点的坐标为 5 (0,) 2 ，点 N 的坐标为 5 (4,). 2 (11 分) （II）当存在的点 N在 x 轴上方时，如图所示，作 N Hx轴于点 H，四边形 ACM N 是平行四边形， ,ACM NN M HCAO, RtCAO Rt N M H, N HOC. 点 C 的坐标为 55 (0,), 22 N H,即 N 点的纵坐标为 5 2 ， 2 155 2, 222 xx即 2 4100 xx 解得 12 214,214.xx 点 N的坐标为 5 (214, ) 2 和 5 (214, ) 2 . 综上所述，满足题目条件的点 N 共有三个， 分别为 5 (4,). 2 ， 5 (214, ) 2 ， 5 (214, ) 2 (13 分)
