1、2021届高三年级第一学期期中调研考试 数学试题 7. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是飞，经 1 I 过一定时间t后的温度为T, 则T-兀（笃兀）(-)h, 其中兀称为环境温度，h称 2 为半衰期现有 一杯用90c热水冲的速溶咖啡，放在26C的房间，如果咖啡降到 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效 3. 考试结束后，将答题卡交回 一
2、、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项 中，只有 一 项是符合题目要求的） 1. 集合A =x 1-4 x 2, B = x I x2 -x-6 bcB. bacC. cabD. cba log IX, . X 1, 5, 函数f(x)- 2 则满足f(J)O , yO, 若-+y=l, 则x+-的最小值是 X y 42c需要20分钟，那么此杯咖啡降温到34c时还需要 A. 6分钟 B. 8分钟 C.10分钟 D. 20分钟 8. 已知球0是正三棱锥S -ABC的外接球，侧棱SA =2, 底边BC=.fi, 过BC作球0 的截面，则所得截面圆面积的取值范围
3、是 2兀 A. 司 五4 B. - 玩4兀 3 4 3 ，兀 C. -, 兀 4 D. 比一 二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中， 有多项是符合题目要求全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 若abO, 则 A. 2 B. 4 C. 6 S数学试题第1页共4页 D. 8 A. ac 2 bc 2 B. a 2 ab一 a b 兀 D. 将f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)= sin(2x+ 兀 ）的图象 6 6 11. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A心C1D1中， E, F分别是BC, A1D1的中点 下列结论正确的是
4、 A. 四边形B1FDE是菱形 B. 直线A1C与C1D所成角为90 C. 直线AD与平面B1FDE 所成角的正弦值为正 3 D. 点A1到平面BC1D的距离为a 3 12. 关于函数f(x)=e讨cosx+2, 下列说法正确的是 A. f(x)是以加为周期的函数 兀 C. f(x)在 ( 0,-)上为增函数 4 S数学试题第2页共4页 B1 B F D1 E C B. y =f(x) -,2在-2兀，2兀内有4个零点 D. f(x)在(-10兀，10兀）内有18个极值点 2021届高三年级第一学期期中调研考试 数学试题 7. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是
5、飞，经 1 I 一 过定时间t后的温度为T, 则T-兀（笃兀 ）(- )h, 其中兀称为环境温度，h称 2 一 为半衰期现有 杯用90c热水冲的速溶咖啡，放在26C的房间，如果咖啡降到 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效 3. 考试结束后，将答题卡交回 一 、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项 中，只有 一 项是符合题目要求的）
6、1. 集合A =x 1-4 x 2, B = x I x2 A.(-4,2) B. (-2, 3) -x-6 bcB. bacC. cabD. cba log IX, . X 1, 5, 函数f(x)- 2 则满足f(J)O , yO, 若- +y=l, 则x+ 的最小值是 X y 42 c需要20分钟，那么此杯咖啡降温到34c时还需要 A. 6分钟 B. 8分钟 C.10分钟 D. 20分钟 8. 已知球0是正三棱锥S -ABC的外接球，侧棱SA =2, 底边BC=.fi, 过BC作球0 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 2兀 五4 比 兀 343 ， A. 司 B. - 兀 C. -
7、, 兀 4 D. 玩4 一 二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中， 有多项是符合题目要求全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 若abO, 则 A. 2 B. 4 C. 6 S数学试题第1页共4页 D. 8 A. ac 2 bc 2 B. a 2 ab D. a b D. ( 兀 将f(x)的图象向右平移 个单位，得到gx)= sin(2x+ 兀 ）的图象 66 11. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A心C1D1中， E, F分别是BC, A1D1的中点 下列结论正确的是 A. 四边形B1FDE是菱形 B. 直线A1C与C1D所成
8、角为90 正 3 C. 直线AD与平面B1FDE 所成角的正弦值为 D. 点A1到平面BC1D的距离为 3 a ( 12. 关于函数fx)=e讨cosx+2, 下列说法正确的是 A. f(x)是以加为周期的函数 C. 兀 f(x)在 ( 0,-)上为增函数 4 S数学试题第2页共4页 B1 B F D1 E C ( B. y =fx) -,2在-2兀，2兀内有4个零点 D. f(x)在(-10兀，10兀）内有18个极值点 三、 填空题（本大题共4个小题， 每小题5分， 共20分） 13.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当xO时，j(x) =eX, 则f(l) = A . 五sin(a+鸟
9、4 14.已知tana=3, 则 +tan2a= A . 2sina-cosa 1s: 我国古代数学经典九章算术中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样 一个问题：“今有圆材埋在壁中， 不知大小 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径 几何？ ” 其意为： 今有 一圆柱形木材， 埋 在墙壁中， 不知其大小，用锯去锯该材料， 锯口深1寸，锯道长1尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长 为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部 分为镶嵌在墙体内的部分）已知弦 AB=l尺，弓形高CD=l寸， 则该木材镶嵌在墙中的体积约为 立方寸 5 （结果保留整数）（注： 1丈 =10尺 =100寸，
10、兀3, sin22.6 ) 13 16. 在 LABC中，A=60,AB = 4 ,AC = 3, D是AC边的中点， 点 E在 AB边上，且 AE = 2 .!_EB , BD与CE交于点M, N是BC的中点，则Aif.Aif的值为 A . 四、解答题（本大题共6个小题， 共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分10分） 在CDa=- 石 b, a sin B = ./3 , a + c = 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题 2 中，若问题中的三角形存在，求LABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题 ： 是否存在i6.ABC ,它的内角A,
11、B, C的对边 分 别为 a, b, C , 且 i i sin 2 A=sin 2 B+sn 2 C-snBsinC, b+c=S, . 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 18. C本小题满分12分） 已知关千x的不等式(a-1) x2 + (a -1) x + 20的 解集为 A. (1)当a=O时，xE A是 m-lxm+l的必要条件，求m的取值范围； (2)若A=R,求a的取值范围 19. (本小题满分12分） 已知al ,函数J(x)=2x33(a+l)x2+6ax. (1)若a=2,求f(x)在区间O, 3上的最大值； (2)求函数J(x)的单调递增区间 20. (本
12、小题满分12分） 已知向量=(cosa,1 + sin a), b = (1 + cosa,sina) , a E O, 兀 (1) . 若l a+bl= 2, 求sina-cos a的值； (2) . . 设c=(-cosa,m+sina), mER, 求(a+c) b的最大值 2 1. (本小题满分12分） 已知四棱锥P-ABCD中，AB.l_AD, PA.l_PD, 平面PAD.l_平面ABCD. (1)求证： 平面PAB.l_平面PCD; - 1 (2) 若BCIIAD, AB=BC= AD=l , AP=Ji, 求钝二面角A-PC-D的余弦值 2 22. (本小题满分12分） 已知函
13、数 f(x)= 2xlnx+ 3 - x-2(a-l)x 2 , g(x) = ax3 - 1 x, a ER.22 (1)若曲线y=g(x)在点 (x。,g(x。)处的切线方程为y=x-2, 求a的值； ( 2)若f(x)g(x)恒成立，求整数a的最小值 c S数学试题第3页共4页 S数学试题第4页共4页 三、 填空题（本大题共4个小题， 每小题5分， 共20分） 13.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0，得到 x1a 所以( )f x的单调递增区间是(,1)，( ,)a 12 分 20解： （1）因 22 (1 2cos ,1 2sin),(1 2cos )(1 2sin)abab
14、 64(sincos ), 2 3 sincos 4 2 1 2 分 两边平方得 9 1 2sincos 16 4 1 ， 4 3 cossin22sin 4 分 则(, ) 2 ，sincos0， 又, 4 7 4 3 1cossin21)cos(sin 2 故sincos 2 7 6 分 （2）因(0,12sin ),acm 2 ()2sin(1)sin ,acbm 令sin,0,1tt，令 2 22 1(1) ( )212(), 48 mm g ttmtt 法一：对称轴为 1 4 m t 当 11 , 42 m 即3m 时， max ( )(1)3.g tgm 当 11 , 42 m 即
15、3m 时， max ( )(0)0.g tg 综上：当3m 时，最大值为3;m当3m 时，最大值为0.12 分 法二：(1)3gm，(0)0g. 当(1)3gm(0)0g时，即3m 时，最大值为3;m 当(1)3gm(0)0g时，3m 时，最大值为0. 数学 第 3 页 共 4 页 21解：(1)证明：因为平面 PAD平面 ABCD， 平面PAD平面ABCD=AD，ABAD ，AB平面ABCD 所以AB平面PAD又PD平面PAD， 所以PDAB，2分 又PDPA，ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB 所以 PD平面 PAB ，又 PD 平面 PCD 所以平面PAB平面PCD 4分 (2)
16、过A在平面内PAD作AzAD，则Az平面ABCD 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A- xyz， 则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)， 设P(0，a，b) (a0，b0) 所以 AP (0，a，b)， DP(0，a2，b)， AC(1,1,0) ， CD (1，1,，0) 因为PAPD，所以 AP DPa(a2)b20 又3AP ，所以 a2b23 所以 33 22 ab， 6 分 所以 AP (0，3 2 ， 3 2 b) 设平面APC的法向量为n(x1，y1，z1)， 则 nAP 0， nAC 0， 即 11 11 33 0 22 0 yz xy ，令x11
17、，得y11，z13， 所以平面APC的一个法向量为n(1，1，3)， 8分 设平面DPC的法向量为m(x2，y2，z2) 则 mDP 0， m CD 0， 即 22 22 13 0 22 0 yz xy ，令x21，得y21，z2 3 3 ， 所以平面DPC的一个法向量为m(1，1， 3 3 ) 10分 所以cos m n |m|n|= 1105 357 5 3 11分 所以所求二面角与向量夹角相等或互补，由图形知， 二面角A- PC- D的余弦值为 105 35 12分 22解： （1）因为 2 1 ( )3, 2 g xax所以 2 00 1 ()3, 2 g xax 因为 3 000 1
18、 (), 2 g xaxx所以 2 0 3 000 1 31, 2 1 2, 2 ax axxx 得 0 2 . 1 8 x a 所以a= 1 . 8 4 分 （2）因为( )( )f xg x恒成立，所以 2 22ln2(1)axxax 整理得， 2 (2)2(ln1)axxxx， z x y P A B C D 数学 第 4 页 共 4 页 因为0 x，所以 2 2(ln1) 2 xx a xx 在(0,)上恒成立， 6 分 令 2 2(ln1) ( ) 2 xx h x xx ，则 22 2(1)(2ln) ( ) (2) xxx h x xx ， 令 ( )2lnxxx ，则 ( )
19、x 在(0, )上单调递增， 又 11 ( )2ln20 22 ，(1)10 ，所以( ) x在 1 ( ,1) 2 上有唯一零点，8 分 即存在 0 1 ( ,1) 2 x ，使得 000 ()2ln0 xxx， 所以( ) h x在 0 (0,)x单调递增，在 0 (,)x 单调递减， 所以( ) h x在 0 xx处取得极大值，也是最大值， 所以 0 max 2 000 +21 ( )= 2 x h x xxx ，所以 0 1 a x ， 10 分 又 0 1 (1,2) x ，且a为整数，所以a的最小整数为 2 12 分 法二：因为 23 31 2 ln2(1)0 22 xxxaxax
20、x-+, 所以 2 2ln(1)20 xaxax-2-+ ， 令 2 ( )2ln(1)2h xxaxax-2-+， 则 2(1)(1) ( ) axx h x x 6 分 当0a时，( ) h x在(0,)单调递增， 因为(1) 40h 与( )0h x 矛盾，舍去； 7 分 0a ( )h x在(0,)单调递增， 因为(1) 430ha 与( )0h x 矛盾，舍去； 8 分 当0a时，( ) h x在 1 (0, ) a 单调递增，在 1 ( ,) a 单调递增， 所以 max 11 ( )( )2ln0h xha aa ，所以2 ln10aa ， 令 ( )2 ln1m aaa，令( )0m a 得 1 a e ， 则 ( )m a在 1 (0, ) e 单调递减，在 1 ( ,+ ) e 单调递增， 因为a是整数，且 (1)0,m(2)4ln2 10m 所以a的最小整数为 212 分
