1、 1 2020-2021学年第一学期八县（市）一中期中联考 高中 二二 年 数学数学 科试卷 命题学校： 永泰一中 命题教师： 叶长春 审核教师： 张华伟 张慧敏 考试时间：11 月 12 日 完卷时间：120 分钟 满分：150 分 第卷第卷 一、一、单项单项选择题（本大题选择题（本大题共共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的分在每小题给出的 四个选项中，只有一项四个选项中，只有一项是是符合题目要求符合题目要求的的 ） ） 1. 某单位有业务员和管理人员构成的职工 160 人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量 为 20 的样本，若样本中管理人员
2、有 7 人，则该单位的职工中业务员有多少人（ ） A. 32 人 B. 56人 C. 104 人 D. 112人 2. 袋内装有 8 个红球、2 个白球，从中任取 2 个，其中是互斥而不对立 的两事件是（ ） A. 至少有一个白球；全部都是红球 B. 至少有一个白球；至少有一个红球 C. 恰有一个白球；恰有一个红球 D. 恰有一个白球；全部都是红球 3. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭 圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点， 焦点 1 F, 2 F在x轴上，椭圆C的面积为2 3，且离心率为 1 2 ，则C的标准方
3、程为（ ） A. 22 1 43 xy B. 2 2 1 12 x y C. 22 1 34 xy D. 22 1 163 xy 4. 在区间 2 1 , 2 1 上任取一个数k，使直线(3)yk x与圆 22 1xy相交的概率为( ) A 1 2 B 2 4 C 2 3 D 2 2 5. 永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据 图中的数据可得该椭圆的离心率为( ) A.2 5 B. 3 5 C. 2 3 5 D.2 5 5 6. 已知双曲线 C： 22 22 1 yx ab (a0，b0)，斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的 ,A B两点，且线段AB的中点为 P(2,4)，则
4、双曲线的渐近线方程为（ ） A.2yx B. 1 2 yx C. 2yx D. 2 2 yx 7. 第七届世界军运会于 2019年 10 月 18日至 27日在中国武汉举行.某电视台在 19 日至 24 日六天中共有 7 场直播（如下表所示） ，张三打算选取其中的三场观看.则观看的任意两场 2 直播中间至少间隔一天（如第一场 19日观看直播则 20 日不能观看直播）的概率是（ ） 日期 19 日 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 时间 全天 全天 上午 下午 全天 全天 全天 内容 飞行比赛 击剑 射击 游泳 篮球 定向越野 障碍跑 A 35 8 B 35 6 C 7 1 D
5、35 4 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点 12 ,F F，,P Q分别是它们的在第一象限和第三象限的 交点，且 2 =60QF P，记椭圆和双曲线的离心率分别为 12 ,e e，则 22 12 31 ee 等于( ) A4 B2 3 C2 D3 二二、多项多项选择题（选择题（本大题本大题共共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分在每小题给出的四在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求个选项中，有多项符合题目要求. .全部选对得全部选对得 5 5 分，漏选得分，漏选得 3 3 分，错选得分，错选得 0 0 分分. .） 9.某校对甲、乙两个数学兴趣小组
6、的同学进行了知识测试，现 从两兴趣小组的成员中各随机选取 15人的测试成绩（单位： 分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣 小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（ ） A.甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分. B.甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散 C.甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数. D.甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数. 10.下列说法中错误 的是（ ） A.“8m”是“椭圆 22 1 4 xy m 的离心率为 2 2 ”的充要条件 B.设, x yR，命题“若 22 0 xy，则0 xy
7、”是真命题； C.“42k ”是“方程 22 1 4+2 xy kk 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件 D.命题“若3x ，则 2 430 xx”的否命题是真命题 11. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中 记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组 对应数据如右表，现发现表中有个数据看不清，已知回 归直线方程为 6.36.8yx ,下列说法正确的是（ ） x 2 3 4 5 6 y 19 25 38 44 3 A. 看不清的数据的值为 34 B. 回归直线 6.36.8yx 必经过样本点（4，） C.回归系数 6.3 的含义是产量每增加 1 吨，相应的生产能耗实际增加 6.
8、3 吨 D.据此模型预测产量为 7吨时，相应的生产能耗为 50.9吨 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的离心率为 5 2 ，抛物线 2 4 5yx的准线过双曲线的左焦点，A，B 分别是双曲线 C 的左，右顶 点，点 P 是双曲线 C 的右支上位于第一象限的动点，记 PA，PB 的斜率分别为 1 k， 2 k， 则下列说法正确的是 （ ） A双曲线 C 的渐近线方程为 y2x B双曲线 C 的方程为 2 2 1 4 x y C 1 k 2 k为定值 1 4 D存在点 P，使得 1 k 2 k2 第卷第卷 三三、填空题（本大题共、填
9、空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .） 13.某印刷厂的工人师傅为了了解 112 个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印 张进行检查，为此先对 112 个印章进行编号为：01,02,03,112，已知抽取的印张中最 小的两个编号为05,13，则抽取的印张中最大的编号为_ 14. 已知命题“ 2 ,(1)10 xR xax ”是真命题，则 a 的取值范围为_. 15.如图所示，抛物线形拱桥的跨度是 20 米，拱高是 4 米，在建桥时，每隔 4 米需要用 一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为_米. 16. 已知抛物线 2 4yx的焦点为
10、F，抛物线的准线与x轴的交点 为K，点A （2,4），过点F的动直线l与抛物线交于,M N不同 的两点，点M在y轴上的射影为点B，设直线KM KN,的斜率分别为 1 k和 2 k.则 MAMB的最小值为_， 12 kk的值为_.（第一空 3 分，第 二空 2 分） 4 四四、解答题（本大题、解答题（本大题 6 6 小题，共小题，共 7 70 0 分分. . 解答应写出文字说明、证明过程或演解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤. .） 17.（本小题满分 10 分） 已知命题 p：对于任意xR，不等式 2 44210 xmx 恒成立 命题q：实数 m 满足的方程 22 1(0) 2m
11、x maa y a 表示双曲线； （1）当2a 时，若“p或q”为真，求实数m的取值范围. （2）若p 是q 的充分不必要条件，求 a的取值范围 18. （本小题满分 12 分） 已知双曲线 C 的离心率为 2 3 3 ，点2 3,1在双曲线上，且抛物线 2 2ypx（0p ） 的焦点 F 与双曲线的一个焦点重合. （1）求双曲线和抛物线的标准方程； （2）过焦点 F 作一条直线 l交抛物线于 A，B两点，当直线 l的斜率为3时，求线段 AB的长度. 19 （本小题满分 12 分） 小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水 笔在某周的周一至周五的销售量及单支
12、售价进行了调查，单支售价 x元和销售量 y 支之间 的数据如下表所示： 星期 1 2 3 4 5 单支售价 x（元） 1.4 1.6 1.8 2 2.2 销售量 y（支） 13 11 7 6 3 （1）根据表格中的数据，求出 y 关于 x的回归直线方程； （2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为 18 支时，单支售价应定为多少元？如 果一支水笔的进价为 0.56 元，为达到日利润（日销售量单支售价日销售量单支进 价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？ （其中：回归直线方程abxy , 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx ， 5 1 67 ii i x y
13、 ， 5 2 1 16.6 i i x ） 5 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆C： 22 22 1 xy ab (0ab)的左右焦点分别为 12 F F,，焦距为 2，且经过点 Q 2 1 2 （，）.直线l过右焦点且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A，B， 线段AB的中点为M. （1）点P在椭圆C上，求 12 PF PF的取值范围； （2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值； 21 （本小题满分 12 分） 为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中 使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分， 具体方案如下： A 等级，排名等级占比 7%，分数区间是 83
14、-100； B 等级，排名等级占比 33%，分数区间是 71-82； C 等级，排名等级占比 40%，分数区间是 59-70； D 等级，排名等级占比 15%，分数区间是 41-58； E 等级，排名等级占比 5%，分数区间是 30-40； 现从全年段的生物成绩中随机抽取 100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率 分布直方图如图所示： （1）求图中 a 的值； （2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分 后的 C等级及以上（含 C等级）？ （3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在40,50) 和50,60)内的学生中共抽取 5人， 查看他们的答题情况
15、来分析知识点上的缺漏，再从中选取 2 人进行调查分析，求这 2 人 中至少一人原始成绩在40,50)内的概率. 6 22 （本小题满分 12 分） 如图所示，已知圆16) 1( : 22 1 yxF上有一动点Q，点 2 F的坐标为)0 , 1 (，四边形 RFQF 21 为平行四边形，线段RF1的垂直平分线交RF2于点P，设点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）过点 2 F的直线l与曲线C有两个不同的交点,A B，问是否存在实数，使得 2222 AFBFAFBF成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 7 20202020- -20212021 学年第一学期八县（市）一中期中
16、联考学年第一学期八县（市）一中期中联考 高二数学参考答案高二数学参考答案 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1-5：C D A D B 6-8:C B A 二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分） 9.AC 10.ABD 11.AD 12.BCD 三、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、109 14、13,) （， 15、 96 25 (可写成 3.84) 16、171，0 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、解：（1）若命题 p为真命题，则 2 16(2)160m ，解得 13m1分 当2a 时，命题q：
17、24m 2 分 因为 p或q为真，所以p真或q真 3 分 所以：13m或24m得：14m 5分 （2）若命题q为真命题，则2ama6 分 因为p 是q 的充分不必要条件，所以 q 是 p的充分不必要条件7分 所以： 1 23 a a 得： 3 1 2 a 9 分 经检验符合，所以 a 的取值范围为： 3 1, 2 10分 18、解：（1）设双曲线的方程为 22 22 1 xy ab （0a，0b）， 由题设 2 3 3 c a 1 分 所以 3 3 b a ，又点 2 3,1在双曲线上，所以 22 121 1 ab 2分 由解得 2 9a ， 2 3b 3 分 故双曲线标准方程为 22 1 9
18、3 xy ；4分 设双曲线的焦距为2c，因为 222 12cab，得2 3c ， 所以抛物线焦点为2 3,0F，即2 34 3 2 p p 5 分 8 所以抛物线的标准方程为 2 8 3yx 6分 （2）设直线32 3yx交抛物线于 11 ,A x y， 22 ,B x y， 联立 2 32 3 8 3 yx yx 得 2 320 3360 xx 8分 则1200 4 3 360 故 12 20 3 3 xx 由抛物线定义知 1 2 p AFx， 2 2 p BFx10 分 所以 12 20 332 3 4 3 33 ABxxp12分 19、解： （1）因为 1 (1.4 1.6 1.822.
19、2)1.8 5 x 1 分 1 (13 11763)8 5 y 2 分 所以 5 1 52 22 1 5 675 1.8 8 = 12.5 16.65 1.8 5 ii i i i x yx y b xx 4 分 则8( 12.5) 1.830.5aybx 5 分 所以，回归直线方程为12.530.5yx 6 分 （2）当18y 时，1812.530.5x，得1x 8 分 假设日利润为)L x（，则：)(0.56)(30.5 12.5 )L xxx（，0.562.44x10 分 当=1.5x元时，有 max )Lx（。11 分 答：单支售价为 1元时，销售量为 18件；为使日利润最大，单支定价
20、为 1.5元。12分 9 20、解： （1）因为焦距22c ，则1c，所以左焦点 1 1,0F （-），右焦点 21,0 F （）1分 则 2222 12 22 2 1 ( 1)(0)( 1 1)(0)2 2 22 aQFQF 2 分 所以 2a ，所以 22 2,1ab，所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y.3 分 设点, )P x y（，则 22 222 12= 1,) 1,)11 1 22 xx PF PFxyxyxyx （5 分 因为2, 2x ，所以 12 PF PF的取值范围为：0,16 分 （2）设直线l的方程为1yk x(0k ) 联立 2 2 1 2 10 x y yk x
21、k 消去y得 2222 214220kxk xk 8 分 其中： 2 210k ，0 ，不妨设 11 ,A x y， 22 ,B x y ，M为线段AB的中点 则 2 12 2 4 21 k xx k += + ， 9 分 所以 2 12 2 2 221 M xxk x k ， 2 1 21 MM k yk x k 10 分 所以 1 2 M OM M y k xk 所以 11 22 OMl kkk k 为定值. 12 分 21、解： （1）由题意0.010 0.015 0.015 a 0.025+0.00510 1 2 分 所以 a 0.030 ；3 分 （2）由已知等级达到 C 及以上所占
22、排名等级占比为 7%+33%+40%=80%4 分 假设原始分不少于 x 分可以达到赋分后的 C 等级及以上，则有： （0.010 0.015 0.015 10+（x-80） 所以 x=84(分) 6分 答：原始分不少于 84分才能达到赋分后的 C等级及以上 7分 （3）由题知评分在40,50和50,60)内的频率分别为 0.1 和 0.15， 则抽取的 5 人中，评分在40,50内的有 2 人，评分在50,60)的有 3 人8 分 记评分在50,60)内的 3 位学生为 a，b，c， 评分在40,50内的 2 位学生为 D，E， 10 则从 5 人中任选 2 人的所有可能结果为：a,b，a,
23、 c，a, D，a, E， b,c，b, D，b,E，c, D，c,E，D,E共 10 种；10 分 其中，这 2 人中至少一人评分在40,50) 内可能结果为：a, D，a, E， b, D，b,E，c, D，c,E，D,E，共 7 种； 11 分 所以这 2 人中至少一人评分在40,50的概率为：P 7 10 12 分 22、解： （1） 2112221 4FFQFRFPFPRPFPF1分 所以点P的轨迹 C是以 21F F为焦点，以 4为长轴长的椭圆 所以42 a得2a，半焦距1c 2 分 所以 222 1bac3，轨迹C的方程为： 22 1 43 xy 3 分 经检验，轨迹C的方程为：
24、 22 1 43 xy ( 0y).4 分 （2）显然直线l的斜率不为 0，设直线l的方程为1xmy， 5分 由 22 1 43 1 xy xmy 消去x得 22 34690mymy 6 分 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m 8 分 不妨设 1 0y ， 2 0y ， 22 2222 2111111 11 11 |1|AFxymyymymy ， 同理 22 222 11BFmymy 9 分 所以 222 2212 12 1111111 111 AFBFyy mymym 2 2112 21 22 1212 4 11 11 yyy y yy y yy y mm 11 2 22 2 2 69 4 343414 9 3 1 34 m mm m m 11 分 即 2222 4 | 3 AFBFAFBF， 所以存在实数 4 3 使得 2222 AFBFAFBF成立. 12 分
