1、高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 8 平面平面向量向量 例 1：如图，已知，若点满足， 则（ ） A B C D 【答案】D 【解析】因为，所以， 整理得到，所以，故选 D 例 2：如图，在中，在线段上，设， ，则的最小值为_ 【答案】 【解析】， 由图可知均为正数 又三点共线，则， OABC 2ACCB ,OCOAOB R 11 1 3 2 3 2 9 9 2 2ACCB 2OCOAOBOC 12 33 OCOAOB 1 3 2 3 119 2 ABCADDBFCDAB aAC b AFxyab 14 xy 64 2 2AFxyxAB
2、yACxADyACab xy， ,C F D21xy 1、平面向量基本定理 2、平面向量基本定理的应用 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 则 例 3：已知，则向量，的夹角为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】设向量，的夹角为， 由题可知，两边平方可得， 又，所以， 所以， 又，所以，故选 B 例 4：已知点是边长为 2 的正内一点，且，若， 则的最小值为_ 【答案】 【解析】取的中点，以点为坐标原点， 、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则点、， 14148 22464 2 yx xy xyxyxy | 1OA | 2OB
3、 uu u r |3OAOB OAOB 6 3 4 2 3 OAOB |3OAOB 22 23OAOOBAOB | 1OA | 2OB uu u r 1OA OB 1 cos 2 OA OA OB OB 0, 3 MABCAMABAC 1 3 MB MC 1 3 BCOO OCOA xyxOy 0, 3A1,0B 1,0C 3、向量的数量积 4、平面向量的应用 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 设点， 且，则，可得， 由于点在正内，则，可得，则， ， ， 所以，当时，取最小值，故答案为 一、选择题 1设M是所在平面上的一点， ，D是的中
4、点， ，则实数t的值为（ ） ,M x y,3AMx y1,3AB 1,3AC AMABAC 1 3 33 1 3 x y 1 2 3 2 3 3 x y MABC 0 0 1 0 3 1 1 , 3 3 x 2 3 1, 3 MBx 2 3 1, 3 MCx 22 41 1 33 MB MCxx 0 x MB MC 1 3 1 3 ABC 33 22 MBMAMC 0AC tMBDM 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 A B C2 D1 【答案】B 【解析】因为D是的中点，所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，故选 B 2已知菱
5、形的边长为4，是的中点， 则（ ） A24 B C D 【答案】D 【解析】由已知得， 所以， 因为在菱形中，所以 又因为菱形的边长为4， 所以， 所以 1 2 1 3 AC 2MA MCMD 33 22 MBMAMC 0 11 + 1 323 MBMAMCMB MD 0（） 1 3 MBDM tMBDM 1 3 t ABCD60ABCEBC2DFAF AE BF 71012 1 3 AFAD 1 2 BEBC ADBC 11 22 AEABBCABAD 1 3 BFAFABADAB ABCD60ABC120BAD ABCD 1 | |cos120448 2 AB ADABAD 22 1111
6、 | 2366 AE BFABADABADABAB ADAD 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 ， 故选 D 3在直角中，点P是斜边AB上一点，则 （ ） A B C D 【答案】D 【解析】由，知， ，故选 D 4 在正方形中，为边上一点， 且， 则 （ ） A B C D 【答案】A 【解析】因为， 所以 因为，所以，所以， 故，故选 A 5 三角形所在平面内一点P满足， 那么点P是三角形 的（ ） A重心 B垂心 C外心 D内心 【答案】B 【解析】由于三角形所在平面内一点 P 满足， 则， 11 16( 8)1612 66 AB
7、C2CACB2BPPA CP CA CP CB 4224 2BPPA 12 33 CPCBCA 221212 4 3333 CP CACP CBCBCACACBCBCA ABCDECD60ABE 9AB AC uu u r uuu r AB BE uuu r uur 3 33 33 63 6 2 22 |2 |9 22 AB ACAB ACABABAB 3AB 60ABE30CBE2 3BE 3 2 3 cos1203 3AB BE ABC PA PBPB PCPC PA ABC ABC PA PBPB PCPC PA 0PAPBPC 0PBPAPC 0PCPBPA 高中数学探究 562298
8、495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 即有， 即有， 则点 P 为三角形的垂心，故选 B 6 在矩形中， 点P是以点C为圆心，2为半径的圆上的动点， 设，则的最小值为（ ） A1 B C2 D 【答案】B 【解析】如图，建立平面直角坐标系，故可得， 故点 P 在圆上， 设， 又，所以， 从而，故选 B 7在中，若 为的外心（即三角形外接 圆的圆心） ，且，则（ ） A B C D 【答案】D 【解析】设分别为的中点，连接， 0PA CB0PB CA0PC AB PACBPBCAPCAB ABC ABCD3AB4AD APABAD uu u ruu u ruuu r
9、7 6 8 3 3,4C0,0 ,3,0 ,0,4ABD 22 :344Cxy 2cos3,2sin4P3,0AB 0,4AD APABAD uu u ruu u ruuu r2cos33 2sin44 2157 cossin2sin2 3266 ABC2AB 3AC 5 cos 6 A OABC AOmABnAC 2nm 19 9 41 22 1 11 17 11 ,D E,AB AC,OD OE 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 则， 又，即， 同理， 因为，所以， 又，所以， 联立方程组，解得， 所以，故选 D 8在中，角的对边分
10、别为已知 ，且2 sincosaCB 5 sinsinsin 2 aAbBbC ， 点 O 满足， 则 的面积为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】如图所示， ，所以O为的重心， ODABOEAC ODADAO 11 2 22 m ODABmABnACABnAC 1 2 2 n OEAEAOACmAB 2 1 2 |0 2 m OD ABABnAB AC 12 450 2 m n 2 1 2 |0 2 n OE ACACmAB AC 12 950 2 n m 1 2 450 2 1 2 950 2 m n n m 9 22 8 11 m n 17 2 11 nm ABC , ,A B
11、C, ,a b c 2 5c OA OBOC0 3 cos 8 CAOABC 3 5 55 4 55 2 55 OA OBOC0 ABC 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 连AO并延长交BC与E， 则E为BC的中点， 延长AE至F， 使， 连BF，CF， 则四边形ABFC为平行四边形， ， ，即， 又因为，所以， ， 设，则， 在中由余弦定理得， 即，解得，即 又， ， 故选 D 二、填空题 9 在中， ， 则的值为_ 【答案】4 AEEF 5 2 sincossinsinsin 2 aCBaAbBbC2 5c 222 22 5 2 2
12、2 acb acabbc ac 5 2 cb 2 5c 4b 4BFAC 3 coscoscos 8 AFBCAECAO AEx2AFx ABF 2 22 cos 2 BFAFAB AFB BF AF 2 2 2 422 5 3 82 4 2 x x 2x2AE 2 955 sin1 cos1 648 CAECAE 155 22sin2 455 28 ABCAEC SSAEACCAE ABC60BAC4AB 6AC 2ABAD2AEEC2EFFD BF DE 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 【解析】由， 即有， 则 ， 故答案为4 1
13、0如图，在中，为的中点，若， 则_ 【答案】 【解析】， 所以， 故答案为 4AB 6AC 60BAC 1 4 6 cos602412 2 AB AC 111 () () 3 2 232 BF DEDFDBAEADDEABACAB 21121 96232 ACABABACAB 221 3 45 279 ACABAB AC 415 3616124 2739 ABCDAB 2DEEC BExAByAC xy 3 2 121252 232363 BEBDDEABDCABACADABAC 523 632 xy 3 2 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173
14、836 11如图，在四边形中，点分别是边的中点，延长 和交的延长线于不同 的两点，则的值为_ 【答案】0 【解析】如图，连AC，取AC的中点E，连ME，NE， 则分别为，的中位线，所以， 所以 由与共线，所以， 故 ， 答案0 12 如图， 在中， 点，分别在，上， 且， ABCD1ABCD ,M N,AD BC BACDNM,P Q()PQABDC ,ME NEADCCAB 1 2 ENAB 1 2 MEDC 1 () 2 MNMEENDCAB PQMN()PQMNR ()()() () 2 PQABDCMNABDCABDCABDC 22 ()0 2 ABDC ABC 3 2 ACBC MN
15、ACBC 1 3 AMAC 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 若与相交于点，则的取值范围是_ 【答案】 【解析】不妨设， 由于，三点共线，三点共线， 故由平面向量基本定理可设， ， ， ，解得， ， 1 2 BNBCBMANP CP AB 1 ( ,2) 5 2BC 3AC APNMPB (1)(1)CPCACNCCxyyBMx 1 3 AMAC 1 2 BNBC 2 (1)(1) 23 xy xy CBCBACPCAC 2 1 3 1 2 xy x y 1 2 3 4 x y 11 24 CPCACB 2 2 2 22 11 24 (
16、)() CACB CPCP ABCBCACBCA 22 22 111 | | cos 4164 2| | cos CACBCACBCA CB CACBCACBCA CB 911 3 2 cos 106cos 1 444 4 492 3 2 cos13 12cos CA CB CA CB CA CBCA CB 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 ， 又， ， ， 故答案为 13已知、是半径为5的圆上的点，若，则的取值范围是 _ 【答案】 【解析】记所对边长分别为， 由正弦定理得，即，所以， 由余弦定理， 时，时等号成立， 所以， 时，时等号
17、成立， 所以， 综上， 故答案为 12cos1333 11133 888 13 12cos13 12cos CA CB CA CBCA CB 1cos,1CA CB 2 11331 ()(,4) 8825 13 12cos, CP AB CA CB 1 ( ,2) 5 CP AB 1 ( ,2) 5 ABCM 6BC AB AC uu u r uuu r 8,72 , ,A B C, ,a b c 2 sin a R A 63 sin 22 55 a A R 4 cos 5 A 222 2cosabcbcA 4 cos 5 A 22 88 362 55 bcbcbcbc90bcbc 4 cos
18、9072 5 AB ACbcA uu u r uuu r 4 cos 5 A 22 88 362 55 bcbcbcbc10bcbc 4 cos108 5 AB ACbcA uuu r uuu r 8,72AB AC 8,72 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 14已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足：， 则的形状是 【答案】等腰三角形 【解析】， 由，即， 由四边形垂直平分可得的是等腰三角形 15已知点为三角形所在平面内的一点，且满足， ，则_ 【答案】 【解析】， ， 两边同时平方可得， ， 则 84 55 AB ACOBOAO
19、COAOBOAOAOB 228484484 00 5555555 OB OAOBOAOB OA ， 故答案为 16如图，在中，已知，若D为BC边上的任意一 点，M为线段AD的中点，则的最大值是_ 20ABACADBDCD ABC 2()()ADBDCDADDBADDCABACABACBC 20ABACADBDCD()BCABAC ABC OABC1OAOBOC 345OAOBOC0AB AC 4 5 1OAOBOC 345OAOBOC0 345OAOBOC 9 162425OA OB0OA OB 34 55 OCOAOB 4 5 ABC2AB 4AC 60A ()MBMCAD 高中数学探究 5
20、62298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 【答案】7 【解析】由余弦定理得， ， 所以以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ， ， 当时，的最大值，最大值是7，故答案为7 222 1 +2cos4+162 4 212 2 BCABACAC ABA 222 ACABBC ABBC (0,0)B(2 3,0)C(0,2)A(2 ,0)Dx ( ,1),03M xx (2 32 , 2)MBMCx(2 , 2)ADx 2 2 3 ()2 (2 32 )444 3447 2 MBMCADxxxxx 3 2 x ()MBMCAD 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836
