1、高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 19 圆锥圆锥曲线综合曲线综合 例 1：已知椭圆的离心率为，点，分别为椭圆的 右顶点，上顶点和右焦点，且 （1）求椭圆的方程； （2），是椭圆上的两个动点， 若直线与直线的斜率之和为 ， 证明， 直线 恒过定点 【答案】 （1）； （2）证明见解析 【解析】 （1）由题意得， 又，且， 由可得， 椭圆的方程为 （2）设， 若，则直线与直线的斜率之和等于 ，与题意不符， 可设直线方程为， 由，消去可得， ，化简得， 由韦达定理可得， 22 22 :1(0) xy Cab ab 3 2 AB 2 F 2
2、3 1 2 ABF S C EFAEAF1EF 2 2 1 4 x y 3 2 c e a 2 2 113 |()1 222 ABF SAFbac b 222 abc 2a1b3c C 2 2 1 4 x y 11 ( ,)E x y 22 (,)F xy 12 xx AEAF0 EF ykxb 2 2 1 4 x y ykxb y 222 (41)8440kxkbxb 222 (8)4(41)(44)0kbkb 22 410kb 12 2 8 41 kb xx k 2 12 2 44 41 b x x k 1、圆锥曲线的定点定值问题 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836
3、高中数学探究群 562298495 由题意可得，即， ， 即， 化简可得，或 当时，直线的方程为，恒过定点，经检验，不 合题意，舍去； 当时，直线的方程为，恒过定点 综上直线恒过定点 例 2：已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上 的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两 点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的纵坐标 的取值范围是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由题意可知，四边形为平行四边形，且不妨设双曲线的渐近线为： ，：， 设点， 则直线方程为， 且点到直线的距离 12 12 1 22 yy xx 12 12 1 22 kxbkxb x
4、x 1212 (21)(22 )()440kx xbk xxb 2 22 448 (21)(22 )440 4141 bkb kbkb kk (2)(21)0kbkb2bk21bk 2bkEF 2(2)ykxkk x(2,0) 21bkEF 21(2) 1ykxkk x (2, 1) EF (2, 1) 2 2 :1(0) y C xb b 1 F 2 F PC PCAB PAOBO 3 2 12 0PF PFP 22 (,) 22 33 (,) 22 ( 1,1) 3 3 (, ) 2 2 PAOBCOA ybx OB ybx ( , )P m n PB ()ynb xm POB 2 1 b
5、mn d b 2、圆锥曲线的最值和范围问题 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 由，解得， ， 设四边形的面积为，则， 又， 双曲线的标准方程为， ， 又，解得，故选 D 一、简答题 1已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直 线与圆相切 （1）求椭圆的方程； （2） 设斜率为且不过原点的直线 与椭圆相交于、 两点， 为坐标原点， 直线， 的斜率分别为，若，成等比数列，推断是否为定值？ 若是，求出此定值；若不是，说明理由 () ybx ynb xm 2 2 bmn x b nbm y (,) 22 bmn nbm B b 222 2
6、()()1 442 bmnnbmb OBbmn bb PAOBS 222 2 b mn SOB d b 2 2 2 1 n m b 2222 b mnb 3 22 b S 3b C 2 1 3 y x 1( 2,0) F 2(2,0) F 1 ( 2,)PFmn 2 (2,)PFmn 22 12 40PF PFmn 2 2 1 3 n m 2 2 140 3 n n 33 22 n 22 22 :1 xy C ab (0)ab 2 4 3yx b yx a 22 10200 xyx C klCABOOA OB 1 k 2 k 1 kk 2 k 22 |OAOB 高考内部特供精优资料 Word
7、版 1163173836 高中数学探究群 562298495 【答案】 （1）； （2）为定值，理由见解析 【解析】 （1）因为抛物线的焦点为，则，所以 因为直线与圆相切，则， 即，解得， 所以椭圆的方程是 （2）设直线 的方程为，点， 将直线 的方程代入椭圆方程，得， 即， 则， 由已知， 即，即， 所以，即 因为，则，即， 从而， 所以 为定值 2 2 1 4 x y 22 |OAOB5 2 4 3yx( 3,0)3c 22 3ab 0bxay 22 (5)5xy 22 5 5 b ba 22 4ab 2 4a 2 1b C 2 2 1 4 x y lykxm(0)m 11 ( ,)A x
8、 y 22 (,)B xy l 22 4()4xkxm 222 (41)8440kxkmxm 12 2 8 41 km xx k 2 12 2 44 41 m x x k 2 1212 12 1212 ()()y ykxm kxm kk k x xx x 2 1212 ()()k x xkxm kxm 2 12 ()0km xxm 22 2 2 8 0 41 k m m k 22 (1 4)0km 0m 2 1 4 k 1 2 k 12 2xxm 2 12 22x xm 2222222222 11221122 |()()OAOBxyxyxkxmxkxm 2222 1212 (1)()2()2k
9、xxkm xxm 222 121212 (1)()22()2kxxx xkm xxm 2222 5 42(22)225 4 mmmm 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 2已知双曲线的渐近线方程为，且过点，椭圆以双曲线的 虚轴为长轴，且椭圆的离心率为 （1）求双曲线和椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值 【答案】 （1），； （2） 【解析】 （1）由题意设双曲线的方程为 双曲线过点， 双曲线的标准方程为； 设椭圆的方程为，且， 又， 椭圆的标准方程为 （2）由，得 设， ， ， 1 C 3 2 yx (2,3
10、 2)P 2 C 1 C 2 C 1 2 1 C 2 C : l ykxm 2 C ABAOBS 22 1: 1 94 yx C 22 2: 1 43 xy C3 1 C 22 49 xy (0) 1 C (2,3 2)P 22 2(3 2) 49 1 1 C 22 1 94 yx 2 C 22 22 1 xy ab (0)ab2a 1 2 e 1c 22 3bac 2 C 22 1 43 xy 22 1 43 ykxm xy 222 (34)84120kxkmxm 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 22222 (8)4(34)(412)48(34)0kmkmmk 12 2 8
11、34 km xx k 2 12 2 412 34 m x x k 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 点到直线 的直线， ， 当且仅当，即时，取等号， 的最大值为 3 已知椭圆的离心率为， 左、 右焦点分别是、， 以 为圆心、为半径的圆与以为圆心、 为半径的圆相交，交点在椭圆上 （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，点是椭圆的右顶点， 直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的 定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由 【答案】 （1）； （2）过定点，理由见解析 【解析】 （1）由题意知，则 又，可得，
12、Ol 2 | 1 m d k 2 12 2 11| |1| 22 1 OAB m SAB dkxx k 2 2 12 22 118412 | |()4| 223434 kmm xxmm kk 22222 222 (9 123)9 123 2| 2 (34)34 km mkm m kk 222 2 (9 123)32 343 kmm k 222 2 (9 123)3 223 2 3 34233 kmm k 222 9 1233kmm 22 3 2 2 mk AOB S 3 22 22 :1 xy C ab (0)ab 3 2 1 F 2 F 1 F 3 2 F 1C C (1)yk x(0)k
13、C ABMC AMBM y PQPQx 2 2 1 4 x y(3,0) 24a2a 3 2 c a 222 acb 1b 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 椭圆的方程为 （2）以线段为直径的圆过轴上的定点 由，得， 设，则有， 又点是椭圆的右顶点，点 由题意可知直线的方程为，故点 直线的方程为，故点 若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立 又， 恒成立， 又， ， ，解得， 故以线段为直径的圆过轴上的定点 4已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴 C 2 2 1 4 x y PQx 2 2 (1) 1
14、 4 yk x x y 2222 (1 4)8440kxk xk 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 2 12 2 8 14 k xx k 2 12 2 44 14 k x x k MC (2,0)M AM 1 1 (2) 2 y yx x 1 1 2 (0,) 2 y P x BM 2 2 (2) 2 y yx x 2 2 2 (0,) 2 y Q x PQx 0 (,0)N x 0PN QN 1 0 1 2 (,) 2 y PNx x 2 0 2 2 (,) 2 y QNx x 22 1212 00 1212 224 0 12(2)(2) yyy y PN QNxx xxxx
15、222 121212 222 4484 (2)(2)2()424 1 41 41 4 kkk xxx xxx kkk 222 22 12121212 222 4483 (1) (1)() 1(1) 1 41 41 4 kkk y yk xk xkx xxxk kkk 2 2 222 12 0002 12 2 12 4 1 4 30 4(2)(2) 1 4 k y y k xxx kxx k 0 3x PQx (3,0) x C 2 2 F x 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 的直线交椭圆于，两点，且 （1）求的方程； （2）若直线
16、是圆上的点处的切线，点是直线 上任一点，过点作 椭圆的切线，切点分别为，设切线的斜率都存在求证：直线过 定点，并求出该定点的坐标 【答案】 （1）； （2）直线恒过定点，理由见解析 【解析】 （1）由已知，设椭圆的方程为， 因为，不妨设点，代入椭圆方程得， 又因为，所以， 所以， 所以的方程为 （2）依题设，得直线 的方程为，即， 设， 由切线的斜率存在，设其方程为， 联立，得， 由相切得， 化简得，即， 因为方程只有一解，所以， CPQ|2 2PQ C l 22 8xy(2,2)MlM CMAMBABAB 22 1 84 xy AB(2,1) C 22 22 1 xy ab (0)ab |2
17、 2PQ (, 2)Pc 2 22 2 1 c ab 2 2 c e a 2 12 1 2b bc 2 4b 22 28ab C 22 1 84 xy l2(2)yx 40 xy 00 (,)M xy 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy MA 11 ()yyk xx 11 22 () 1 84 yyk xx xy 222 1111 (21)4 ()2()80kxk ykx xykx 2222 1111 16()8(21)()40kykxkykx 22 11 ()84ykxk 222 1111 (8)240 xkx y ky 11111 22 111 822 x yx yx k xy
18、y 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 所以切线的方程为，即， 同理，切线的方程为， 又因为两切线都经过点，所以， 所以直线的方程为， 又，所以直线的方程可化为， 即， 令，得，所以直线恒过定点 5如图，为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，离 心率为， 双曲线的左， 右焦点分别为， 离心率为， 已知， （1）求，的方程； （2） 过作的不垂直于轴的弦，为弦的中点， 当直线与交于， 两点时，求四边形面积的最小值 【答案】 （1），； （2） MA 1 11 1 () 2 x yyxx y 11 28x xy y MB 22 28x xy
19、y 00 (,)M xy 1010 2020 28 28 x xy y x xy y AB 00 28x xy y 00 4xy AB 00 2(4)8x xxy 0( 2 )880 x xyy 20 880 xy y 2, 1 x y AB (2,1) O 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 12 ,F F 1 e 22 2 22 :1(0,0) xy Cab ab 3 F 4 F 2 e 1 2 2 2 3 e e 14 | 22FF 1 C 2 C 1 F 1 Cy ABMABOM 2 C P QAPBQ 2 2 1: 1 3 x Cy 2 2 2: 1 3 x Cy 2 2
20、 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 562298495 【解析】 （1）， ，即， ， ， 的方程为，的方程为 （2）依题意，直线的方程可设为， 设，由，消去可得， ， 中点坐标为， 直线的方程为， 由，消去可得， 且， ， 设到直线的距离为，则到直线的距离也为， ， 1 2 2 2 3 e e 2222 2 2 3 abab aa 444 8 9 aba 22 3ab 1( 2 ,0)Fb 4(2 ,0) Fb 14 |2222FFbb 1b3a 1 C 2 2 1 3 x y 2 C 2 2 1 3 x y AB 1xmy 11 ( ,)A x y
21、22 (,)B xy 2 2 1 1 3 xmy x y y 22 (3)220mymy 12 2 2 3 m yy m 12 2 2 3 y y m 1212 2 6 ()2 3 xxm yy m AB 22 3 (,) 33 m mm PQ 3 m yx 2 2 3 1 3 m yx x y y 22 (3)9mx 2 30m 2 2 9 3 x m 2 2 2 3 m y m 2 22 2 9 | 22 3 m PQxy m A PQd B PQd 1122 2 |3|3| 2 9 mxymxy d m 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 高中数学探究群 56229
22、8495 ， ， 又， ， 四边形的面积 ， 当时，取得最小值，且， 即四边形面积的最小值为 资料更新 一、 原创 2021 届高三复习专练 全套资料： 1 函数的图像与性质 2 函数零点 3 含导数的抽象函数的构造. 4 恒成立问题. 5 导数的应用 6 三角函数 7 解三角形 8 平面向量 9 线性规划 10 等差数列与等比数列. 11 数列求通项公式 12 数列求和 13 三视图与体积 14 与球有关的组合体 15 平行垂直关系的证明 16 利用空间向量求角 17 圆锥曲线的几何性质 18 离心率. 19 圆锥曲线综合 20 几何概型 二、江苏 21 届上学期期中考试 13 市数学试题及解析文件包 见：高考内部特供精优资料群 Word 版 1163173836 1122 (3 )(3)0mxymxy 2 1122121212 222 |33|()3()|(3)| 2 999 mxymxym xxyymyy d mmm 22 2 121212 2222 482 32 |()4 (3)33 mm yyyyy y mmm 2 2 2 32 2 9 m d m APBQ 22 22 2 1192 325 | 222 31 2233 9 mm SPQd mm m 0mS min 2 2S APBQ 2 2
