1、高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 5 导数导数的应用的应用 例1：（2020 全国I卷理科） 函数的图象在点处的切线方程为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】由题可得，则， 在点处的切线方程为，即 例 2： （2020全国 I 卷理科）已知函数 （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，求的取值范围 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）当时，求导可得， 令，则有，所以函数在上单调递增， 又，所以当时，此时， 函数在上单调递增； 当时，此时，函数在上单调递减 （2）当时， 当时，由化简可得， 43 ( )2f xxx(1,
2、(1)f 21yx 21yx 23yx21yx (1)1f 32 ( )46fxxx(1)2 f (1,(1)f12(1)yx 21yx 2 ( ) x f xeaxx 1a ( )f x 0 x 3 1 ( )1 2 f xxa 2 7 ,) 4 e 1a 2 ( ) x f xeaxx( )21 x fxex ( )21 x g xex( )20 x g xe( )g xR (0)0g0 x( )0g x ( )210 x fxex ( )f x(0,) 0 x( )0g x ( )210 x fxex ( )f x(,0) 0 xaR 0 x 3 1 ( )1 2 f xx 3 2 1
3、1 2 x xxe a x 1、利用导数求切线方程 2、导数中不等式问题 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 令， 则， 再令，则， 令，则， 由于，所以，即在上递增， 所以， 即，所以在上递增，所以， 因此当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以，故的取值范围为， 综上可知，的取值范围为 例 3： （2020全国 II 卷理科）已知函数 （1）讨论在区间的单调性； （2）证明：； （3）设，证明： 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】（1）， 3 2 1 1 2 ( ) x xxe h x
4、x 32 33 11 22(2)(1) 22 ( ) xxx xxxeex exx h x xx 2 1 ( )1 2 x m xexx( )1 x m xex ( )1 x z xex( )1 x z xe 0 x( )10 x z xe ( )1 x z xex(0,) ( )(0)0z xz ( )0m x 2 1 ( )1 2 x m xexx(0,)( )(0)0m xm 02x( )0h x( )h x(0,2) 2x( )0h x( )h x(2,) 2 max 7 ( )(2) 4 e h xh a 2 7 4 e a a 2 7 ,) 4 e 2 ( )sinsin2f xx
5、x ( )f x(0,) 3 3 |( )| 8 f x * nN 2222 3 sinsin 2 sin 42sin 4 n n n xxxx 3 ( )2sincosf xxx 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增 （2）因为，由（1）知， 在区间的最大值为，最小值为， 而是周期为的周期函数，故 （3） ， 例 4： （2020浙江卷）已知，函数，其中是 自然对数的底数 （1）证明：函数在上有唯一零点； 2222 ( )2sin(3cossin)8sinsin()sin() 33 fx
6、xxxxxx (0,) 3 x( )0fx( )f x 2 (,) 33 x( )0fx( )f x 2 (,) 3 x( )0fx( )f x (0)()0ff ( )f x0, 3 3 ( ) 38 f 23 3 () 38 f ( )f x 3 3 |( )| 8 f x 3 2222 2 (sinsin 2 sin24sin) n xxxx 333 |sinsin 2sin|2nxxx 23312 |sin |sinsin 2sin 2sin|sin 2|2n nn xxxxxx 12 |sin|( ) (2 )(2)|sin 2| nn xf x fxfxx 1 |( ) (2 )(
7、2)| n f x fxfx 2 2222 3 3 33 sinsin 2 sin 4sin() 84 2 nn n n xxxx 12a( ) x f xexa2.71828e ( )yf x(0,) 3、导数中零点问题 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 （2）记是函数在上的零点，证明： ； 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；证明见解析 【解析】（1），当时，故在上单调递增， ， 根据零点存在性定理可知，存在唯一的，使， 故函数在上有唯一零点 （2）令，问题等价于证明， 在上单调递增， 故只需证，即证， 先证左边：， 要证，
8、 令， 在上单调递增，得证 再证右边， 要证， 令， 在上单调递减，也得证 0 x( )yf x(0,) 0 12(1)axa 0 0 ()(1)(1) x x f eeaa ( )1 x fxe0 x( )0fx( )f x(0,) 12a (0)10fa 2 (2)20fea (0)(2)0ff 0 (0,2)x 0 ()0f x ( )yf x(0,) 1at 0 2 (01)txtt ( )f x(0,) 0 ( )()( 2 )f tf xft( )0( 2 )f tft 2 ( )1 tt f tetaett 2 2 1 101 t t tt ett e 2 1 ( ) t tt
9、g t e 2 (1) ( )0 tt tttt g t ee ( )g t(0,1( )(0)1g tg 2 22 2 21 2101 t t tt ett e 2 2 21 ( ) t tt h t e 2222 22 (22)2(21)2 ( )0 tt t teettt h t ee ( )h t(0,1( )(0)1h th 0 0 ()(1)(1) x x f eeaa 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 ， 由知， 故只要证， 即证， 令，则， 当时，故在上单调递增， ， 所以成立，得证 一、选择题 1设，若在处的导数，则的
10、值为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】由，得， 由，解得，故选 B 2曲线在处切线斜率的大小为（ ） A B C D 【答案】A 0 00000 (2 )()2 (1)(1) xaa x exax exaxaeaa 0 10 xa 000 ()2(1) a exaxaeax 0 (1)(2)0 aa eeaaxa e ( )1 x xeexx( )1 x xee 1x ( )0 x( )x(1,) 12a10 a eeaa 20 a e 0 (1)(2)0 aa eeaaxa e ( )ln(21)f xx( )f x 0 x 0 ()1fx 0 x 1 2 e3 2 1 3 4 (
11、 )ln(21)f xx 2 ( ) 21 fx x 0 0 2 ()1 21 fx x 0 3 2 x sincosyxx 2 x 1201 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 【解析】 ， ， ， 故选 A 3已知函数与的图象在第一象限有公共点， 且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】设切点为，所以，整理得， 由，解得， 又，可令，则， ，在上单调递减， ，即，故选 D 4已知函数(其中，为自然对数底数)在处取 得极小值，则的取值范围是（ ） A B C D 【答案】B 【解析
12、】由， 得 当时， 由，得；由，得， sincosyxxcossinyxx 2 |cossin1 2 2 x y ( )(0) x f xae a 2 ( )2(0)g xxm m ma 2 4 (,) e 2 8 (,) e 2 4 (0,) e 2 8 (0,) e 00 (,)A x y 0 0 2 0 0 2 4 x x aexm aex 2 00 0 42 0 0 xxm x m 2 00 240mxx 0 2x 0 0 4 x x a e 4 ( ) x x h x e 4(1) ( ) x x h x e 2x 4(1) ( )0 x x h x e 4 ( ) x x h x
13、e (2,) 2 8 0( )h x e 2 8 (0,)a e 2 1 ( )() 2 xx f xeae eaexaRe1x a 0aae0ea ae 2 1 ( )() 2 xx f xeae eaex 2 ( )()()() xxxx fxeae eaeea ee 0a0 x ea ( )0fx1x ( )0fx1x 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 在上为减函数，在上为增函数，则在取得极小值； 当时，令，得或，为使在取得极小值， 则有， 综上可得： 5 设函数满足 当时，且在 上的最大值为，则（ ） A B C或 D或 【答案
14、】A 【解析】因为，所以， 又因为在上的最大值为，所以在上的最大值为 因为，所以，所以在上有最大值 令，得，则， ， 因为函数在上单调递减， 所以在上只有唯一解 6已知函数在上是增函数，设，则下列不等 式成立的是（ ） ( )f x(,1)(1,)( )f x1x 0a( )0fx1x ln()a( )f x1x ln()1a0ea ae ( )f x2 (1)(1) f xf x1,3)x( )lnf xxaxa( )f x 3, 1) 4 e a 1 e 1 e 1 e 1 e 2 e 1 e 2 (1)(1) f xf x 1 ( )(2) 2 f xf x ( )f x3, 1) 4
15、e ( )f x1,3) 1 e (1)0f 1 (3)(1)0 2 ff( )f x(1,3) 1 e 1 ( )0fxa x 1 x a 1 (1,3) a 1 ( ,1) 3 a 11 ( )ln1faa ae 1 ( ,1) 3 a ( )ln1g aaa 1 ( ,1) 3 1 ln1aa e 1 ( ,1) 3 a 1 a e ( )f xR 1 e ae 1 ln2ln3 3 b 1 c 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 A B C D 【答案】D 【解析】令，则， 当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数， 故，即，故，
16、 又， 综上 二、填空题 7函数的最大值是_ 【答案】 【解析】， 当，所以在上单调递增； 当，所以在上单调递减， 所以 8已知函数(为自然对数的底数)，若，使得 成立，则的取值范围为_ 【答案】 ( )( )( )f bf af c( )( ) ( )f cf af b ( ) ( )( )f cf bf a( )( ) ( )f af cf b ln ( ) x g x x 2 1ln ( ) x g x x (0, )xe( )0g x( )g x(0, ) e ( ,)xe( )0g x( )g x( ,)e lnlne e 11 e e 0ac 1ln2ln3ln4ln3 ln2ln
17、30 32343 acb ( )( ) ( )f af cf b ( )2cosf xxx 3 6 ( )1 2sinfxx (0,) 6 x( )0fx ( )f x (0, ) 6 (,) 6 2 x( )0fx( )f x(, 6 ) 2 max (3 6 )f x ( )(1)2 x f xeaxe 0 (0,)x 00 (lg)()fxf xa (2,) 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 【解析】，要满足，使得成立， 则函数为减函数或存在极值点， ，当时，不恒成立，即函数不是减函数， 只能存在极值点，有解，即方程有解， 即，
18、三、解答题 9已知函数 （1）若在上恒成立，求的取值范围； （2）设，当时，若，求零点的个数 【答案】（1）；（2）两个零点 【解析】（1）在上恒成立，故， 设，则， 当时，函数单调递增；当时，函数单调递减， 故，故 （2），则，则， 当时，故，函数单调递增； 当时，故，函数单调递减 ，且当时，；当时， 00 lgxx 0 (0,)x 00 (lg)()fxf x ( )f x ( )1 x fxea(0,)x( )0fx( )f x ( )f x( )0fx1 x ae 12 x ae (2,)a 1ln ( )() x f xa a x R ( )0f x (0,)a 2 ( )(1) x
19、 g xxe0a( )( )( )t xf xg x( )t x 1a ( )0f x (0,) 1 ln x a x 1 ln ( ) x F x x 2 ln ( ) x F x x (0,1)x(1,)x max ( )(1)1F xF1a 0a 2 1 ln ( )( )( )(1) x x t xf xg xxe x 2 2 ln ( )(1) x x t xxe x (0,1)x 2 ln 0 x x 2 (1)0 x xe( )0t x (1,)x 2 ln 0 x x 2 (1)0 x xe( )0t x max ( )(1)1t xt0 x( )t x x ( )t x 高中
20、数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 根据零点存在定理知：函数在和上各有一个零点，故函数有两个零点 10已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）设，当时，对任意，存在， 使得，求实数的取值范围 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）函数的定义域为， ， 由，得或 当，即时，由，得； 由，得或； 当，即时，当时，都有； 当时，单调减区间是，单调增区间是； 当时，单调增区间是，没有单调减区间 （2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 从而在上的最小值为 对任意，存在，使得， 即存在，使的值不超过在区间上的最小值 由， (0,
21、1)(1,)( )t x 42 ( )ln a f xaxx x 4a( )f x 2 ( )6 x g xemx 2 2ae 1 2) ,x 2 1,)x 2 12 ()2()f xeg xm 2 mee ( )f x(0,) 22 (2)(2)24 ( )1 xxaaa fx xxx ( )0fx2x2xa 4a22a( )0fx22xa ( )0fx02x2xa 4a22a0 x( )0fx 4a(2,2)a(0,2),(2,)a 4a(0,) 2 2ae( )f x 2 (2,)e 2 (,)e ( )f x2,) 22 ()6f ee 1 2,)x 2 1,)x 2 21 ()()2
22、g xf xe 2 1,)x ( )g x 2 ( )2f xe2,) 2 6e 2 66 x eemx 2 2 x ee m x 高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 令，则当时， ， 当时，； 当时， 故在上单调递减，从而， 从而 2 2 ( ) x ee h x x 1,)x max ( )mh x 222 2 23 2()2() ( ) () xxxx e xeexxeee h x xx 1,2x( )0h x 2,)x 2 2()20 xxxx xeeexee( )0h x ( )h x1,) 2 max ( )(1)h xhee 2 mee
