1、 洛阳市 2020-2020 学年第一学期期中考试 高一数学试卷 本试卷分第 I 卷(选择题）和第 II 卷(能选择题)两部分.第 1 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页. 共 150 分.考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题，共 60 分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2. 考试结束，将答题卡交回. 、选择题:本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.设集合 A = a,4, B = 2,3,4，A B=2则 A U B= A. 2,3,4 B. 3 C. 1
2、,2,3,4 D. 2,4 2.函数() = 1 :1+log2 的定义域是 A. (0, +). B.-1, +) C. (-1,0) U (0, +) D. (-1,+) 3.下列函数中，()与 () 是相等函数的为 A. () = ,() = | |. B. () = ,() = 2. C. () = ( )2,() = 3 3 . D. () = ,() = log. 4.下列函数中，既是奇函数又在(0, +)上单调递增的是 A. () = 2| B. () = 1 3 C. () = ln(1 + 2 ) D. () = ; 5.若 l， = 3, = (1 2) , = log1
3、2 ，则 a，b，c 的大小关系是 A. a bc B. c a b C. c b a D. ac 0且 1) 在同一直角坐标系中的部分图像可能是 A B C D 10.函数() = log2 + + 1的零点所在的区间是 . A.(0, 1 4) B.( 1 5, 1 3) C. ( 1 3, 1 2) D. ( 1 2, 1) 11. 已知()是定义在 R 上的奇函数， 满足() = ( + 1)， 当0 1 2时， () = ， 则下列结论错误的是 A.方程() + = 0 最多有四个解 B.函数()的值域为 2 2 , 2 2 C 函数()的图象关于直线 = 1 2对称 D. f(20
4、20) =0 12.已知函数() = + 1 , 0 , 0 若存在互不相等的实数 a,b,c,d 满足| ()|=| ()| = | ()| = | ()|,则 + + + 的取值范围为 A. (0, +). B.(-2, +) C. (2, 81 10) D. (0, 81 10) 第第 II II 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9090 分）分） 二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 函数 = log(2 1) + 2( 0,且 1)的图像恒过定点的坐标为_ 14. 若(2 1) = 2+ 3,则(3) = 15. 若()是定义在 R 上的奇函数，当
5、0时，() = （ 1 2） 2 + (为常数)， 则当 0,且 1)，一定有.1:2 2 / (1):(2) 2 2 4函数() = log2(2 + 2)的图象恒在轴上方. 其中正确结论的序号为_. 三、解答题:本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 17.(本小题满分 10 分） 已知全集 = ，集合 = *| 1 2 2+, = *| + 2+. (1)若 A = | 1 2 3，求实数 m 的值； (2)若 AUB = B，求实数 m 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分） 求下列各式的植： (1)80.25 2 4 +( 2 3)
6、 2 3 (4 9) 1 3+ 2 3;1 (2) (2)2+ 1 16 + 4 2 log100125 20.(本小题满分 12 分 已知函数() = 2 :1为奇函数， (1)求实数 a 的值 (2)判断函数()的单调性，并用函数单调性的定义证明| (3)解不等式() 0. 20.(本小题满分 12 分） 已知函数() = 2 2( 1) + 2 2. (1) 若()存在一正,一负两个零点，求实数的取值范围 (2) 若()在区间(-,2上是减函数，求()在1，a上的最大值. 21. (本小题满分 12 分） 某工厂可以生产甲、乙两类产品，设甲、乙两种产品的年利润分别为1、2百万元，根据 调
7、查研究发现， 年利润与前期投人资金百万元的关系分别为1= + 4 + ,2= (其 中， ,都为常数） ，函数1、2的图象分别是1、2，如图所示，曲线1、2均过点(5,1). (1) 求函数1、2的解析式； (2) 若该工厂用于投资生产甲、乙产品共有 5 百万元资金,问：如何分配资金能使一年的总 利润最大，最大总利润是多少万元？ 22.(本小题满分 12 分） 因函数 = + (t0)的图象形状象对勾，我们称形如“ = + (t0)”的函数为“对勾函数” 该函数具有性质:在(0, 上是减函数，在(，+)上是增函数. (1)已知() = 2 + 4 2;1 5, ,1,3-,利用上述性质,求函数
8、()的单调区间和值域； (2)对于中的函数()和函数() = 2 + 4,若对任意1 1，3，总存在2 1,3, 使得(2) = (1)成立，求实数 m 的取值范围. 洛阳市 20202021 学年第一学期期中考试 高一数学试卷参考答案 一、选择题 1 5CABDC 6 10BBBAC 11 12AD 二、填空题 13. (1， 2) 14. 13 15. -2 -2 + 1 16. 三、 解答题 17 解 :(1)由 已 知 得 = * | 1 3 +，v B= x | m 2 x m + 2， 2 分 A v B = x|0 x 3， 2 = 0， + 2 3， 即 = 2. 1 m =
9、2. 5 分 (2)5 A U B= B， A B. 6 分 m 2 3 或 m+2 5 或 m 5 或 m- 3. 10 分 18.解:(1)原式 =(23) 1 4 X2 1 4+(2 3) 1 3 X (4 9) 1 3 +2 3 6 分 = 2 + 2 3 + 2 3 = 10 3 . 6 分 (2)原式 =(2)2 42 + 4 -1 2lg2 3 2Ig5 =2 - Ig2 -1 2lg2 3 2Ig5 =2-3 2lg2 3 2Ig5 =2-3 2 =1 2 12 分 19.解： （1) + 1 0的解集是 R， ()的定义域是 R. 1 分 又 ()是奇函数，(0)=0. (0
10、) =a - 1 = 0,即 a= 1. 3 分 经检验知，当 a = 1 时，() = ()，符合题意. 4 分 (2)由（1)知 () = 1 2 :1, ， 经判断可知()在 R 上是増函数. 5 分 任取 1，2 R，且 12，则(1)- (2) = 1 2 1:1 1 + 2 2:1 = 2(1;2) (1:1)(2:1)， 6 分 y= 为増函数，12， 0 1 0, 2+ 1 0 ,1 2 0. (1)- (2) 0 0,即(1) 0 0 一 1 解得 1， 原不等式的解集为（1,+). 12 分 20. 解： （1)若存在一正、一负两个零点，则 2 2 0， 解得2 2 的取值
11、范围为(,2). 5 分 (2)若()在区间(，2上是减函数，则函数图象的对称轴 = 1 2 , 解得 3, 7 分 当 ,1, 1-时，函数()单调递减，当 , 1,-时，函数()单调递 増， 8 分 且 (1) = 2 2 + 1,() = 2( 1)， 9 分 (1) ()=2 2 + 1 2( 1) = 2 4 + 3 = ( 2)2 1 3， (1) () 0. 11 分 故()在1，a上的最大值为2 2 + 1. 12 分 21. 解： （1)由函数1的图象过点（0,0)， （5，1)得2 + = 0 3 + = 1，所以 = 1 = 2; 2 分 由函数2的图象过点（0,0)，
12、（5，1)得 5b= 1，所以 b = 1 5. 3 分 所以1= + 4 2,2= 1 5. 5 分 (2)设投资甲产品为百万元，则投资乙产品为（5 -)百万元，0 5 ， 则总利润 = 1+ 2= + 4 2 + 1 5(5 ) = + 4 1 5 1 7 分 设 + 4 = ,2 3， 则 = 1 5 ( 2 4) 1 = 1 5 2 + 1 5 = 1 5. 5 2/ 2 + 21 20， 所以 = 5 2即 = 9 4时，最大为 21 20. 11 分 即投资甲产品 225 万元，投资乙产品 275 万元，获得最大利润为 105 万元. 12 分 22.解： （1) () = 2 1
13、 + 4 2;1 4 令 2 1 = , 1 3， 1 5. 1 分 则 () = () = + 4 4 由对勾函数的性质，可得()在1，2上单调递减，在(2,5上单调递増， 2 分 ()在1，3 2上是减函数，在( 3 2,3上是增函数. 4 分 (1) = 1,.3 2/ = 0,(3) = 9 5 5 分 综上可得，()的单调递减区间为1，3 2，单调递增区间为( 3 2,3,值域为0, 9 5. 6 分 (2)由（1)知(2) ,0, 9 5-时，若存在2 ,1，3，使得 g(2) (1)成立， 只需 g(x) =2 + 4 (x + 4 )最小值，令 u(x) = x + 4 , u(x)在1，2上是减函数，在2，3上是 增函数 10 分 u(x)最小值=u(2) = 4， 11 分 m 4. 即实数 m 的取值范围为（4,+). 12 分
