1、 中国教育学会 2018 年度课堂教学展示与观摩（培训）系列活动 第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动 向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义教学设计教学设计 重庆市第六十六中学校重庆市第六十六中学校 刘强刘强 中国教育学会 2018 年度课堂教学展示与观摩（培训）系列活动第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动 重庆市 66 中 刘强 - 1 - 向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义教学设计教学设计 一一教学内容和内容分析教学内容和内容分析 本节课是普通高中课程标准实验教科书数学人教 A 版必修 4 第二章平面向量第二节 平面向量的线性运算的第一课时，内容是向量
2、加法运算及其几何意义。 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一， 也是沟通代数与几何的桥梁。 向量的加法运算 是通过类比实数的加法，以位移的合成、力的合力两个物理模型为背景引入的，主要内容是向量加 法的三角形法则和平行四边形法则。 教科书从几何角度具体给出了通过两个法则作两个向量和的方 法，介绍了向量加法满足的运算律，最后举例说明生活中有向量，生活中用向量。向量加法运算是 学生对向量运算体系所进行的第一次探索和尝试， 学好本节课将为后面学习向量的其他知识奠定基 础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法。 因此，本节的教学重点是向量加法运算的定义的建构；以及利用位移的合成、力的合成作
3、 两个向量的和向量。 二二教学目标和目标分析教学目标和目标分析 （一)教学目标 1.掌握向量加法运算的概念；掌握用位移的合成、力的合成模型作出两个向量的和，从而得出向量 加法的法则，以及向量加法的运算律。 2.理解向量加法运算的几何意义。 3.体会数形结合、分类讨论、类比推理、数学建模的数学思想方法。 （二）教学目标分析 1.从实数可以进行加法类比猜想向量是否也可以进行加法运算。通过类比实数的加法，探究向量的 加法， 并由已学的物理学科知识得出向量加法运算的概念； 用位移的合成和力的合成作出两个向量 的和向量时，体会向量具有自由平移的特征，从作出的位移的合成、力的合成图形中总结出向量的 加法法
4、则三角形法则、平行四边形法则。用三角形法则作图则要求首尾相连连首尾，用平行四 边形法则作图则要求起点相同连对角。 2.通过对向量的方向、大小的探究，加深理解向量加法及其几何意义。 3.从实数加法的运算律类比向量加法的运算律，并作图验证。 三三教学问题诊断分析教学问题诊断分析 本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑惑和困难： 1.对三角形法则的理解，尤其是方向相反的两个向量的加法 。 2.在实际生活中，抽象、识别出向量加法的模型。 中国教育学会 2018 年度课堂教学展示与观摩（培训）系列活动第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动 重庆市 66 中 刘强 - 2 - 为此在教学中，让学生认识到
5、三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的 有向线段之间必须构成三角形。 通过作图验证向量加法的运算律， 拉近学生与抽象数学知识之间的 距离，激发他们的兴趣，增强他们学习数学的动力，培养他们的创造思维和创新能力。 因此，本节的教学难点是：理解向量的加法法则及其几何意义，作图验证向量加法的运算律。 四四教法分析教法分析 伟大的教育家叶圣陶先生说过“教师之谓教，不在全盘授予，而在相机诱导” 。本节课以学生 为中心，以问题串进行驱动，采用启发、引导、探究相结合的教学方法。 1.设置情景，激发学生解决问题的欲望。 2.提供交流探究机会，引导学生独立思考，有效调动学生思维，在开放的活动中获
6、取知识。 3.在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念。 4.让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程。 五五. . 教学过程设计教学过程设计 根据学生现有的的认知水平和规律，结合本节课的内容特点，分以下七个环节展开教学：复习 旧知、铺垫新知；类比实数、提出课题；创设情境、建构定义；探究法则、猜想性质；知识运用、 深化认识；课堂总结、升华主题；课后作业、巩固延伸。 （一一） 、复习旧知、铺垫新知复习旧知、铺垫新知 在上一堂课，我们学习过向量的哪些概念？ （设计设计意图：让学生回顾旧知，为本堂课的学习作铺垫意图：让学生回顾旧知，为本堂课的学习作铺垫。 ） （二二） 、类比类比实数、提出课题
7、实数、提出课题 问题问题 1：学习完向量的概念后，我们应该研究向量的什么知识呢？ 问题问题 2：回忆：我们在学习完实数的概念后，紧接着学习了实数的什么知识？ （设计设计意图：让学生类比实数的研究方法得到向量的研究方法意图：让学生类比实数的研究方法得到向量的研究方法。 ） 问题问题 3：向量能否像实数那样进行加法运算？ （设计设计意图：新知与旧知产生了矛盾，激发学生的求知欲意图：新知与旧知产生了矛盾，激发学生的求知欲。 ） 中国教育学会 2018 年度课堂教学展示与观摩（培训）系列活动第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动 重庆市 66 中 刘强 - 3 - （三三） 、创设情境、建构定义创
8、设情境、建构定义 问题问题 4 4：小明从 A 点向东走到 B，然后从 B 点向北走到 C。试求：小明由 A 点到 C 点所形成的位移? 建构定义：建构定义： 求两个向量和的运算，叫做_ （设计设计意图：向量加法运算可以直接利用物理模型引入意图：向量加法运算可以直接利用物理模型引入得到得到, ,加法的定义其实加法的定义其实就就是用数学的作图语是用数学的作图语 言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向 量数形结合的特征量数形结合的特征。若学生能。若学生能用位移求和给向量
9、加法下定义，用位移求和给向量加法下定义，则说明培养和则说明培养和发展了学生发展了学生的的数学抽数学抽 象素养象素养。） 问题问题 5 5：橡皮条在力 F1与 F2的作用下,从 E 点伸长到了 O 点；同时橡皮条在力 F 的作用下也从 E 点 伸长到了 O 点。合力 F 与力 F1、F2有怎样的关系？ （设计设计意图：从学生熟悉的物理知识入手，意图：从学生熟悉的物理知识入手，以问题进行驱动以问题进行驱动，让学生主动参与到问题的发现、，让学生主动参与到问题的发现、 讨论和解决等讨论和解决等过程中过程中来，而且在探究的过程中学生对向量加法的认识逐步由感性上升到理性，来，而且在探究的过程中学生对向量加
10、法的认识逐步由感性上升到理性，得得 出向量加法所对应的两个两个物理模型出向量加法所对应的两个两个物理模型位移的合成、力的合成，位移的合成、力的合成，为引入为引入向量加法的向量加法的三角形法三角形法 则、平行四边形法则作铺垫则、平行四边形法则作铺垫。 ） 中国教育学会 2018 年度课堂教学展示与观摩（培训）系列活动第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动 重庆市 66 中 刘强 - 4 - （四四） 、 探究法则、猜想性质探究法则、猜想性质 探究一探究一: 如图为不共线向量a,b，请类比位移的合成、力的合成，作出向量 。 问题问题 6：两种方法做出的结果一样吗? 问题问题 7：它们之们有联系
11、吗? （设计设计意图：意图：类比并掌握类比并掌握两两个物理模型个物理模型的作图技能，得到向量加法法则，并引导学生得到这的作图技能，得到向量加法法则，并引导学生得到这 两种向量的加法法则的结果是相同的，本质是相同的，但外在特征形式有区别，针对具体问题要两种向量的加法法则的结果是相同的，本质是相同的，但外在特征形式有区别，针对具体问题要 具体分析。具体分析。期间让期间让学生开展小组合作、自主探究，培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质，使学生开展小组合作、自主探究，培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质，使 他们在轻松愉快的氛围中突破难点，在过程中收获自信，体验成功他们在轻松愉快的氛围中突破难点，在过
12、程中收获自信，体验成功，通过学生展示讲解，锻炼学通过学生展示讲解，锻炼学 生的组织能力和语言表达能力。生的组织能力和语言表达能力。践行吕传汉教授所提倡的“三教”理念：教思考、教体验、教表践行吕传汉教授所提倡的“三教”理念：教思考、教体验、教表 达。若学生能从位移的合成、力的合成中获得向量加法的两个法则，则说明培养和发展了学生的达。若学生能从位移的合成、力的合成中获得向量加法的两个法则，则说明培养和发展了学生的 直观想象素养。直观想象素养。 ） ab 中国教育学会 2018 年度课堂教学展示与观摩（培训）系列活动第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动 重庆市 66 中 刘强 - 5 - 探究
13、二：探究二：共线向量的加法问题 ()方向相同 ()方向相反 （设计设计意图：意图： 在探究一成功探究了不共线向量的加法问题后， 立刻提问： 两向量除了不共线之外，在探究一成功探究了不共线向量的加法问题后， 立刻提问： 两向量除了不共线之外， 还有其他情况吗？然后让学生还有其他情况吗？然后让学生完备向量的加法问题完备向量的加法问题，学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍，学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍 然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性。若学生在探究共线向量的加法问题时，分类然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性。若学生在探究共线向量的加法问题时，分类 讨论了同向和反向两
14、种情况，并得出三角形法则对共线向量的求和仍适用，则说明培养和发展了讨论了同向和反向两种情况，并得出三角形法则对共线向量的求和仍适用，则说明培养和发展了 学生的逻辑推理素养。学生的逻辑推理素养。） 探究三：探究三： 根据你所作的图形， （设计设计意图：引导学生运用分类意图：引导学生运用分类讨论讨论思想、三角形思想、三角形的的性质得出结论性质得出结论，为，为后面不等式章节要继续后面不等式章节要继续 学习的三角不等式学习的三角不等式作铺垫作铺垫。若学生通过探究一、探究二的图形，运用分类讨论并得出结果若学生通过探究一、探究二的图形，运用分类讨论并得出结果 | |abab，则说明培养和发展了学生的直观想
15、象、数学运算素养。，则说明培养和发展了学生的直观想象、数学运算素养。） 探究四：探究四： 实数的加法满足交换律和结合律， 向量的加法是否也满足类似的性质？类比猜想其具体形 式并作图验证。 （设计设计意图：引导学生通过“类比”的方法引入向量的加法运算律，是符合建构主义的认识意图：引导学生通过“类比”的方法引入向量的加法运算律，是符合建构主义的认识 的的。同时，同时，用作图的方式用作图的方式验证验证结论，结论，使学生进一步认识的数学的严谨之美，也欣赏到了两个法则使学生进一步认识的数学的严谨之美，也欣赏到了两个法则 的和谐统一之美的和谐统一之美。在作图验证这个开放性问题中，让同学们从不同角度大胆作图
16、，。在作图验证这个开放性问题中，让同学们从不同角度大胆作图，充分调动充分调动了了学学 生积极性，激发生积极性，激发了了学生的创新思维和学生的创新思维和创造能力创造能力，让学生达到参与度和思考度的高潮。，让学生达到参与度和思考度的高潮。若学生能若学生能类类 比实数的加法运算律猜想向量加法的运算律，比实数的加法运算律猜想向量加法的运算律，则说明培养和则说明培养和发展了学生发展了学生的的逻辑推理逻辑推理素养；若学生素养；若学生 能能作图验证运算律作图验证运算律，则说明培养和，则说明培养和发展了学生发展了学生的的直观想象直观想象素养。素养。 ） 实数的加法 向量的加法 性 质 |,|abab探究与之间
17、的关系？+ 中国教育学会 2018 年度课堂教学展示与观摩（培训）系列活动第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动 重庆市 66 中 刘强 - 6 - （1） . （2） . （3） . （4） . a b d A B C E c f e g D （五五） 、知识运用、深化认识知识运用、深化认识 1.化简化简 （1）ABCDBC . （2）()()MABNACCB . （3）()ABBDCADC . 2.根据图示填空根据图示填空 （设计设计意图：巩固新知，知识过手意图：巩固新知，知识过手，深刻领悟向量的两个加法法则，熟练掌握法则所对应的连，深刻领悟向量的两个加法法则，熟练掌握法则所对应的连
18、接方式接方式。若学生能独立完成知识运用的两个练习题，则说明培养和若学生能独立完成知识运用的两个练习题，则说明培养和发展了学生发展了学生的数学运算、的数学运算、直观直观 想象想象、逻辑推理素养。、逻辑推理素养。 ） （六）（六）、课堂总结、升华主题、课堂总结、升华主题 今天我们探究了哪些数学知识？ 我们体验了哪些数学思想方法？ （设计设计意图：意图：新课新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，在课堂总结环节设置程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，在课堂总结环节设置 一个开放性的问题，一个开放性的问题，让学生通过回顾、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构合理让学生
19、通过回顾、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构合理 化化，加深对向量加法及两个法则的理解加深对向量加法及两个法则的理解，领会并能利用数学思想和方法解决领会并能利用数学思想和方法解决相关相关问题。问题。今天探究今天探究 了向量的加法运算，接下来还要探究向量的减法、数乘、数量积等运算，但这些运算的基础都是了向量的加法运算，接下来还要探究向量的减法、数乘、数量积等运算，但这些运算的基础都是 加法运算，其实整个“和、差、倍、分”都可以归结为“和”的思想即加法思想，加法思想也贯加法运算，其实整个“和、差、倍、分”都可以归结为“和”的思想即加法思想，加法思想也贯 穿了整个小学到大学的学习，小学整
20、数、分数加法，初中有理数、实数加法，解二元一次方程组，穿了整个小学到大学的学习，小学整数、分数加法，初中有理数、实数加法，解二元一次方程组， 高中向量的加法，复数的加法，两直线的位置关系，大学矩阵的加法等等。这样既给学生梳理了高中向量的加法，复数的加法，两直线的位置关系，大学矩阵的加法等等。这样既给学生梳理了 “加法”的学习轨迹，同时也让本堂课的主题得到了升华。“加法”的学习轨迹，同时也让本堂课的主题得到了升华。 ） 中国教育学会 2018 年度课堂教学展示与观摩（培训）系列活动第九届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动 重庆市 66 中 刘强 - 7 - （七） 、课后作业、巩固延伸（七）
21、、课后作业、巩固延伸 （1）作业：P91 习题 22 的 1234. 5. （2）拓展探究：数有减法，向量是否有减法呢？结合本节课的探究方法，请大胆的提出猜想，并 结合三角形法则与平行四边形法则进行探究 （设计设计意图：意图：课本习题课本习题 5 个习题个习题，主要是为了巩固课堂所学知识；主要是为了巩固课堂所学知识；拓展探究，拓展探究，主要是让学生主要是让学生 掌握这类新知的探究方法，这既是为下节的学习作铺垫，也在自主探究预习中潜移默化的培养了掌握这类新知的探究方法，这既是为下节的学习作铺垫，也在自主探究预习中潜移默化的培养了 学生的数学核心素养。学生的数学核心素养。这样这样布置作业的方式，布
22、置作业的方式，可以使学生在完成基本学习任务的同时，可以使学生在完成基本学习任务的同时，也也让每一让每一 个学生个学生的思维得到释放和拓展的思维得到释放和拓展，使学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生，使学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生 饱满的学习兴趣饱满的学习兴趣。 ） - 1 - 回归本质回归本质 聚焦素养聚焦素养 提升素质提升素质 -评向量加法运算及其几何意义 本节课刘老师以问题的形式引领学生探究，用类比的方法引导学生发现知识生 成和发展，既注重“四能”的培养，又重视“素养”的发展，从而提升学生素质， 助推素质教育。 1 1 回归本质回归本质 回归本质
23、有两层含义，一是回归数学本质，二是回归教学本质，本课以生为本， 先做后说，问题设在学生最近发展区，学在前，讲在后，每个问题都是先由学生探 究、交流、分享后，老师再点拨、评讲。向量加法的法则都是学生自己概括、提炼 出来的。在探究两个法则结果一致性时，生生互助互学，充分体现合作学习和探究 学习。 在向量加法的生成过程中，培养学生发现和提出问题的能力，在向量加法的运 算和作图验证猜想（运算律）的过程中，培养学生分析问题和解决问题的能力。用 实数运算类比向量运算，用位移和力的合成类比向量加法的两个法则，体现了教师 重视数学研究方法的引导。 本节课渗透了类比、特殊与一般、分类讨论和数形结合的思想。如向量
24、加法分 共线和不共线，共线分同向和反向来讨论，向量的加法用两个法则来计算。 2 2 聚焦学科核心素养聚焦学科核心素养 刘老师整合教材内容，目的就是更能培养和发展学生的数学核心素养，重点发 展的是直观想象、逻辑推理和数学建模素养。位移的加法、力的合成、两个法则及 作图验证运算律都充分发展了直观想象；为探究出向量的加法运算，建立了三角形 和平行四边形模型；类比实数的加法运算律猜想向量加法的运算律，发展了学生逻 - 2 - 辑推理；用位移求和给向量加法下定义，发展了学生数学抽象素养。 3 3 享受数学之美享受数学之美 教师语言精炼，轻重缓急恰到好处，富有启发性和激励性；向量加法法则简洁、 一致；学生感受到了实数加法运算与向量加法运算，位移、力的合成与向量加法的 运算法则的 “规律和谐” 之美。 学生探究后每解决一个问题就获得一次成功的体验， 当老师示弱： “这个方法我也没想到” ， 提升学生成就感， 享受着数学探究的喜悦， 激发学生学习数学的兴趣。 总之，本课刘老师教体验、教思考、教表达，教学生数学研究的方法，学生学 会用类比去思考世界，用简洁的语言去表达，享受成功的快乐，从而助推素质教育 的发展。
