1、 基本不等式（一）基本不等式（一） 湖南省慈利县第一中学 朱XX 数学史数学史 三国时期吴国赵爽，绘制此图最早对勾股定理进行了证明三国时期吴国赵爽，绘制此图最早对勾股定理进行了证明 引入引入 A D B C E F G H b a 22 ab 22 2abab A B C D E(FGH) a b 22 2abab：即 22 2abab：即 思考：思考：你能给出对任意实数你能给出对任意实数a,b，不等式，不等式 都成立都成立的证明吗？的证明吗？ 22 2abab abba2 22 0)( 2 ba 0)( 2 ba 2 ()0ab所以 22 2.abab所以 ab当时 ab当时 证明：（作差法
2、）证明：（作差法） 2 )(ba 证明重要不等式证明重要不等式 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有我们有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。 22 2abab 重要不等式：重要不等式： 探究基本不等式探究基本不等式 拿两张大小不同的正方形纸片，分别沿对角 线对折，得到两个等腰直角三角形纸片。 若正方形纸片的面积分别是a,b,两个三角形 纸片的面积则是 ，腰分别是 2 2 , a b 怎样改造这两个三角形纸片可以构成一个矩 形，并且使该矩形的长和宽分别为 ？ ,ab 对比这两个三角形的面积之和与矩形的面积， 你有什么发现？ ？ ？ ,ab 折纸游戏折纸游戏 2
3、 ab ab 2 a 2 b a b 特别地，若特别地，若a0，b0，则则 _ 2 ab ab 当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. . 在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数的几何平均数； 2 ab ab 定义基本不等式定义基本不等式 文字语言：文字语言： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 从不同角度认识基本不等式从不同角度认识基本不等式 问题问题1 1：基本不等式：基本不等式 从数列的从数列的 角度，
4、还可以怎么角度，还可以怎么表表述？述？ 0,0 2 ab ab ab 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 从不同角度认识基本不等式从不同角度认识基本不等式 A B C E a b O D =, , , AB abACa BCbABOC ABDEAD BD ， ， 问题2：如图，取线段其中 以为直径作过点 作 垂直于的弦连接 , , a b a b 试找出图中哪条线段表示的算术平均值？ 哪条线段表示的几何平均值？它们分别有 什么几何意义？ ODDC 半径不小于半弦长几何意义：几何意义： 2 ab OD DCab 2 ab ab 证明：要证证明：要证 只要
5、证只要证 2abab 要证要证，只要证，只要证 20 abab 要证要证，只要证，只要证 2 ()0ab 显然显然, , 是成立的是成立的. .当且仅当当且仅当a=b时时, , 中的等号成立中的等号成立. . 分 析 法 分 析 法 思考：思考：你还能给出基本不等式你还能给出基本不等式 的其的其 他证明吗？他证明吗？ (0,0) 2 ab ab ab 执 果 索 因 执 果 索 因 证明基本不等式证明基本不等式 问题问题3 3：你能否借助已证的重要不等式你能否借助已证的重要不等式 ， 分析分析基本不等式基本不等式 的成立性的成立性呢呢？ 22 2abab 00 2 , ab ab ab 22
6、22 2 2 24 4 00 2 2 , abab ababab abab ab abab ab ab 又 方法1： 即 22 22 200 2 2 2 , , ababab aba b abab abab ab ab ： ： ： 方法2：且 用分别代替 有 即 即 证明基本不等式证明基本不等式 解：如图设解：如图设BC=x ，CD=y ， 则则xy=100， 篱笆的篱笆的长长为为2(x+y)m. 2 xy xy 2 10020,xy 2()40 xy 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立 因此，这因此，这个个矩形的长、宽都为矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆 最短，最短
7、的篱笆是最短，最短的篱笆是40m. 此时此时x=y=10. x=y A B D C 例：例：( (1 1) )如图如图, ,用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100100m m2 2的矩形的矩形 菜园菜园, ,问这个矩形的长问这个矩形的长、宽各为多少时宽各为多少时，所用篱笆最短所用篱笆最短， 最短的篱笆是多少最短的篱笆是多少？ 运用基本不等式求最值运用基本不等式求最值 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时， 菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2 A B D C 运用基本不等式求最值运用基本不等式求最值 例：例：( (2 2) )如图如图，用一
8、段长为用一段长为3636m m的篱笆围成一个矩形菜的篱笆围成一个矩形菜 园园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积菜园的面积 最大最大，最大面积是多少最大面积是多少？ 236 18 18 9 22 81 9 max ,BCx CDy xy xy xy xy xy xy S=81 解：设 则 即 得 当且仅当时，等号成立 此时 知识方法小结知识方法小结 数 学 建 模 数 学 建 模 数 形 结 合 数 形 结 合 运用基本不等式求最值的条件：运用基本不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等一正、二定、三相等 布置作业布置作业 课堂作业：教材第课堂作业：教材第100100页习题页习题A A组第组第1,21,2题题 课后作业：课后在网上查找基本不等式的其他代数几课后作业：课后在网上查找基本不等式的其他代数几 何证明方法，整理并相互交流。何证明方法，整理并相互交流。 思考：由基本不等式思考：由基本不等式 出发，出发， 你还能推导出哪些公式？你还能推导出哪些公式？ 课后思考题课后思考题 (0,0) 2 ab ab ab 谢谢大家谢谢大家, ,敬请指导敬请指导! !
