1、 抛物线及其标准方程 高中数学高中数学 人教人教A A版版 选修选修2 2- -1 1 l F 作图步骤： 点 F 是定点 l 是不经过点 F 的定直线 H 是 l 上任意一点 过点 H 作直线 l 的垂线 n 作线段 FH 的垂直平分线 m 交 n 于点 M 拖动点 H，观察点 M 的轨迹 H n m E M 抛物线的定义 M l F H m E n 作图步骤： 点 F 是定点 l 是不经过点 F 的定直线 H 是 l 上任意一点 过点 H 作直线 l 的垂线 n 作线段 FH 的垂直平分线 m 交 n 于点 M 拖动点 H，观察点 M 的轨迹 抛物线的定义 l F H 定义： 我们把平面内
2、与一个定点 F 和一条 定直线 l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (parabola). 点 F 叫做抛物线的焦点， 直线 l 叫做抛物线的准线. M 抛物线的定义 l F H M 定义： 我们把平面内与一个定点 F 和一条 定直线 l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (parabola). 点 F 叫做抛物线的焦点， 直线 l 叫做抛物线的准线. 抛物线的定义 l F H M 定义： 我们把平面内与一个定点 F 和一条 定直线 l ( l 不经过 F )距离相等的点的轨 迹叫做抛物线 (parabola). 点 F 叫做抛物线的焦点， 直线 l 叫做抛物线的准线. 抛物线的定义 定义： 我们把
3、平面内与一个定点 F 和一条 定直线 l ( l 不经过 F )距离相等的点的轨 迹叫做抛物线 (parabola). 动动脑，你能根据定义在右图中描 出一条抛物线吗？ 抛物线的定义 l F 求抛物线的方程， 如何选择坐标系更简单呢? O y x 求抛物线的方程，如何选择坐标系更简单呢? l F O y x l F O y x l F O y x P P P H H H K K （方案一） （方案二） （方案三） 2= 2 2= 2( 2) 2= 2( + 2) 设| = ( ) (K) l F O y x P H l F O y x P H K l F O y x P H K 2= 2 2=
4、 2( 2) 2= 2( + 2) 求抛物线的方程，如何选择坐标系更简单呢? （方案一） （方案二） （方案三） 设| = ( ) 我们把方程 叫做抛物线的标准方程 焦点坐标是 ( 2 ,0) 准线方程是 = 2 2= 2 ( 0) l F O y x P H K 练习：若抛物线的标准方程是2= 6， 你能说出它焦点坐标和准线方程吗？ 抛物线的方程 设| = ( ) 图图 形形 标准方程标准方程 焦点坐标焦点坐标 准线方程准线方程 2= 2 ( 0) ( 2 ,0) = 2 2= 2 ( 0) ( 2 ,0) = 2 2= 2 ( 0) (0, 2) = 2 2= 2 ( 0) (0, 2)
5、= 2 类比 图图 形形 标准方程标准方程 焦点坐标焦点坐标 准线方程准线方程 2= 2 ( 0) ( 2 ,0) = 2 2= 2 ( 0) ( 2 ,0) = 2 2= 2 ( 0) (0, 2) = 2 2= 2 ( 0) (0, 2) = 2 练习1：写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) 2 = 2; 练习 焦点：(0, 1 2)，准线： = 1 2 图图 形形 标准方程标准方程 焦点坐标焦点坐标 准线方程准线方程 2= 2 ( 0) ( 2 ,0) = 2 2= 2 ( 0) ( 2 ,0) = 2 2= 2 ( 0) (0, 2) = 2 2= 2 ( 0) (0, 2)
6、= 2 练习1：写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) 2 = 2; (2) 2 2 + 5 = 0; 练习 焦点：(0, 1 2)，准线： = 1 2 焦点：( 5 8 ,0)，准线： = 5 8 图图 形形 标准方程标准方程 焦点坐标焦点坐标 准线方程准线方程 2= 2 ( 0) ( 2 ,0) = 2 2= 2 ( 0) ( 2 ,0) = 2 2= 2 ( 0) (0, 2) = 2 2= 2 ( 0) (0, 2) = 2 练习1：写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) 2 = 2; (2) 2 2 + 5 = 0; (3) 2 + 8 = 0. 练习 焦点：(0, 1
7、2)，准线： = 1 2 焦点：( 5 8 ,0)，准线： = 5 8 焦点：(0,2)，准线： = 2 图图 形形 标准方程标准方程 焦点坐标焦点坐标 准线方程准线方程 2= 2 ( 0) ( 2 ,0) = 2 2= 2 ( 0) ( 2 ,0) = 2 2= 2 ( 0) (0, 2) = 2 2= 2 ( 0) (0, 2) = 2 练习2：已知抛物线的焦点是 (0,2)，求它 的标准方程. 练习3：已知抛物线的准线方程是 = 1 4 ，求 它的标准方程. 练习4：已知抛物线的焦点到准线距离是 2，求 它的标准方程. 练习 答案： 2= 8 答案： 2= 答案：2= 4, 2= 4,
8、2= 4, 2= 4 思考： 二次函数 = ( ) 的图象是抛物线吗？ = + + ( )呢？ 抛物面为什么可以聚光呢？ 思考：抛物面为什么可以聚光呢？ 思考：抛物面为什么可以聚光呢？ l M m H O y x E F 1 2 3 证明：直线是抛物线的切线. 证明：如图,设 0,0, 则 ( 2 ,0),( 2 ,0),(0, 0 2 ). = 0 ,= 0 , : 0 2 = 0 ( 0), 与2= 2联立，化简，可得： 2 20 + 0 2 = 0, 即：直线是抛物线的切线. 思考：抛物面为什么可以聚光呢？ 应用：一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近 似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦 点处已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为0.5 m，试 建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标
