1、对数与对数的运算（第 1 课时） 广东省深圳第二外国语学校 祁XX 一、内容和内容解析 内容：对数概念引入的必然性分析，对数的概念与对数的简单性质 内容解析：本节是高中数学人教 A 版必修一第二章第 2 节的内容对数的引入是进一 步解决方程 ab N a 0 且 a 1 中已知两个量求第三个量的问题的延续：是初中所学幂 运算的必要补充，也是第二章第 1 节所学指数运算的逆运算；是“概念运算函数”研究 路径的又一次强化，也是对数运算乃至对数函数学习的启蒙课；是大数处理的关键概念和必 备工具，也是高中对数函数模型学习的必要准备. 对数概念的引入充满逻辑推理的必然性奥义，也渗透着一般概念建构以及创生
2、的多个方 面：在建构概念的过程中既要考虑要概念的存在性和引入的必然性，还要考虑新概念与旧知 识的相互关联和印证，更要关注新概念下知识体系的逐步搭建.因此，这部分内容对于培养 学生的创新精神，渗透数学学习过程中的逻辑推理、形象直观、数学运算素养有不容忽略的 价值，应当引起充分重视！ 二、目标和目标解析 目标： （1）通过解决 ab N a 0 且 a 1 中已知两个量求第三个量的问题，夯实提出问题、 分析问题、解决问题的学习力，渗透逻辑推理的数学素养. （2）能从对数概念的形成过程中感知一个新概念的建立发展过程，在深刻理解对数概 念形成的必然性前提下熟练掌握指数式、对数式的相互转化，促进化归转化
3、思想方法的内化. （3）在指数式、对数式相互转化运算的基础上研究对数的一些基本性质，进一步提升 学生的数学运算素养. 目标解析： （1）对数的概念是在解决 ab N a 0 且 a 1 中已知 a, N N 0 求 b 的问题背景 下产生的，因此从方程的根的存在性、唯一性的角度分析对数引入的必然性符合学生的认知 基础，同时在分析这些必然性条件的同时可借助前面学习的指数函数相关知识加以直观感 知. （2）由于对数运算是指数运算的逆运算，在概念的形成和构建过程中牢固树立指对数 的转化意识，能够把对数问题转化成已经熟悉的指数问题解决，这种相互印证的问题处理方 式不止在概念形成中有重要作用，在后续对数
4、的运算、对数函数的学习中也有可资借鉴之处. （3）数学核心素养是数学教学的重要目标，本节主要加强学生逻辑推理素养和数学运 算素养的培养.在对数概念引入的必然性分析中，通过提出问题、分析问题、解决问题的完 整探究提升学生的逻辑推理素养；在借助指对数相互转化形成对数的基本性质和简单运用的 过程中培养学生的数学运算素养. 基于上述分析，本节课的教学重点定为：对数的概念的建构与简单性质的理解运用 三、教学问题诊断分析 1教学问题一：为什么引入对数概念？一个新概念的引入都会考虑概念生成的合理性 和必然性，因此，本节课第一个要解决的就是为什么引入对数.解决方案：通过实际案例感 知求指数运算的存在实然，借助
5、方程思想分析对数产生的数理逻辑，结合指数函数图像的直 观刻画认定对数的存在性和唯一性 2教学问题二：如何构建对数知识？从最近发展区的角度考虑，学生对对数的最初感 知在于求指数问题，学生已有的学习经验就是指数知识体系的构建，基于这些因素，问题的 解决方案是：微观上，从对数概念入手，借助指对数关系搭建对数知识；宏观上，从指数知 识类比得到对数知识体系，即对数的概念，对数的运算，对数函数，以及对数的应用 3教学问题三：对数的引入能做什么？每一个新概念的引入都会考虑它是否能产生新 的方法，或者为其它问题的解决带来便利对于对数而言，它的突出优点就是解决大数计算， 这种优点会在后续的指对数运算中逐渐体现出
6、来.解决方案：作为对数起始课，本节拟从指 对数的相关简化运算中作必要铺垫，在渗透数学运算素养的同时引导学生予以初步体会. 基于上述情况，本节课的教学难点定为：对数概念的理解 四、教学策略分析 本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示在教学设计中，采取 问题引导方式来组织课堂教学问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主 线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点的目的 在教学过程中，重视对数概念引入的必然性分析，让学生参与到提出问题、分析问题、 解决问题的逻辑推理过程，感受数学运算在数学知识建构中的特殊意义，同时感知概念的建 构过程中用到的处理策略和思想方法在新知识
7、进一步深入和应用时的指导作用.因此，本节 课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养培养有机结合的样本 五、教学过程与设计 教 学 环 节 问题或任务 师生活动 设计意图 教师： 展示情景 截止到 1999 年底， 学生：学生思考 情境引入. 我国人口约 13 亿.如果 教师：提出问题 1 学生：学生思考 今后能将人口年平均 师生：根据题设条件，共同完成问题 1. 提出问题. 增长率控制在 1%，则根 据前面学习的知识我 【预设结果】 们可以得到我国人口 根据题设条件可提出的问题分为两类： 呈现问题情 一类是已知经过的年数，求我国届时的人口 数 y 与所经过年数 x 境，设置开 数； 之 间
8、的 关 系 为 ： 另一类问题是已知我国达到的人口数，求经过 放问题，让 的年数. y 131.01x . 学生轻松进 问 题 问题 1 请你根据 入到课堂状 引 入 我国人口数与所经过 态. 年数的关系设计一个 问题. 将一般问题 教师：具体地，可研究题设的两个具体问题： 学生：思考（1） 、 （ 2）并作答. （1） 经过 20 年 具体化，让 以后我国的人口总数 学生更容易 【预设结果】 是多少？ 展开对问题 问题 1 的答案为131.0120 16 ， （2） 我国人口 的思考、追 问题 2 需设出未知数：设经过 m 年后我国的人 总数达到 18 亿时要经 过多少年？ 18 1.01m
9、 . 13 口总数达到 18 亿，则有： 问. 以上问题的数学 本质指向方程 ab N 学生：思考问题 2 教师： 在总结问题 1 的基础上提出问题 2 （其中 a 0 且 a 1） 师生： 通过师生、生生对话解决问题 2. 中已知两个量求第三 问 个量的问题. 题 问题 2 你能把以 【预设结果】 探 源 上问题从已知、未知的 角 度 进 行 归 类 分 析 第一个问题可归类为已知 a,b ，求 N .第二个 引导学生从 较高的角度 问题可归类为已知 a, N ，求 b .第一个问题是 吗？这两个问题之间 分析问题， 指数运算问题，第二个问题是一种新的运算， 有什么联系？请借助 运用量纲思
10、并且是和指数运算互逆的运算. 问题 1 中的结果说明. 想给问题分 1 第一个问题举例，如131.0120 16,2 1 ， 2 “已知 a,b ，求 N ”可以求解； 类，发现新 旧 知 识 联 系. 第 二 个 问 题 举 例 ， 如 ： 18 1.01m ， 13 0.84n 0.5 ， “ 已知 a, N ，求b ”目前不可解. 教师： 提出问题 3，引导学生运用指数函数知 问 题 3 满 足 方 程 18 1.01m ,0.84n 0.5 13 的 实 数 m,n 是 否 存 识解决. 学生：思考问题 3. 师生：通过对话解答问题 3. 【预设结果】 在？如果存在，有几 分别作出指数
11、函数 y 0.84x 和 y 1.01x 的 个？ 图像如下图所示，借助图像进行存在性和唯一 存 18 性的说明，满足方程1.01m ，0.84n 0.5 13 教师引导学 生借助已学 指数函数的 相关知识对 在 新问题的可 求解性进行 性 探讨分析, 探 适时进行数 讨 的实数 m,n 存在且唯一. 学直观素养 的渗透. 问题 4 更一般的，对于 方 程 ab N （ 其 中 教师： 提出问题 4 学生：借助已有经验解答问题 4. a 0 且 a 1），已知 a, N N 求 b ， b 0 是否存在？ 【预设结果】更一般地，对于 ab N （其中 a 0 且 a 1），也可类似地进行存在唯
12、一性 的说明: 对于 ab N（其中 a 0 且 a 1） ， 已 知 a, N 求b ，b 是唯一存在的. 问题 5 经过以上探究 通过认知冲 教师：提出问题 5 并对特殊情况下求b 进行说 分析，我们知道满足方 突的建立和 明. 程 消除引入新 18 1.01m ,0.84n 0.5 13 中的 m,n 是唯一存在 学生：感悟特殊情况下的的表示，并类比迁移 到一般情况. 数的表示符 号，为学生 创造性地解 的，并且 m,n 都是实 决问题提供 【预设结果】从简单的特例入手： 数，那么该如何表示 必 要 地 训 m,n 呢 ？ 更 一 般 地 ， 由 2x 8我们可以得到 x 3，但 2x
13、3中的 练. “方程 ab N （其中 x 怎么表示呢？它是个新数且与 2 和 3 都有 表 a 0 且 a 1），已知 a, N N 求b ”的 0 关，于是我们引入新符号 log 2 3 表示 x ，即 示 b 怎么表示？ x log 3，这种新数就是对数，这种表示方 2 式选取了对数的英文名 logarithm 的前 3 个字 方 母. 法 这 样 的 话 满 足 方 程 18 1.01m ,0.84n 0.5 中 的 m,n 就 可 表 示 13 18 成： m log 1 ,n log 0.5 更一般地， .01 0.84 13 方程 ab N （其中 a 0 且 a 1 ），已知
14、a, N N 求b ，b 可以表示为 log N ，即 ： 0 a b log N .自然引入新概念. a 教师： 一般地，如果 ax N （其中 a 0 且 a 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记 作 x log N ，其 中 a 叫做对数的底数，N 叫 a 形成对数的 概念，展示 做真数. 书写规范： logaN 对数书写的 举例： 由 2x 3可知 x 是以 2 为底 3 的对数，记 作 x log 3；由 0.84x 0.5 可知 x 是以 0.84 2 为底 0.5 的对数，记作 x log 0.5； 0.84 两类特殊的对数： 对 （1）通常我们把以 10 为底的对
15、数叫做常 数 的 用对数，并把 log N 记为 lg N . 10 概 （ 2 ） 在 科 学 技 术 中 常 用 以 无 理 数 念 e=2.71828为底数的对数，以 e 为底的对数称 问题 6 由对数的概念 为自然对数，并把 log N 记为 ln N . e 可知：指数式 ax N 教师： 提出问题 6 与 对 数 式 log a N x 学生：思考（1） （ 2） 师生：通过对话解答问题. 密切相关中，因而可以 【预设结果】（1） 通过所学的指数知识 设计问题， 来研究对数. 引导学生深 指数 对数 （1）指数式 ax N 与 幂 真数 入理解对数 概念的内 对 数 式 log N
16、 x 中 a ax N a 且 a 1 0 x log a N 涵. a, x, N 的名称与位置 底数 有什么变化？ （2）指数式中 x 可取任意实数，对应与 （2） 根据指数式中 认真思考问 x,a 的范围，你能得 x 对数式中 log N 可以取得任意实数，即：对 a 题，强化对 数概念的理 数值可以是任意实数； 解. 到对数式中相应的哪 指 数 式 中 ax 0 ， 对 应 与 对 数 式 中 些性质? N 0，即：对数的真数一定是正数，换句话 说：负数和零没有对数. 问题 7 将下列指数式 及时巩固新 化为对数式，对数式化 概念，强化 教师： 投影展示问题 7 及其变式训练 数学运算
17、素 为指数式： 学生：独立完成问题 7 以及变式训练 养的提升. （1） 54 625 ；（2） 师生：共同答疑解惑. 6 1 2 ； （ 3 ） 64 m 1 3 5.73 ； （ 4 ） log 16 4 ； （ 5 ） 1 2 lg 0.01 2 ； （6）ln10 2.303 变式训练：求下列各式 中 x 的值： （1）log 64 2 x ； 3 （2）log x 8 6 ；（3） log 1 x ；（ 4 ） lg10 x. 问题 8 问题 7 给出了 一些与对数相关的特 殊式子的练习，那么更 教师：提出问题 8 一般的情况是什么样 学生：思考（1） （ 2） 师生：共同探索证明（
18、1）（2）的结果. 的呢？ 从特殊到一 （1）当 a 0 且 a 1 【预设结果】 时，把log 1 中的 换 （1）当 a 0 且 a 1时，猜想： log a 1 0， 般，引导学 生借助指对 成 a 结果会改变吗？ log a a 1.借助指对数关系式进行证明. 数关系式的 把 lg10中的 10 换成 a （2） 当 a 0 且 a 1时，猜想：log n a a n ， 相互转化得 即 log a a 呢？ 借助指对数关系式进行证明，提供如下证明方 到对数的重 法： 要性质. 法 1：设 a an t log ，则： an at （2）正数都有对数， 那么当 a 0 且 a 1 当
19、a 0 且 a 1时，函数 y ax 在定义域内单 调 时， a an log =？ 所以 t n ，即： an n log a . 法 2：设 a t ，则： log a t n n a a a t n . log n log 问题 9 运用对数的性 质求下列各式的值： 师生：共同总结归纳： （ 1 ） log 1 ； （ 2 ） 3 4 对数的性质：当 a 0 且 a 1时， log 1.25 ；（ 3 ） 1.25 （1） log 1 0 a ； （ 2） log a a 1； lg1000000 ；（ 4 ） （3） an n log a . 引导学生借 助对数的性 ln e ； （
20、5）log 256； 2 16 质快速求解 简单的对数 （6）log 0.729 ； （ 7） 0.9 log 3 1 81 ； （ 8）log 16. 1 4 教师： 提出问题 9 学生：借助对数的性质独立、快速求解问题 9. 师生：共同答疑解惑 计算问题， 进一步深化 学生数学运 算能力的提 高. 问题 10 你从对数概念 教师： 提出问题 10 结合对数概 的引入、对数知识的研 学生：回顾本节课知识 念的生成过 究 过 程 中 学 到 了 什 程概括数学 么？ 【预设结果】 新概念研究 方法. 回顾对数概念的形成过程： 课 堂 小 从 问 题 情 境 中 抽 象 出 数 学 问 题 经 过 深 入 思 考 引 入 新 数 、 新 运 算 论证新 数的存在 性 新数的 表示探讨 形成新数的概念以及相关知识. 体会新概念 形成过程， 积累概念学 习的一般规 节 律. 课后思考是 课后思考： alog =？ N a 对本节知识 的 必 要 补 充，同时也 为后续内容 做好铺垫
