1、函数的周期性 浙江省温州中学 王XX 1 各位专家评委、老师们： 大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师王礼勇.有机会参加本次高中 青年数学教师优秀课观摩与展示活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣 幸. 我的课题是函数的周期性，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理 解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、课堂 教学目标检测、教学特点及反思六个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评 委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见. 一、教学背景分析 （一）内容解析 本节课是普通高中课程标准实验教科书 A 版必修四第一章第四大节第二节 课，属于新授课. 知识结构 任意角
2、与弧度 任意角的三角函数 三角函数的图象 三角函数模型的简单应 制，单位圆 和性质 用 同角三角函 数的基本关 诱导公式 系式 函数的周期性属于三角函数部分中的第四节内容，位置处于任意角与弧 度制、任意角的三角函数及三角函数线、正余弦函数的图像之后，是对三角函数 又一深入探讨.学生在数学 1 中建立了函数的概念以及指数函数、对数函数的研 究经验.这章的主要学习内容是三角函数的概念，图像与性质. 因此，按照教学参考的教学建议，“为了加强三角函数学习的目的性，本章 采用月相变化图和简谐振动图的组合作为章头图，并以大到宇宙天体运行，小 到质点的运动，现实世界中具有周期性变化的现象无处不在为开篇语，再
3、在章 前引言中明确提出三角函数是刻画周期性变化规律的数学模型.这样的安排 2 使得三角函数的作用体现的更加清楚，也能使学生更加明确学习三角函数的意 义.” 教材在本节后面专门安排了一个“探究与发现：利用单位圆中的三角函数研 究正弦函数、余弦函数的性质”，“单位圆为讨论三角函数的性质提供了很好的 直观载体，我们可以借助单位圆，直接从定义出发讨论三角函数的性质” 教材在周期性一节后面专门安排了一个“探究与发现：函数 y=Asin(x+) 与 y=Acos(x+)的周期，你认为上述求函数 y=Asin(x+)； y=Acos(x+) 周期的方法能否推广到求一般周期函数的周期上去?” 3 因此，仔细研
4、究教材的编写意图，我们会发现这节课在整个高中函数课程 教学中起到了一个重要的承上启下的作用，即：完成了从必修 1 到必修 4 中研究 函数按照从函数的定义到作函数图像再到讨论函数性质最后到函数模型应用的 顺序展开，同时通过教材的探究与发现环节，又将学生带入了从特殊到一般抽象 过程，完成了一个学生对于概念的认识的升华过程！ （二）学情分析 授课对象所在的学校是首批浙江省一级普通高中特色示范学校，学生程度较 好.在现行教材编写与教学过程安排中，学生在知识上已经掌握了诱导公式、正 弦、余弦函数图象及五点作图的方法；也掌握了指数函数、对数函数的研究经验. 在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力
5、；在思想方法上已经具有一 定的数形结合、类比等数学思想 因此，列举出生活中周而复始的现象的例子是容易的，但是抽象出一般函数 周期性的概念有一定的难度.同时有了函数周期性的形式化定义，正例的判断是 容 易 的 ， 但 是 运 用 逻 辑 推 理 进 行 证 明 却 是 困 难 的 . 因此，我设置本节课的教学重点和难点如下： 重点：理解周期函数和最小正周期定义，掌握正余弦函数的周期，并能求一 些简单函数的周期. 4 难点：从现实世界中抽象出周期函数的定义，正弦函数最小正周期的证明. 二、教学目标 依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下： 1.通过从生活中周而复始的现象出发，从
6、特殊到一般，抽象概括出周期函数形式 化定义.在这一过程中，培养数学抽象这一核心素养：从现实世界中存在着大量 周而复始的现象这些具体背景中抽象出周期函数的定义；用数学语言予以表征. 通过对本节课的学习，积累从具体到抽象的活动经验；运用数学抽象的思维方式 思考并解决问题. 2.选取正例与反例，运用逻辑推理，加深对周期函数和最小正周期的本质认识而 促进概念的学习.在应用形式化定义判断函数是否为周期函数、求函数的最小正 周期的过程中，通过辨别、逻辑推理等，学生对概念的认识将变得稳定而又清晰， 将同化于自身认知结构中.在这一过程中，培养逻辑推理这一核心素养：通过对 本节课的学习，逐步养成学生能论证命题.
7、 3.体会从特殊函数到一般函数、从正弦函数周期到函数 y=Asin(x+)、 y=Acos(x+)再到求一般周期函数的周期上去，体现了从特殊到一般的研究策 略. 三、教学策略分析 本节课在教学材料的组织上，选择了学生上课举例、数学学习小组课前查阅 现实世界中周而复始的现象，以小组选派代表的形式汇报成果.应用问题探究式 教学方式，运用正反例，让学生积极参与形式化定义形成过程.借助几何画板， 回顾正弦函数的定义，并对正弦函数的图像进行“修补”，进一步加深对周期函 数这一概念的认识；运用高拍仪展示学生思考成果，充分展示学生的思维过程. 因此本节课采用数学抽象与逻辑推理紧密结合的方式，学生以周而复始的
8、感性认 识为基础，经过思考与讨论，进一步数学抽象，获得对数学概念深刻理解的过程； 运用函数的周期性解决问题，从特殊函数再推广到一般函数，学生运用逻辑推理. 采用问题探究和信息技术相结合的手段，利用几何画板和高拍仪等信息技术加以 辅助，充分展示学生的思维过程，又在不断的设问中，对概念的认识进一步升华. 5 四、教学过程 为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下五个环节 情境引入 概念生成 概念完善 概念应用 课堂小结 接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作 出说明. （一）情境引入 问题 1：这是一张课程表，一个学期 150 多天，为什么只列出了 7 天
9、的课程？下 周一的这个时候呢？下下周一呢？ 【学生回答】 每周的课程都是一样的，重复出现，所以只列出了 7 天的课程. 下周一的这个时候是数学课.下下周一的这个时候，还是数学课！ 【设计意图】 生活中存在周而复始的现象，数学源于生活，也体现了应用数学 解决现实问题. 问题 2：现实生活中有哪些周而复始的现象？ 【学生回答】（预设）一年四季交替变化；每日作息规律；匀速圆周运动；天体 运行等. 师 ：我们的数学学习小组在课前查阅了相关的资料，下面有请小组代表上来进行 展示. 【学生上台展示】 （预设）地球自转引起的昼夜交替变化；月亮圆缺变化，即 朔-上弦-望-下弦-朔；潮汐变化，即海水在月球和太阳
10、引力作用下发生的周期性 涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移 6 变化；交变电流随时间的变化情况，电流值也是重复出现的. 地球绕日公转轨道是一个接近正圆的椭圆,每经过一年地球围绕着 太阳转一周.在一年内，日地距离都在不停的变化中.无论从哪个时刻t 算 起，经过一年时间，地球又回到原来的位置，所以地球与太阳的距离是 周而复始变化的. 循环小数： 2 9 3 2 23 0.2, 0.3, 0.0 2, 0.23 9 99 99 ，如 23 99 ，小数点后 2,3 依次 重复出现. 水车上 A 点到水面的距离为 y ，假设水车 5min 转一圈，那么 y 的值 每
11、经过 5 min 就会重复出现，因此距离 y 随时间的变化规律是周而复始 变化的. 【设计意图】 通过数学学习小组课前查阅，小组代表上台分享，同学们了解到 大到天体的运行，小到质点的运动，生活、物理、数学中存在大量的周而复始的 现象. （二）概念生成 问题 3：如何用数学的方法来刻画现实世界中周而复始的现象？以小组代表所举 的日地距离为例. 【教师追问 1】 随着时间的变化，日地距离发生变化.对于特定的时间点，日地 距离是唯一确定的，你打算用哪个数学概念刻画？ 【学生回答】 我们需要构造一个函数来刻画. 【教师追问 2】 哪个量是自变量？哪个量是因变量？ 【学生回答】 在任何一个确定的时刻，地
12、球与太阳的距离 s 是唯一确定的，因 此距离 s 是关于时间t 的函数. 【教师追问 3】 每过一年后，地球又回到原来的位置.如何用函数关系式来刻画 这一周而复始的现象？ 【学生回答】自变量的值每增加 12， 距 离 s 会重复出现，便有了 f t 12 f t . 问题 4：我们再看数学中的例子，以循环小数 23 99 0.23 为例，谁能同样构造函 数来刻画这个循环小数周而复始的现象？ 7 【教师追问 1】 这里是否存在两个量，一个量引起另一个量的变化？ 【教师追问 2】 23 99 0.23，这里的十分位是 2，百分位是 3，千分位是 2，万分 位是 3，小数点后的第 5 位是？小数点后
13、的第n 位是？ 【教师追问 3】在这一过程中，你找到了那两个变量了吗？ 【学生回答】 小数点后的第n 位的数字作为这个函数的函数值，记作 y f n. 【教师追问 4】你能否写出这个函数的解析式？ 2,n 2k 1 【学生回答】 可写成分段函数的形式， f n ,k N 3,n 2k . 【教师追问 5】如何用函数的关系式来刻画循环小数出现周而复始的现象？ 【学生回答】 f n 2 f n.循环小数的循环节的长度为 2，自变量每增加 2， 函数值会重复出现. 问题 5：水车上 A 点到水面的距离呈现周而复始的现象，这给我们似曾相识的感 觉，当初我们定义正弦函数，就是类似这个背景.正弦函数是如何
14、定义的？选用 哪条有向线段表示正弦线？ 【学生回答】 正弦函数是以角 x 为变量，角的终边与单位圆的交点纵坐标为函 数值的函数.选用有向线段 MP 表示正弦线. 【教师追问 1】 角逆时针方向转动一圈，正弦函数值重复出现，如何用数学表 达式刻画这一规律? 【学生回答】即自变量增加 2 ，正弦函数值会重复出现，即正弦线的长度和符 号均没有发生变化.用式子来描述，sinx 2 sin x, x R ，这也是正弦函数的 诱导公式.可以抽象成一般函数的形式： f x 2 f x. 8 【教师追问 2】角继续逆时针方向转动或者顺时针方向转动，正弦函数值重复出 现，如何用数学关系式刻画这一规律? 【学生回
15、答】当自变量的值每增加 2 的整数倍时，正弦值会重复出现，即 sinx 2k sin x, x R .可以抽象成一般函数的形式： f x 2k f x. 【设计意图】 对于现实世界中的周而复始现象进行数 学 抽 象 ，与学生共同构造 函数，进一步的利用函数关系式，刻画周而复始的现象.在这一过程中，需要学 生用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型的过程，培养学生数 学 建 模 素养. 问题 6：你能否给出周期函数的定义? 【学生回答】一般地，对于函数 f（x），如果存在一个 T，满足 f(x+T)=f(x)，那 么函数 f(x)就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期. （三）概念完善 问题
16、 7：你认为这个函数的周期 T 具有怎样的要求？ 【学生回答】T 是非零常数，若 T 为零，任何一个函数都是周期函数，如果所有 函数都是周期函数，研究周期函数失去意义.因此T 0 或者T 0 ,T 是常数，不 随 x 的变化而变化. 问题 8：对于 f(x+T)=f(x)中的 x 有无要求，是否只要一个 x 满足即可？是否无数 个 x 满足即可？ 【学生回答】举一个反例即可.我们回到熟悉的正弦函数 y sin x ， x ，角 x 6 2 逆时针方向转动 3 2 ，得到关系式 f x f x 3 ，我们知道对于 x ， 4 2 f x 3 f 2 x ，因 此 3 并不是函数的周期.同理 x
17、2k ，无数个 x 满足 6 2 f x 3 f 2 x， 3 并不是函数的周期. 周期函数的定义：一般地，对于函数 f（x），如果存在一个非零的常数 T，使得 定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x+T)=f(x)，那么函数 f（x）就叫做周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期. 9 【设计意图】 高一的学生对于“任意”“存在”的理解是比较困难的，教学中 让更多的学生参与概念的生成过程，让学生提出想法，并让学生辨析这个想法是 否科学.一个概念是严谨的，科学的，不能随心所欲地去编造，必须去论证它的 合理性.因此与学生共同探究常数 T 的存在性和非零性，变量的任意性，逐步完 善周期函数的
18、定义，着力于知识构建，让学生去体验一个新的数学概念是如何形 成的. 问题 9：正弦函数周期是多少？ 【学生回答】 2,4,6,以及 2,4,6, 都是正弦函数的周期.周期函数 的周期不唯一. 【设计意图】 学生参与概念的形成后，运用正面的例子，加深学生对周期函数 概念的理解. 辨析 1：函数 f x sin x, x0,4 是周期函数吗？函数 f x sin x,x0, 6 是 周期函数吗？函数 f x sin x,x0,是周期函数吗？ 【学生回答】 不是.假设存在非零常数 0 0 T 是这个函数的周期，若T ,由周期 0 函数定义知 f x T 0 f x，当 x 4 时， f T f ，此
19、 时 f 4 T 4 4 0 0 没有定义.同理 0 0 T ,也不符合.因此函数 f x sin x, x0,4 不是周期函数. 同理，函数 f x sin x,x0, 6 不是周期函数. f x x x ， 此 时 对 于 定 义 域 内 的 每 一 个 x ， 都 有 sin , 0, f 2 . 2k 是这个函数的周期. x f x 问题 10：周期函数，对于定义域应该具有怎样的要求？为什么？ 【师生总结】 若函数 f x是一个周期函数，f(x+T)=f(x)，要使得代数式有意义， x （D 为函数的定义域）， D x T D, x 2T D,x nT D n N .若周期 T 0 ，
20、定义域的右端是无界的；若周期T 0 ，定义域的左端是无界的.说明函 数的定义域至少有一端是无界的. 【设计意图】 仅从形式化的定义中，学生很难抽象出对周期函数的稳定而又清 晰的理解.从同学们熟悉的正弦函数为例，改变函数的定义域，判断函数是否为 10 周期函数，进一步加深对周期函数概念的理解，为今后判断函数是否为周期函数 提供了视角：研究函数定义域先行，周期函数的定义域至少有一端是无界的. 辨析 1：函数 f x sin x, x 0 是周期函数吗？若是，请指出函数的周期. 【学生回答】 假设存在非零常数 T 是这个函数的周期,由周期函数定义知 0 f T x T f x 0 ，即 f ，此时
21、0 f T T f T 没有定义，因此函数 0 0 0 0 T f 不是周期函数. x sin x, x 0 【师生总结】 我们借助数进行严格说明，也可以借助形进行几何直观感知.这个 函数的图像特征是图像上挖去一个点，图像没有重复出现. 问题 11：对于这个正弦函数 f x sin x, x 0 的图像，能否继续挖去一些点，使 得这个函数成为周期函数？ 【学生回答】 f x sin x, x k,k Z ，此时挖去正弦函数与 x 轴的交点，此时 对于定义域内的每一个 x ，都有 f x 2 f x. 2k k Z是这个函数的周期. 问题 12：隐去正弦函数的图像，留下原先打算挖掉的点，此时函数
22、还是周期函 数吗？ 【学生回答】 f x 0,x k,k Z ，此时对于定义域内的每一个 x ，都有 f x f x. k k Z 是这个函数的周期. 【设计意图】 学生对函数图像进行“修补”，正例与反例的运用，通过假设、 证明等过程，学生对周期函数的概念认识将变得更加深刻，从而获得有意义的学 习.在对正弦函数图像进行“修补”，建立数与形的联系，利用图形理解数学问 题，进一步培养学生的直 观 想 象 素 养 . 辨析 2：请判断狄利克雷函数 D x 1, 当x是有理数 0，当x是无理数 是否为周期函数，并说明 理由. 【学生回答】设 r 是任意一个非零有理数，当 x 是有理数时， x r 也是
23、有理数， Dx r Dx1；当 x 是无理数时， x r 也是无理数， Dx r Dx 0，因 此两种情况下都有 Dx r Dx，故 Dx是周期函数，任何非零有理数都是它 11 的周期. 设 s 是任意一个无理数，当 x 是有理数时， x s 是无理数， Dx s 0,D x1， Dx s D x，因此无理数 s 不是函数 Dx的周期. 【设计意图】 学生习惯运用几何直观进行判断函数是否为周期函数，狄利克雷 函数无法做出精确图像，要进一步回归周期函数的定义，需要借助代数严格说明. 问题 13：我们知道周期函数的周期不唯一，2,4,6,以及 2,4,6, 都 是正弦函数的周期.如果从中选取一个作
24、为代表，你会选取谁呢？ 【学生回答】选取其中最小的正数为代表；选取最大的负数为代表. 最小正周期的定义：如果在周期函数 f x的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个正数叫做 f x的最小正周期. 问题 14：函数的最小正周期定义中去掉“如果”会怎么样？ 【学生回答】 去掉“如果”，意味着周期函数的所有周期中必定存在一个最小 的正数，换句话说，周期函数的所有周期中可能不存在一个最小的正数. 问题 15：你能否举出一个函数是周期函数，但它没有最小正周期？ 【学生回答 1】Dx 1, 当x是有理数, 是周期函数，所有的非零有理数都是它 0，当x是无理数, 的周期，没有最小正数，故 Dx没有最小正
25、周期. 【学生回答 2】常值函数 f x c （c 为常数， x R ）是周期函数，所有的非零 实数都是它的周期，没有最小正数，所以常值函数没有最小正周期. 【学生回答 3】 f x sin x, x ,0，所有的 2k k N 是函数的周期，而 最小正数是不存在的，所以这个函数没有最小正周期. 【设计意图】 周期函数的周期不唯一，学生讨论形成最小正周期的定义，紧紧 抓住“如果”两字，加深对最小正周期概念的理解：周期函数不一定存在最小正 周期. 约定：今后课本中涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指数函数的最小 正周期. 12 （四）概念应用 问题 16：周期函数 f x sin xx R
26、的最小正周期是什么？为什么？ 【学生回答 1】以下用反证法.假设存在0 T 0 2 ，对于定义域内的每一个 x , 使得 f x T 0 f x,即sinx T sin x 0 .当 0 x ，满足 f T f ，即 0 2 2 2 sin 2 T ，cos 1, 0 sin T 根据余弦函数的定义，当0 T 2 时，cos 1 0 0 T ， 0 2 这说明 cosT 1是不可能的.于是周期函数 f x sin xx R的最小正周期是 0 2 . 【学生回答 2】以下用反证法.假设存在0 T 0 2 ，对于定义域内的每一个 x , 使得 f x T 0 f x,即 sinx T sin x
27、.当 x 0 ，满足 f 0 T 0 ，即 0 0 f sin 0 T ， 0 k, 0 0 T 由 于 0 T 2 ， 故 T . 而 根 据 诱 导 公 式 知 0 sinx sin x ，与sinx T sin x .假设错误，周期函数 f x sin xx R的 0 最小正周期是 2 . 【设计意图】 在人教 A 版的教材中，2 是正弦函数和余弦函数的最小正周期， 并没有给出证明.教参中专门说到：对于学有余力的同学，可以尝试证明 2 是正 弦函数和余弦函数的最小正周期.本次授课的对象是首批浙江省一级普通高中特 色示范学校，学生程度较好，采用有一定难度的反证法，不仅对掌握反证法的思 想有
28、好处，也能加深对周期函数概念的理解，因此让学生尝试证明. 问题 17：周期函数 f x cos xx R的最小正周期是什么？ 【学生回答】周期函数 f x cos xx R的最小正周期是 2 . 例 求下列函数的周期： 1 （1） f x sin 2x ； （2） gx x x R 2sin ,（1） f x sin 2x ； （2） gx x x R 2 6 ； 【学生解答】 （1）设非零常数T 为 f x的周期,则 f x T f x, 即 sin 2x T sin 2x, 对任 13 意实数 x 都成立.也就是sinu 2T sin u, 对任意实数u 都成立，其中u 2x .由 于si
29、n u 的最小正周期为 2 ，可知 2T 2, 即T ,所以 f x sin 2x 的最小正周 期为 . （2）设 非 零 常 数 T 为 gx 的 周 期 , 则 gx T gx, 即 2sin 1 2 1 x T 2sin x ， 对 任 意 实 数 x 都 成 立 . 也 就 是 6 2 6 1 1 sinu T sin u, 对任意实数u 都成立，其中u x .由于sin u 的最小正周 2 2 6 1 1 期为 2 ，可知 T 2,即T 4 ,所以 gx 2sin x , x R 2 2 6 的最小正周期 为 4 . 问题 18：你能归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 【
30、 师 生 总 结 】 这 些 函 数 的 周 期 与 解 析 式 中 x 前 的 系 数 有 关 . 对 于 函 数 y=Asin(x+)； y=Acos(x+)的最小正周期都是 2 . 问题 19：你认为上述求函数 y=Asin(x+)； y=Acos(x+)周期的方法能否推广 到求一般周期函数的周期上去？即命题：“如果函数 y f x的周期是 T，那么 函数 y f x的周期是 T 0”是否成立？ 【 学 生 解 答 】 设 非 零 常 数 T 为 f x 的 周 期 , 则 f x T f x 即 0 , 0 f x T f x ，对任意实数 x 都成立.也就是 f u T f u,对任
31、意实数 0 , u 都成立，其中u x .由于 f u的最小正周期为T ，可知 T T 即 0 , T 0 T ,所 以函数 y f x的周期是 T 0. 【设计意图】 在教材例 2 后，教科书设置了一个“思考”，让学生归纳正弦型 和余弦型函数的周期与解析式中的哪些量有关.教材的“探究与发现”里，给出 了代数解释，并提出一个“思考”，引导学生将三角函数得到的结论推广到一般 函数.运用归 纳 ，从特殊函数到一般函数，理解事物之间的关联，把握知识结构， 14 培养学生逻 辑 推 理 能力. （五）课堂小结 这节课我们从现实生活中周而复始的现象中抽象出函数的周期性的概念，同 时我们不断围绕函数的周期
32、性的概念，思辨了函数的周期性问题，这正如一位数 学家所说的： 五、课堂教学目标检测 例 1：等式 sin 1200 sin 30 是否成立？如果这个等式成立，能否说120 是 30 正弦函数 y sin x, x R 的一个周期？为什么？ 定义在 R 上的函数如图所示，请判断函数是否为周期函数？若是，请求出周 期. 【设计意图】 应用周期函数的形式化定义，第一问违背了定义域中的每一个 x ； 第二问违背了存在T ,使得定义域中的每一个 x ，都有 f x T f x. 例 2：判断下列函数是否为周期函数？若是，请指出其中的周期 1 y cos 2x, x R 3 ; 1 y sin x , x
33、 R 3 4 ; y x x，（这里的x是取整函数，即x的值为不大于 x 的最大整数，如 1 1, 0.2 1等） 【设计意图】 学会求解 y=Asin(x+)； y=Acos(x+)周期并能运用定义求一 15 般函数的周期. 例 3：你认为我们应当如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质？ 【设计意图】 让学生课堂讨论、归纳总结，可以先在一个周期的区间上研究函 数的性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域. 六、教学特点及反思 （1）数学抽象与逻辑推理紧密结合 本节课紧扣教学参考的要求，通过学生举例和数学学习小组课前查阅，充分 感受现实世界中周而复始的现象，进一步构造函数
34、，抽象出周期函数的定义，通 过概念的辨析，对概念的认识将变得稳定而又清晰.在对概念进行辨析和运用函 数的周期性解决问题时，学生运用逻辑推理，逐步养成学生能论证命题，掌握证 明的基本形式.本节课中，学生积累了从具体到抽象的活动经验；从特殊函数再 推广到一般函数，运用归纳，进行逻辑推理.数学抽象与逻辑推理，是高中学生 数学学习的核心素养，本节课合理地将数学抽象与逻辑能力的培养融入到课堂教 学之中，更是设置了一些学生自主思考，学生展示等交流平台，充分了挖掘了本 节课的思维的深度与广度. （2）问题探究与信息技术有机结合 应用问题探究式教学方式，借助问题串，从现实世界周而复始的现象中，通 过构造函数，
35、利用代数式去刻画周而复始的变化规律，让学生积极参与形式化定 义形成过程.在利用代数式刻画周而复始的变化规律时，借助几何画板，回顾正 弦函数的定义，充分体会蕴含在其中的数形结合的思想方法；不断的设置问题串， 辨析函数是否为周期函数，又借助几何画板直观感知，进一步加深对周期函数这 一概念的认识；运用高拍仪展示学生思考成果，充分展示学生的思维过程，又在 不断的设问中，对概念的认识进一步升华. 以上就是我的课堂教学设计，真诚地希望得到各位专家的批评指正，谢谢！ 16 让学生在数学的学习中成长 评王礼勇老师课例函数的周期性 浙江省温州中学 陈相友 普通高中数学课程标准（2017 年版）中特别指出：“数学
36、核心素养：学 生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要 的数学思维品质与关键能力.”如何上好一堂基于核心素养背景下的概念课，落 实好“用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实 世界”，引发很多一线教师的思考 王礼勇老师的这堂课的基本教学思路是：让学生充分感受现实世界中存在着 大量的周而复始的现象，构造函数，抽象出周期函数的定义，进一步选取正例与 反例，加深对概念的理解，进一步运用概念辨析周期性问题.其中以下几个方面 给我留下了深刻的印象： 1概念的“数学抽象” 从一张课程表开始，学生列举现实中周而复始的现象，数学学习小组课前查 阅相关资料，
37、在学生所举的实际情境中从数学的视角发现问题-构造函数，对现 实问题进行数学抽象，而后借助函数的关系式刻画现实世界中的周而复始的现 象，从而与学生初步形成了周期函数的“定义”.尤其是在构造函数描述现实问 题这一过程中，在日地距离这一问题中，经历一步步的引导，学生体会到用函数 刻画这些现象；在循环小数中，立即问学生能否构造一个函数，体现了学生数学 抽象的不同水平.通过不断的设置问题串，和学生共同舍去事物的物理属性，得 到数学研究对象，并用数学语言予以表征. 2命题的“逻辑推理” 学生讨论形成周期函数的“定义”后，思考、辨析自己形成的“定义”的合 理性与严谨性，运用逻辑推理，加深对概念的认识.在应用
38、定义去辨析函数是否 为周期函数、求函数的最小正周期的过程中，运用反证法，选取正例与反例，学 生对概念的认识变得更加稳定而又清晰.从特殊函数到一般函数，从正弦函数周 期到一般函数的周期，运用了归纳的推理形式，形成有逻辑地表达. 17 我觉得，作为一名青年教师，王礼勇老师尽力行走在自己的能力边缘，敢于 且肯于花大时间在概念的自然形成环节，力求经典课题上出新味，这是十分难得 的. 可以说本节课为如何上好一节数学概念课提供了一个很好的课例，同时也获 得了学生和听课老师的一致好评 18 围绕“概念的核心”开展教学 评王礼勇老师课例函数的周期性 浙江省温州外国语学校 李芳 数学概念是反映客观事物在数量关系
39、和空间形式方面的本质属性的思维方 式，是人们通过实践，从数学所研究的事物对象的许多属性中，抽象出其本质属 性概括而成的。普通高中数学新课程标准中特别提出：“高中数学课程应该 返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的过程和本质。数学课程要讲逻辑推 理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索的活动，使得学生理解数 学概念、结论逐步形成的过程。”王礼勇老师的这节概念课，以下几点给我留下 了深刻的印象： 1突出周期概念的本质和建构过程 为了让学生在经历周期概念的概括过程中，更好地体会其本质和思想方法， 遵循教材编写意图，在教学设计中强调通过现实世界中周而复始的现象这些典型 实例，从具体情境中构造
40、函数，进一步引导学生借助函数关系式来刻画周而复始 的现象。学生讨论形成周期函数的“定义”后，进一步辨析概念，进一步的挖掘定 义内涵与外延，建构起对周期概念的认识：T 是非零的常数；周期函数的定义域 至少有一端是无界的。这样既衔接了必修 1 函数的研究经验，又使学生在用刻画 周期函数概念的过程中形成对概念本质的切身体验 2.为学生概括和领悟周期概念搭建“脚手架” 在现实情境中，构造函数，要理清自变量与因变量的关系；由 f(x)的形式化 表达方式所带来的高度抽象性，并借助这个表达式刻画周而复始的现象，确实有 很大的难度。因此，在本节课中，王礼勇老师特别注意以具体例证（学生举例、 学习小组代表课前查
41、阅周而复始现象的资料）为载体化解周期函数的抽象性，运 用丰富的教学辅助手段（多媒体、几何画板、高拍仪展示），为学生搭建理解与 展示的平台，铺设概括的路线和阶梯，以帮助学生感悟周期函数概念的“本来面 目”在概念辨析时，运用正例与反例，借助几何直观与代数论证，给予思想方 法的明确和具体指导，在概念教学中的自然渗透和有机联系 概念的初步获得往往是肤浅的，王礼勇老师注重从内涵方面对周期函数的概 念本质属性辨析，将抽象概念上升至具体概念，继续深入地研究，使一般性的认 19 识极大地充实和丰富起来，使学生从中受益，这是十分难得的. 可以说本节课为 如何上好一节数学概念课提供了一个很好的课例，同时也获得了学生和听课老师 的一致好评 20
