1、 1 超几何分布与二项分布的区别超几何分布与二项分布的区别 知识点关键是判断超几何分布与二项分布 判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总 体(共有N个)内含有两种不同的事物 ()A M个、()B NM个,任取n个,其中恰有X个A.符合该条件的 即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列 () kn k MN M n N C C P Xk C （0,1,2,km）进行处理就可 以了. 二项分布必须同时满足以下两个条件:在一次试验中试验结果只有A与A这两个,且事件A发生 的概率为p,事件A发生的概率为1 p ；试验可以独立重复地进行,即每次重复做一
2、次试验,事件A发 生的概率都是同一常数p,事件A发生的概率为1 p . 1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测 的概率为 2 3 .现有 10 件产品，其中 6 件是一等品，4 件是二等品. () 随机选取 1 件产品，求能够通过检测的概率； () 随机选取 3 件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列； () 随机选取 3 件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 2、第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行,为了搞好接待工作，组 委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者
3、。将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶 图（单位:cm） ：若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”. （）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？ （）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用表示所选志愿者中能担 任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望. 2 3、某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.
4、某班 学生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆 能力偏高的学生为 3 人. 视觉 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常 听 觉 记 忆 能 力 偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 b 偏高 2 a 0 1 超常 0 2 1 1 由于部分数据丢失，只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为 中等或中等以上的概率为 2 5 .（）试确定a、b的值； （）从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆 能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为,求随机变量的分布列. 4、在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是
5、: 每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者 获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是 2 3 （）记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望； （）求教师甲在一场比赛中获奖的概率； （）已知教师乙在某场比赛中，6 个球中恰好投进了 4 个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获 奖的概率相等吗？ 听觉 3 H C A1 A2 B1 B2 L1 L2 A3 5、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐 射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则
6、不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为 1 6 ，第 二轮检测不合格的概率为 1 10 ，两轮检测是否合格相互没有影响. （）求该产品不能销售的概率； （）如果产品可以销售，则每件产品可获利 40 元；如果产品不能销售，则每件产品亏损 80 元（即 获利-80 元）.已知一箱中有产品 4 件，记一箱产品获利 X 元，求 X 的分布列，并求出均值 E(X). 6、张先生家住 H 小区，他在 C 科技园区工作，从家开车到公司上班有 L1，L2 两条路线（如图） ，L1 路线上有 A1，A2，A3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 1 2 ；L2 路线上有 B1，B2 两个路口， 各路口遇到
7、红灯的概率依次为 3 4 ， 3 5 （）若走 L1 路线，求最多遇到 1 次红灯的概率； （）若走 L2 路线，求遇到红灯次数X的数学期望； （）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生 从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由 7、某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客，假设每位 乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的. () 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率； () 用X表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望. 4 8、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为 1
8、 2 3 p ，乙的命中率为 2 p，在射击比武活动中每人 射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击 小组为“先进和谐组”； （）若 2 1 2 p ,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； （）计划在 2011 年每月进行 1 次检测，设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果 5E,求 2 p的取值范围. 9、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4 只小白鼠组成， 其中 2 只服用A，另 2 只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数 比服用B有效的多，就称该试
9、验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为 3 2 ,服用B有效的概 率为 2 1 . （）求一个试验组为甲类组的概率； （）观察 3 个试验组，用表示这 3 个试验组中甲类组的个 数，求的分布列和数学期望。 10、盒子中装有大小相同的 10 只小球，其中 2 只红球，4 只黑球，4 只白球规定：一次摸出 3 只 球，如果这 3只球是同色的，就奖励 10 元，否则罚款 2 元 （）若某人摸一次球，求他获奖励的概率； （）若有 10 人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量为获奖励的人数， （i）求 (1)P （ii）求这 10 人所得钱数的期望 （结果用分数表示，参考数据： 10 1
10、41 152 ） 5 图（4） 六级五级四级三级二级一级 空气质量级别 0 2 天数 6 4 8 10 课后练习巩固 课后练习巩固 1、空气质量指数PM2.5 (单位: 3 /mg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代 表空气污染越严重PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示： PM2.5日均浓度 035 3575 75115 115150 150250 250 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 从甲城市 2013 年 9 月份的 30 天中随机抽取 15 天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图 5 所示 （1）试估计甲城市在 2013 年
11、 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数； （2）在甲城市这 15 个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良 的天数，求X的分布列及数学期望 2、根据空气质量指数AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表: 某市 2013 年 10 月 1 日10 月 30 日，对空气质量指 数AQI进行监测,获得数据后得到如图 （4） 的条形图: （1）估计该城市本月(按 30 天计)空气质量类别为中 度污染的概率； （2）在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列. AQI（数值） 050 51 100 101 150 151200 2013
12、00 300 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类别颜 色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐红色 3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9 图 5 6 a 图3 重量/克 频率 组距 0.032 0.02 0.018 45 35 2515 5O 3、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布 直方图如图所示 （I）估计这次测试数学成绩的平均分； （II）假设在90，100段的学生的数学成绩都不相同，且都超过 94 分若将
13、频率视为概率，现用简 单随机抽样的方法，从 95，96，97，98，99，100 这 6 个数中任意抽取 2 个数，有放回地抽取了 3 次， 记这 3 次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望E 4一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它 们的重量（单位：克） ，重量分组区间为5,15，15,25，25,35，35,45， 由此得到样本的重 量频率分布直方图，如图3. （1）求a的值； （2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （注：设样本数据第i组的频率为 i p，第i组区间的中点值为 i x1,2,3,in，
14、则样本数据的平均值为 112233nn Xx px px px p.） （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5,15内 的小球个数为，求的分布列和数学期望. 7 5、甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零 分假设甲队中每人答对的概率均为 2 3 ，乙队中3人答对的概率分别为 2 2 1 , 3 3 2 ，且各人回答正确与 否相互之间没有影响用表示甲队的总得分 （1）求随机变量的分布列和数学期望； （2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分” 这一事件，求()P AB 6PM2.5 是指大气中直径
15、小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。我国 PM2.5 标准 采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/ 立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级； 在 75 微克/立方米以上空气质量为超标。 某试点城市环 保局从该市市区 2013 年上半年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天的数据作为样本， 监测值如 右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） 。 （1）在这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中，求其中位数； （2）从这 15 天的数据中任取 2 天数据，记表示抽到 PM2.5 监测数据超标的
16、天数，求的分布列及 数学期望； （3）以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 360 天计算）中平均有多少 天的空气质量达到一级或二级. 8 参考答案 超几何分布与二项分布的区别超几何分布与二项分布的区别 知识点关键是判断超几何分布与二项分布 判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总 体(共有N个)内含有两种不同的事物 ()A M个、()B NM个,任取n个,其中恰有X个A.符合该条件的 即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列 () kn k MN M n N C C P Xk C （0,1,2,km）进行处
17、理就可 以了. 二项分布必须同时满足以下两个条件:在一次试验中试验结果只有A与A这两个,且事件A发生 的概率为p,事件A发生的概率为1 p ；试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A发 生的概率都是同一常数p,事件A发生的概率为1 p . 1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测 的概率为 2 3 .现有 10 件产品，其中 6 件是一等品，4 件是二等品. () 随机选取 1 件产品，求能够通过检测的概率； () 随机选取 3 件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列； () 随机选取 3 件产品，求这三件产品都不能通过检测的概
18、率. 1.【解析】 （）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A 分 事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” 2 分 15 13 3 2 10 4 10 6 )(Ap () 由题可知X可能取值为 0,1,2,3. 30 46 3 10 1 (0) 30 C C P X C , 21 46 3 10 3 (1) 10 C C P X C , 12 46 3 10 1 (2) 2 C C P X C , 03 46 3 10 1 (3) 6 C C P X C . 8 分 故X的分布列为 9 分 ()设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为B 10 分 事件B等于事
19、件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以， 3 111 ( )( ) 303810 P B . 13 分 2、第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行,为了搞好接待工作，组 委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶 图（单位:cm） ：若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm 以下（不包括 X 0 1 2 3 P 30 1 10 3 2 1 6 1 9 175cm）定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”
20、. （）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？ （）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用表示所选志愿者中能担 任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望. 2.【解析】 （）根据茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子”18 人，1 分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 6 1 30 5 ， 2 分 所以选中的“高个子”有2 6 1 12人， “非高个子”有3 6 1 18人3 分 用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中” ，则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选 中”
21、 ， 则 ( )P A 1 2 5 2 3 C C 10 7 10 3 15 分 因此，至少有一人是“高个子”的概率是 10 7 6 分 （）依题意，的取值为0,1, 2,3 7 分 55 14 C C )0( 3 12 3 8 P， 55 28 C CC ) 1( 3 12 2 8 1 4 P， 55 12 C CC )2( 3 12 1 8 2 4 P， 55 1 C C )3( 3 12 3 4 P 9 分 因此，的分布列如下： 0 1 2 3 p 55 14 55 28 55 12 55 1 10 分 1 55 1 3 55 12 2 55 28 1 55 14 0E 12 分 3、某
22、地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班 10 学生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆 能力偏高的学生为 3 人. 视觉 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常 听 觉 记 忆 能 力 偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 b 偏高 2 a 0 1 超常 0 2 1 1 由于部分数据丢失，只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为 中等或中等以上的概率为 2 5 .（）试确定a、b的值； （）从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆 能力或视觉记
23、忆能力偏高或超常的学生人数为,求随机变量的分布列. 3.【解析】 （）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生 共有(10 )a 人.记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A， 则 102 ( ) 405 a P A ，解得6a ，从而 40(32)40382ba . （） 由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为 3 40 C,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或 超常的学生共 24 人,从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏 高或超常的结果数为 3 2416 kk C C ，
24、所以从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视 觉记忆能力偏高或超常的概率为 3 2416 3 40 () kk C C Pk C (0,1,2,3)k .的可能取值为 0、1、2、3. 因为 03 2416 3 40 14 (0) 247 C C P C , 12 2416 3 40 72 (1) 247 C C P C , 21 2416 3 40 552 (2) 1235 C C P C , 30 2416 3 40 253 (3) 1235 C C P C ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 14 247 72 247 552 1235 253 1235
25、4、在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者 获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是 2 3 （）记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望； （）求教师甲在一场比赛中获奖的概率； （）已知教师乙在某场比赛中，6 个球中恰好投进了 4 个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获 奖的概率相等吗？ 4.【解析】 （）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知 XB(6， 2 3 ). 6 6 21 () 33 kk k P X
26、kC (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k ) 所以 X 的分布列为： 听觉 11 X 0 1 2 3 4 5 6 P 1 729 12 729 60 729 160 729 240 729 192 729 64 729 所以 1 (0 1 1 122 603 1604 2405 1926 64) 729 EX = 2916 4 729 . 或因为 XB(6， 2 3 )，所以 2 64 3 EX . 即 X 的数学期望为 4 （）设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A，则 224156 44 1212232 ( )( )( )( )( ). 3333381 P ACC 答：教师甲在一场比赛
27、中获奖的概率为 32 . 81 （）设教师乙在这场比赛中获奖为事件 B，则 24 44 6 6 2 ( ) 5 A A P B A .(此处为 2 4 4 6 2 5 C C 会更好!因为样本 空间基于:已知 6 个球中恰好投进了 4 个球)即教师乙在这场比赛中获奖的概率为 2 5 . 显然 23232 58081 ，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等 5、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐 射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为 1 6 ，第 二轮检测不合格的概率
28、为 1 10 ，两轮检测是否合格相互没有影响. （）求该产品不能销售的概率； （）如果产品可以销售，则每件产品可获利 40 元；如果产品不能销售，则每件产品亏损 80 元（即 获利-80 元）.已知一箱中有产品 4 件，记一箱产品获利 X 元，求 X 的分布列，并求出均值 E(X). 5.【解析】 （）记“该产品不能销售”为事件 A，则 111 ( )1 (1) (1) 6104 P A . 所以，该产品不能销售的概率为 1 4 . 4 分 （）由已知，可知 X 的取值为320, 200, 80,40,160 . 5 分 4 11 (320)( ) 4256 P X ， 13 4 133 (2
29、00)( ) 4464 P XC ， 222 4 1327 (80)( )( ) 44128 P XC ， 33 4 1327 (40)( ) 4464 P XC， 4 381 (160)( ) 4256 P X . 10 分 所以 X 的分布列为 X -320 -200 -80 40 160 P 1 256 3 64 27 128 27 64 81 256 11 分 12 H C A1 A2 B1 B2 L1 L2 A3 E(X) 11272781 3202008040160 2566412864256 40，故均值 E(X)为 40.12 分 6、张先生家住 H 小区，他在 C 科技园区工
30、作，从家开车到公司上班有 L1，L2 两条路线（如图） ，L1 路线上有 A1，A2，A3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 1 2 ；L2 路线上有 B1，B2 两个路口， 各路口遇到红灯的概率依次为 3 4 ， 3 5 （）若走 L1 路线，求最多遇到 1 次红灯的概率； （）若走 L2 路线，求遇到红灯次数X的数学期望； （）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生 从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由 6.【解析】 （）设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件，则 0312 33 1111 ( )=( )( ) 2222 P ACC 4 分 所以走 L
31、1 路线，最多遇到 1 次红灯的概率为 1 2 （）依题意，X的可能取值为 0，1，2 5 分 331 (=0)=(1) (1) 4510 P X， 33339 (=1)=(1)(1) 454520 P X， 339 (=2)= 4520 P X8 分 故随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 1 10 9 20 9 20 19927 012 10202020 EX 10 分 （）设选择 L1 路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布， 1 (3, ) 2 YB， 所以 13 3 22 EY 12 分 因为EXEY，所以选择 L2 路线上班最好14 分 7、某商场一号电梯从 1 层出发
32、后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客，假设每位 乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的. () 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率； () 用X表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望. 13 7.【解析】 （）设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为A,分 由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 1 3 ， 3 分 则 4 265 ( )1( )1 381 P AP A .6 分 () X的可能取值为 0,1,2,3,4, 7 分 由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 1 3 ，且每个
33、人下电梯互不影响，所以 1 (4, ) 3 XB.9 分 X 0 1 2 3 4 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 11 分 14 ()4 33 E X .13 分 8、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为 1 2 3 p ，乙的命中率为 2 p，在射击比武活动中每人 射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击 小组为“先进和谐组”； （）若 2 1 2 p ,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； （）计划在 2011 年每月进行 1 次检测，设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数，如果 5E,求
34、 2 p的取值范围. 8.【解析】 （） 11 22 2 11 12 21 11 ()()()() 3 32 23 32 23 PCC-6 分 （）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率 1122 2222222 212284 () (1) () 333399 PCCppppp 而 (12,)BP ，所以 12EP,由5E 知 2 22 84 12()5 99 pp, 解得 2 3 1 4 p.-12 分 14 9、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4 只小白鼠组成， 其中 2 只服用A，另 2 只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小
35、白鼠的只数 比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为 3 2 ,服用B有效的概 率为 2 1 . （）求一个试验组为甲类组的概率； （）观察 3 个试验组，用表示这 3 个试验组中甲类组的个 数，求的分布列和数学期望。 9.【解析】 （）设 i A表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只” ，i=0，1，2； i B表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只” ，i=0，1，2 依题意有 1 124 ()2 339 P A , 2 224 () 339 P A, 0 111 () 224 P B, 1 111 ()2 222 P B, 所求的概率为
36、010212 1414144 ()()() 4949299 PP B AP B AP B A （）的可能取值为 0，1，2，3，且 B(3, 4 9), 3 3 45 ()( ) ( ),0,1,2,3 99 kkk PkCk 的分布列为 0 1 2 3 P 125 729 100 243 80 243 64 729 所以数学期望 44 3 93 E . 10、盒子中装有大小相同的 10 只小球，其中 2 只红球，4 只黑球，4 只白球规定：一次摸出 3 只 球，如果这 3只球是同色的，就奖励 10 元，否则罚款 2 元 （）若某人摸一次球，求他获奖励的概率； （）若有 10 人参加摸球游戏，
37、每人摸一次，摸后放回，记随机变量为获奖励的人数， （i）求 (1)P （ii）求这 10 人所得钱数的期望 （结果用分数表示，参考数据： 10 141 152 ） 10.【解析】 （） 3 4 2 10 21 = 15 C p C （） （i）由题意知 1 10,) 15 B（， 15 则 1019 10 141141 (1)1(0)(1)1 ()() 1515157 PPPC （ii）设为在一局中的输赢，则 1146 102 15155 E , 所以 6 (10 )1010 ()12 5 EE ,即这 10 人所得钱数的期望为12. 课后练习巩固 课后练习巩固 1、空气质量指数PM2.5 (
38、单位: 3 /mg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代 表空气污染越严重PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示： PM2.5日均浓度 035 3575 75115 115150 150250 250 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 从甲城市 2013 年 9 月份的 30 天中随机抽取 15 天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图 5 所示 （1）试估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数； （2）在甲城市这 15 个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良 的天数，求X的分布列及数学期望 1.
39、解： （1）由茎叶图可知，甲城市在 2013 年 9 月份随机抽取的 15 天中的空气质量类别为优或良的天 数为 5 天1 分 所以可估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数为 10 天2 分 （2）X的取值为 0，1，2，3 分 因为 02 510 2 15 C C3 0 C7 P X ，5 分 11 510 2 15 C C10 1 C21 P X ，7 分 20 510 2 15 C C2 2 C21 P X 9 分 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 7 3 21 10 21 2 所以数学期望 3 2 21 2 2 21 10 1 7 3 0EX
40、3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9 图 5 10 分 16 图（4） 六级五级四级三级二级一级 空气质量级别 0 2 天数 6 4 8 10 2、根据空气质量指数AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表: 某市 2013 年 10 月 1 日10 月 30 日，对空气质量指 数AQI进行监测,获得数据后得到如图 （4） 的条形图: （1）估计该城市本月(按 30 天计)空气质量类别为中 度污染的概率； （2）在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列. 2.解： （1）由条形统计图可知,空气质量类
41、别为中度污染的天数为 6, -1 分 所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 61 305 P .-4 分 （2）随机变量的可能取值为0,1,2,-5 分 则 2 26 2 30 65 0 87 C P C ,-7 分 11 426 2 30 104 1 435 C C P C ,-9 分 2 4 2 30 2 2 145 C P C -11 分 所以的分布列为: 0 1 2 P 65 87 104 435 2 145 3、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布 直方图如图所示 （I）估计这次测试数学成绩的平均分； （II）假设在90，1
42、00段的学生的数学成绩都不相同，且都超过 94 分若将频率视为概率，现用简 单随机抽样的方法，从 95，96，97，98，99，100 这 6 个数中任意抽取 2 个数，有放回地抽取了 3 次， 记这 3 次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的 次 数 为 ，求的分布列及数学期望E AQI（数值） 050 51 100 101 150 151200 201300 300 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类别颜 色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐红色 17 a 图3 重量/克 频率 组距 0.032 0.02
43、 0.018 45 35 2515 5O 3.解： （I）利用中值估算抽样学生的平均分： 45 0.05+55 0.15+65 0.2+75 0.3+85 0.25+95 0.05 =72. （3 分） 众数的估计值为 75 分 （5 分） 所以，估计这次考试的平均分是 72 分 （6 分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分） （II）从 95， 96，97，98，99，100 中抽 2 个数的全部可能的基本结果数是 2 6 15C ， 有 15 种结果，学生的成绩在90，100段的人数是 0.005 10 80=4（人） ， 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基
44、本结果数是 2 4 6C ， 两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率 62. 155 P （8 分） 随机变量的可能取值为 0、1、2、3，则有 3 3 23 ()( ) ( ),0,1,2,3 55 kkk PkCk 变量的分布列为： 0 1 2 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 （10 分） E 83654546 0123 1251251251255 （12 分） 4一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它 们的重量（单位：克） ，重量分组区间为5,15，15,25，25,35，35,45， 由此得到样本的重 量频率分
45、布直方图，如图3. （1）求a的值； （2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （注：设样本数据第i组的频率为 i p，第i组区间的中点值为 i x1,2,3,in， 则样本数据的平均值为 112233nn Xx px px px p.） （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5,15内 的小球个数为，求的分布列和数学期望. 4 (1) 解：由题意，得0.020.0320.018 101x ， 1 分 解得0.03x . 2 分 18 （2）解：50个样本小球重量的平均值为 0.2 100.32 200.3 300.18 4024.6X （克）. 3 分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. 4 分 （ 3 ） 解 ： 利 用 样 本 估 计 总 体 ， 该 盒 子 中 小 球 重 量 在5,15内 的 概 率 为0.2， 则 1 3, 5 B . 5 分 的取值为0,1,2,3， 6 分 3 0 3
