1、 1 安徽省滁州市定远县重点中学安徽省滁州市定远县重点中学 2020-2021 学年高二学年高二 10 月月考月月考 数学（文）试题数学（文）试题 一、选择题一、选择题(共共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分) 1.某中学举办电脑知识竞赛，满分为 100 分，80 分以上为优秀(含 80 分)，现将高一两个班参赛学 生的成绩进行整理后分成五组：第一组50,60)，第二组60,70)，第三组70,80)，第四组80,90)，第 五组90,100，其中第一、三、四、五小组的频率分别为 0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小组的频数是 40，则参赛的人数以及成绩优秀
2、的概率分别是( ) A 50,0.15 B 50,0.75 C 100,0.15 D 100,0.75 2.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲 组数据的中位数为 106，乙组数据的平均数为 105.4，则 x，y的值分别为( ) A 5,7 B 6,8 C 6,9 D 8,8 3.已知底面为正方形，侧棱相等的四棱锥 SABCD 的直观图和正视图如图所示，则其侧视图的面 积为( ) A B C 2 D 2 4.已知 x与 y之间的几组数据如下表： 假设根据上表数据所得线性回归方程为 x .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求
3、 得的直线方程为 ybxa，则以下结论正确的是( ) A b， a B b， a C b， a D b， a 5.如图，已知曲线 C1：y，曲线 C2和 C3是半径相等且圆心在 x 轴上的半圆.在曲线 C1与 x 轴所围成的区域内任取一点，则所取的点来自于阴影部分的概率为( ) 2 A B C D 6.已知直线 yxb 在 x 轴上的截距在2,3范围内，则直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率是 ( ) A B C D 7.如图，圆周上的 6 个点是该圆周的 6 个等分点，分别连接 AC，CE，EA，BD，DF，FB，向圆内 部随机投掷一点，则该点不落在阴影部分内的概率是( ) A 1
4、B C 1 D 8.运行下面的程序，当输入 n123 和 m288 时，输出结果是( ) A 2 B 3 C 4 D 7 9.在空间中，表示平面，m，n 表示两条直线，则下列命题中错误的是( ) A 若 m，m，n 不平行，则 n与 不平行 B 若 m，m，n 不垂直，则 n与 不垂直 C 若 m，m，n 不平行，则 n与 不垂直 D 若 m，m，n 不垂直，则 n与 不平行 10.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为 A1B1的中点，ABBC2BB12，AC2，则异面 3 直线 BD 与 AC所成的角为( ) A 30 B 45 C 60 D 90 11.已知直线(1k)xyk20
5、 恒过点 P，则点 P关于直线 xy20 的对称点的坐标是( ) A (3，2) B (2，3) C (1，3) D (3，1) 12.如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD平面 ABCD，且 PDAD1，AB2， 点 E 是 AB 上一点，当二面角 PECD为 45 时，AE 等于( ) A 1 B C 2 D 2 二、填空题二、填空题(共共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分) 13.已知直线 axy20 与圆心为 C 的圆(x1)2(ya)24 相交于 A，B 两点，且 ABC 为等边 三角形，则实数 a_. 14.设直线 l 过点 A(2,4)，
6、它被平行线 xy10 与 xy10 所截的线段的中点在直线 x2y3 0上，则 l的方程是_ 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，有下面结论： AC平面 CB1D1； AC1平面 CB1D1； AC1与底面 ABCD所成角的正切值是； AD1与 BD为异面直线.其中正确的结论的序号是_. 16.今年一轮又一轮的寒潮席卷全国某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量 y(件)与月平均气温 x()之间的关系，随机统计了某 4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表： 4 由表中数据算出线性回归方程中的 x 中的 2.气象部门预测下个月的平均气温约为 6， 据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数
7、约为_ 三、解答题三、解答题(共共 6 小题小题,共共 70 分分) 17.（10 分）通过市场调查，得到某种产品的资金投入 x 万元与获得的利润 y 万元的数据，如表所 示： (1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归方程； (2)现投入资金 10 万元，求获得利润的估计值为多少万元？ (参考公式： ， ) 18.（12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E与 A，D不重合)分别在棱 AD，BD上，且 EFAD. 求证：(1)EF平面 ABC； (2)ADAC. 19.（12分）已知直线 l：y4x 和点 P(6,4)，点 A
8、为第一象限内的点且在直线 l上，直线 PA交 x 轴 的正半轴于点 B， (1)当 OPAB 时，求 AB所在直线的方程； (2)求 OAB面积的最小值，并求当 OAB 面积取最小值时点 B的坐标 20.（12分）如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中 5 (1)求 A1C1与 B1C 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD的中点，求 A1C1与 EF所成角的大小 21.（12 分）已知圆 C1：x2y22x2y80 与圆 C2：x2y22x10y240 相交于 A、B 两 点 (1)求公共弦 AB 的长； (2)求圆心在直线 yx 上，且过 A、B 两点的圆的方程； (
9、3)求经过 A、B 两点且面积最小的圆的方程 22.（12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，DAB60 ，侧 面 PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)求证：ADPB； (2)若 E 为 BC边上的中点，能否在棱 PC上找到一点 F，使平面 DEF平面 ABCD？并证明你的结 论 6 答案解析答案解析 CBACB AABAC DD 1.【答案】C 【解析】由已知得第二小组的频率是 10.300.150.100.050.40，频数为 40， 设共有参赛学生 x人，则 x 0.440，x100. 成绩优秀的概率为 0.15，故选
10、C. 2.【答案】B 【解析】甲组数据的中位数为 106， x6. 又乙组数据的平均数为 105.4， 105.4， 解得 y8. 综上，x，y 的值分别为 6,8.故选 B. 3.【答案】A 【解析】由题意，侧视图与正视图是全等的三角形，面积为 2. 4.【答案】C 【解析】由(1,0)，(2,2)求 b，a. b2，a02 12. 求 ， 时， iyi04312152458， ， 14916253691， ， ， b， a. 5.【答案】B 【解析】曲线 C1：y是圆(x1)2y21在 x轴上方的一半，面积为 . C2，C3是以 为半径的半圆，所以阴影部分的面积为 2 ， 7 所以所取的点
11、来自阴影部分的概率为 P . 故选 B. 6.【答案】A 【解析】由题意知 b3,2，所以 P(截距 b大于 1) . 7.【答案】A 【解析】设圆的半径为 1，则正六边形 ABCDEF的边长为 1，其面积为， 如图将整个正六边形割成了 3 618 个小三角形，那么整个阴影部分的面积是正六边形的面积的 ，故 S阴影 ，圆的面积为 S 圆.故向圆内部随机投掷一点，该点不落在阴影部分 内的概率是 1. 故选 A. 8.【答案】B 【解析】由辗转相除法可得 9.【答案】A 【解析】对于 A，若 m，m，n不平行，则 n 与 可能平行、相交或 n，故不正确故选 A. 10.【答案】C 【解析】如图，取
12、 B1C1的中点 E，连接 BE，DE， 则 ACA1C1DE， 则BDE即为异面直线 BD与 AC所成的角 由条件可知 BDDEEB， 所以BDE60 . 11.【答案】D 8 【解析】由直线(1k)xyk20 化为 k(x1)(xy2)0， 令解得 于是此直线恒过点 P(1,1) 设点 P关于直线 xy20的对称点为 P(m，n)， 则解得 P(3，1)故选 D. 12.【答案】D 【解析】过点 D作 DFCE 于点 F，连接 PF， 因为 PD平面 ABCD，所以 DF是 PF 在平面 ABCD内的投影， 因为 DFCE，所以 PFCE， 可得PFD 为二面角 PECD的平面角， 即PF
13、D45 . 在 Rt PDF 中，PDDF1， 因为在矩形 ABCD中， EBCCFD， 所以， 得 EC2. 在 Rt BCE 中，根据勾股定理， 得 BE， 所以 AEABBE2，故选 D. 13.【答案】4 【解析】圆心 C(1，a)到直线 axy20 的距离为.因为 ABC 为等边三角形，所以|AB| |BC|2，所以()21222，解得 a4. 14.【答案】3xy20 【解析】到平行线 xy10与 xy10 距离相等的直线方程为 xy0. 9 联立方程组解得 直线 l被平行线 xy10与 xy10 所截的线段的中点为(1,1) 直线 l的两点式方程为， 即 3xy20. 16.【答
14、案】46 【解析】由表格得( ， )为(10,38)， 又( ， )在线性回归方程 x 上且 2， 3810 (2) ， 解得 58， 2x58. 当 x6 时， 2 65846. 17.【答案】(1) 4， 5. 1.7， 51.7 41.8， 所以线性回归方程为 1.7x1.8. (2)当 x10万元时， 1.7 101.815.2(万元) 18.证明 (1)在平面 ABD内， 因为 ABAD，EFAD， 则 ABEF. 又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC， 所以 EF平面 ABC. (2)因为平面 ABD平面 BCD， 平面 ABD平面 BCDBD，BC平面 BCD，BCBD，
15、所以 BC平面 ABD. 因为 AD平面 ABD，所以 BCAD. 10 又 ABAD，BCABB，AB平面 ABC， BC平面 ABC， 所以 AD平面 ABC. 又因为 AC平面 ABC， 所以 ADAC. 19.解 (1)点 P(6,4)，kOP . 又OPAB，kAB . AB 过点 P(6,4)，直线 AB 的方程为 y4 (x6)，化为一般式可得 3x2y260. (2)设点 A(a,4a)，a0，点 B 的坐标为(b,0)，b0，当直线 AB 的斜率不存在时，ab6，此时 OAB 的面积 S 6 2472.当直线 AB 的斜率存在时， 有，解得 b， 故点 B的坐标为，故 OAB
16、 的面积 S 4a，即 10a2SaS0. 由题意可得方程 10a2SaS0 有解， 故判别式 S240S0，S40， 故 S的最小值为 40，此时为 a24a40，解得 a2. 综上可得， OAB面积的最小值为 40， 当 OAB面积取最小值时，点 B的坐标为(10,0) 20.解 (1)如图所示，连接 AC，AB1. 由六面体 ABCDA1B1C1D1是正方体知，四边形 AA1C1C 为平行四边形， ACA1C1，从而 B1C与 AC 所成的角就是 A1C1与 B1C 所成的角 在 AB1C 中，由 AB1ACB1C， 可知B1CA60 ， 即 A1C1与 B1C 所成的角为 60 . (
17、2)如图所示，连接 BD. 由(1)知 ACA1C1， AC与 EF所成的角就是 A1C1与 EF所成的角 EF 是 ABD的中位线，EFBD. 11 又ACBD，ACEF，EFA1C1， 即 A1C1与 EF 所成的角为 90 . 21.【答案】(1)由两圆方程相减即得 x2y40， 此为公共弦 AB所在的直线方程 圆心 C1(1，1)，半径 r1 . C1到直线 AB 的距离为 d， 故公共弦长|AB|22. (2)圆心 C2(1，5)，过 C1，C2的直线方程为，即 2xy30. 由得所求圆的圆心为(3,3) 它到 AB 的距离为 d， 所求圆的半径为 ， 所求圆的方程为(x3)2(y3
18、)210. (3)过 A、B 且面积最小的圆就是以 AB 为直径的圆， 由 得圆心(2,1)，半径 r. 所求圆的方程为(x2)2(y1)25. 22.【答案】(1)证明 设 G为 AD的中点，连接 PG，BG，BD，如图 因为 PAD为等边三角形， 所以 PGAD. 在菱形 ABCD中，DAB60 ，所以 ABD为等边三角形， 又因为 G 为 AD的中点，所以 BGAD. 又因为 BGPGG，BG，PG平面 PGB， 所以 AD平面 PGB. 因为 PB平面 PGB，所以 ADPB. (2)解 当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF平面 ABCD. 如图，设 F为 PC的中点，则在 PBC中，EFPB. 12 在菱形 ABCD 中，GBDE，而 PBGBB，EFDEE，PB，GB平面 PGB，EF，DE平面 DEF， 所以平面 DEF平面 PGB，由(1)得，PGAD，又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PG平面 PAD，所以 PG平面 ABCD，而 PG平面 PGB， 所以平面 PGB平面 ABCD，所以平面 DEF平面 ABCD.
