1、 数学第十次周测试卷数学第十次周测试卷 内容：必修五 一、一、单选题（单选题（50 分）分） 1若 1 a 1 b 0，给出下列不等式： 1 ab 1 ab ；|a|b0；a 1 a b 1 b ；lna2 lnb2.其中正确的不等式是（ ） A. B. C. D. 2.设 x,y 满足约束条件 1 1 yx xy y ，则 2zxy 的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.已知集合032|, 12 1 | 2 xxxN x yxM，则NM （ ） A. 1 , 2 B. 3, C. 1 ,3 2 D. 1, 4.在ABC 中， 60A ， 4AC ， 2 3BC ，则A
2、BC 的面积为（） A. 4 3 B. 4 C. 2 3 D. 2 2 5.己知数列an满足 12 20 nnn aaanN ，且前 n 项和为 Sn，若 119 27aa ，则 25 S （ ） A. 145 2 B. 145 C. 175 2 D. 175 二、填空题（二、填空题（30 分）分） 6 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 bsinA+acosB=0， 则 B=_. 7.数列an中， 1 3a ， 1 2 nn aa ， * nN . 若其前 k 项和为 93，则 k =_. 8.已知变量 , x y 满足 340 340 0 xy xy x ，
3、则 1 y x 的最小值为_ 三、解答题（三、解答题（40 分）分） 9.已知0 x，0y ，且24xy. （1）求 xy 的最大值及相应的 x，y 的值； （2）求93 xy 的最小值及相应的 x，y 的值. 10.在锐角 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， sinsin tan coscos BC A BC . （1）求角 A 的大小； （2）若3a ，求 22 bc的取值范围. （选做题）11. 已知数列an的前 n 项和为 Sn， 22 nn Sa . （1）求数列an的通项公式； （2）设 21 log nnn baa ，求数列bn的前 n 项和 Tn. 试卷答案
4、试卷答案 1.C 【分析】 根据不等式的基本性质，结合对数函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选 择. 【详解】由 1 a 1 b 0，可知 ba0. 中，因为 ab0，ab0，所以 1 ab 0， 1 ab 0.故有 1 ab 1 ab ，即正确； 中，因为 ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误； 中，因为 ba0，又 1 a 1 b 0，则 1 a 1 b 0，所以 a 1 a b 1 b ，故正确； 中，因为 ba0，根据 yx2在(，0)上为减函数，可得 b2a20， 而 ylnx 在定义域(0，)上为增函数，所以 lnb2lna2，故错误. 由以上分析，知
5、正确. 故选：C. 【点睛】本题考查利用不等式的基本性质比较代数式的大小，涉及对数函数的单调性，属综 合基础题. 2.B 【分析】 由题意，画出约束条件画出可行域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解. 【详解】由题意，画出约束条件画出可行域，如图所示， 目标函数2zxy可化为2yxz ，当直线2yxz 过点 A 时，此时在y轴上的 截距最大，目标函数取得最大值， 又由 1 1 xy y ，解得2, 1A， 所以目标函数的最大值为 max 2 2 13z ，故选 B. 【点睛】 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题 其中解答中正确画出不等式 组表示的可行域，利用“一画、二移、三求
6、”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考 查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题 3.B 【分析】 求定义域得集合M，解一元二次不等式得集合N，再由交集定义求解 【详解】由21 0 x-，得 1 2 x ，所以 1 , 2 M ；由 2 230Nx xx，即 130 xx， 得3x 或1x， 所以, 13,N .故3,MN . 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，解一元二次不等式，函数的定义域，属于基础题 4.C 【分析】 首先利用余弦定理求出2AB ，利用三角形面积计算公式即可得出 【详解】由余弦定理可得： 222 4(22 3)4cos60ABAB ， 化为： 2 440
7、ABAB，解得2AB ， ABC 的面积 13 sin4 22 3 22 1 2 SAC ABA ， 故选 C 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题 5.D 【分析】 利用等差中项法可判断出数列 n a是等差数列，由已知条件计算得出 13 a的值，再利用等差 数列求和公式以及等差中项的性质可求得 25 S的值. 【详解】对任意的n N， 12 20 nnn aaa ，即 12 2 nnn aaa ，所以数列 n a为 等差数列， 911913 72aaaa， 13 7a， 由等差数列的求和公式可得 125 2513 25 2525 7175 2
8、 aa Sa . 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列的判断以及等差数列性质的应用， 考查计算能力，属于中等题. 6. 3 4 . 【分析】 先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得. 【详解】 由正弦定理， 得sinsinsincos0BAAB(0, ),(0, )AB，sin0,A 得sincos0BB，即tan1B， 3 . 4 B 故选 D 【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取定 理法，利用转化与化归思想解题忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0, )范围 内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角 7.5 【分析
9、】 根据等比数列定义确定数列 n a为等比数列，再根据等比数列求和公式列式求结果. 【详解】 因为 1 3a ， 1 2 nn aa ， * nN， 所以 1 02 n n n a a a 数列 n a为首项为 3， 公比为 2 的等比数列，因此其前k项和为 3(1 2 ) 93232,5 1 2 k k k 故答案为：5 【点睛】本题考查等比数列定义、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 8. 1 2 【分析】 作出不等式组表示的平面区域，由 1 y x 表示点, x y与定点1,0D 连线的斜率，结合图 象可得最优解,利用斜率公式,即可求解. 【详解】作出不等式组表示的平面区
10、域，如图中阴影部分所示，其中 4 0,1,1 ,0,4 3 ABC ， 又由 1 y x 表示点, x y与定点1,0D 连线的斜率， 当过点 B 时,此时直线斜率最小为 1 01 112 【点睛】 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题 解决此类问题的关键是正确画出不等 式组表示的可行域， 将目标函数赋予几何意义,其中求目标函数的最值的一般步骤为： 一画、 二找、三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键 9. 解： （1）422 22xyxyxy，所以xy的最大值为 2，当且仅当22xy， 即1x ，2y 时取“=”； （2） 22 93332 318 xyxyx
11、 y ，所以93 xy 的最小值为 18，当且仅当93 xy ， 即221,2xyxy时取“=”. 10. (1) 3 A ； (2) (5,6. 【分析】 （1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角 A 的大小； （2） 先求得 B+C= 2 3 ， 根据B、 C都是锐角求出B的范围， 由正弦定理得到b=2sinB， c=2sinC， 根据 b2+c2=4+2sin（2B 6 ） 及 B 的范围，得 1 2 sin（2B 6 ）1，从而得到 b2+c2 的范围 【详解】 （1）由 sinA cosA = sinBsinC cosBcosC 得 sinAcosB+sinAcosC=cosA
12、sinB+cosAsinC， 即 sin（AB）=sin（CA） ， 则 AB = CA，即 2A=C+B， 即 A= 3 . （2）当 a= 3时，B+C= 2 3 ，C= 2 3 B由题意得 2 2 0 32 B B ， 6 B 2 由 abc sinAsinBsinC =2，得 b=2sinB，c=2sinC， b2+c2=4 （sin2B+sin2C）=4+2sin（2B 6 ） 6 B 2 ， 1 2 sin（2B 6 ）1，12sin（2B 6 ）2 5b2+c26 故 22 bc的取值范围是 5,6. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断 sin（2B 6
13、 ）的取值 范围是本题的难点 11.（1）2n n a ； （2） 1 2nn . 【分析】 （1）由 1( 2) nnn aSSn 得 1 2 n n a a ，可得 n a是等比数列； （2） 由 （1）可得1 2n n bn，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可得数列 n b 的前n项和 n T. 【详解】 （1）当1n 时， 1 2a ， 当2n时， 11 2222 nnnnn aSSaa 即： 1 2 n n a a ，数列 n a为以 2 为公比的等比数列 2n n a. （2） 1 2 2log 21 2 nnn n bn 21 2 2 3 221 2 nn n Tnn 231 22 23 221 2 nn n Tnn 两式相减，得 2311 42221 22 nnn n Tnn 1 2n n Tn . 【点睛】错位相减法求数列的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一 定不能忘记等式两边同时除以1q.
