1、 “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 1 “长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市/区）一中联考 2020-2021 学年第一学期半期考 高二数学试题 （考试时间：120 分钟 总分：150 分） 试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1若 A,B 为互斥事件，P(A)=0.4 ， P(AB)=0.7 ，则 P(B)= （ ） A0.1 B0.3 C0.4 D0.7 2某班有学生 60人，将这 60 名学生随机编号为 1-60
2、号，用系统抽样的方法从中抽出 4 名学 生，已知 4 号、34 号、49 号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ） A. 28 B. 23 C. 19 D. 13 3已知直线 MN 的斜率为 4，其中点 N(1，1)，点 M 在直线1 xy上，则点 M 的坐标为 ( ) A(2,3) B(4,5) C(2,1) D(5,7) 4如右图，在圆心角为直角的扇形OAH中，分别以,OA OH为直径作两个 半圆，在扇形OAH内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A 1 B 1 2 C 4 2 D 2 5已知直角三角形的两直角边分别为1，3，若绕三角形的斜边旋转一周形成的几何体，则 该几
3、何体的体积为（ ） A 4 B 3 C 2 D “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 2 6已知某几何体的三视图如右图所示，若该几何体外接球的表面 积为32，则该几何体的高h为（ ） A3 B32 C4 D6 7.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都是直角三角 形的四面体称为“鳖臑”， 在鳖臑ABCD中，AB 平面BCD， BDCD，且 ,ABBDCD M 为AD的中点，则异面直线 BM与CD所成的角为（ ） A30 B45 C60 D90 8 已知点)0)(0 ,1 (),0 ,1 (mmBmA， 若圆 C：02888 22 yxyx上存在一点P， 使得PBPA，则实数m的取值
4、范围是( ) A3m B 73m C 72m D64m 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合 题目要求的。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分。 9某赛季甲、乙两名篮球运动员 5 场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲 得分的极差为 32， 乙得分的平均值为 24， 则下列结论正确的是 （ ） A8x B甲得分的方差是 736 C 26y D 乙得分的方差小于甲得分的方差 10设nml,表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个选项中正 确的是（ ） A若mlml,/,/，则； B若,nmm 则/n； C若nm
5、,为异面直线，/,/,/,/nmnm，则/； D若，则 “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 3 11若直线bxy与曲线 2 1yx恰有一个公共点，则b的可能取值是( ) A1 B 0 C 1 D2 12已知球O的直径4SD，CBA、是球O表面上的三个不同的点， 30ASDBSDCSD ，则（ ） AABSD B 线段AB的最长长度为32 C三棱锥ABCS的体积最大值为 3 D过SA作球的截面中，球心O到截面距离的最大值为 1. 第卷（非选择题，共 90 分） 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13具有线性相关关系的变量yx、的一组数据如下表所示，y与x的回归直
6、线方程为 1.5ybx，则 b 的值为 . x 0 1 2 3 y 1 1 4 8 14已知直线bxyl:被圆6)2()3( 22 yxC：截得的弦长等于该圆的半径,则 b . 15在长方体 1111 DCBAABCD中， 1 , 1AAADAB，且DC1与底面 1111 DCBA所成角为 60，则直线DC1与平面 11D CB所成的角的正弦值为 16在平面直角坐标系xoy中，过圆1)4()( 22 1 kykxC：上任一点P作圆 1) 1( 22 2 yxC ：的一条切线，切点为Q，则当PQ取最小值时，k_. “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 4 四、解答题：本题共6 小题，共
7、70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题 10 分） 某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情 况进行问卷调查， 并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值 （百分制） 按照)60,50，)70,60， ，100,90分成 5 组，制成如图所示频率分布直方图 （1） 求图中x的值， 并求出满意度评分值在100,90的人数； （2）若调查的满意度评分值的平均数超过 75，则可在该城 市继续推行共享单车， 试判断该城市能否继续推行共享单车。 18 （本小题 12 分） 如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为菱形， 60DAB
8、， 侧面PAD是边长为 2 的正三角形，M为AD 的中点，且PM平面ABCD （1）证明：平面PBM平面PAD； （2）求三棱锥PBDC的高。 19 （本小题 12 分） 如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某宝电商分 析了近 8 年“双十一”期间的宣传费用x (单位:万元)和利润y (单位:十万元)之间的关系, 得到下列数据: x 2 3 4 5 6 8 9 11 y 1 2 3 3 4 5 6 8 M “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 5 请回答: （1）由表中数据，求线性回归方程axby ，并预测当14x 时,对应的利润 y 为多少 ( ,
9、,b a y精确到0.1)； 附参考公式:回归方程中 ybxa中 b和 a 最小二乘估计分别为 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx , a ybx, 参考数据: 88 2 11 241,356 iii ii x yx . （2）为了更好地完成任务，某宝电商决定让宣传部门的 3 名成员各自制定两个方案，从中任 选 2 个方案进行宣传，求这 2 个方案出自同一个人的概率。 20 （本小题12 分） 己知一个动点M在圆16 22 yx上运动，它与定点8,0Q所连线段的中点为P。 （1）求点P的轨迹方程； （2）若点P的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程。
10、 21 （本小题12 分） 已知圆心为C的圆经过点(1, 1)A和(2, 2)B，且圆心C在直线:10l xy 上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线nxym：圆C截得的弦与圆心构成CDE，若CDE的面积有最大值， 求出直线nxym：的方程；若CDE的面积没有最大值，请说明理由。 “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 6 22 （本小题12 分） 如图甲，设长方形ABCD的边3,3ABBC，点EF、分别满足 AEEBCFFD22，如图乙，将直角梯形AEFD沿直线EF折到 11 A EFD的位置。 （1）证明： 1 / /A E平面 1 CD F； （2）当二面角 1 AEFC为直二
11、面角时，求多面体 11 A EBD FC的体积; （3）若FC中点的G，当 1 A在底面上的射影H恰好落在EG上，且HGEH2时，求二面 角 1 DFCB所成角的余弦值（如图丙） “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 7 参考答案： 一、二、选择题： 三、填空题： 13. 3 1442 或b 15. 5 15 16. 2 3 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题 10 分） 解： （1）由110030. 0035. 002. 0005. 0）（x 01. 0 x 3 分 则满意度评分值在100,90的有101001001.
12、0人 5 分 (2)这组数据的平均数为 771 . 0953 . 08535. 0752 . 06505. 055 9 分 7577 ，故能够继续推行共享单车。 10 分 18 （本小题 12 分） 证明： （1）连接BDBM、 ABCDPM平面，ABCDBM平面 BMPM 2 分 底面ABCD是菱形且 60DAB ， ABD是等边三角形， 又点M是AD的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A D C C D B A D A C BC ABD “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 8 MADPMADBM又, 4 分 PADBM平面 ，又PBMBM平面
13、平面PADPBM平面； 6 分 （2）法一：由（1）得PMBMBMPM且 PBM是等腰直角三角形 又2PDADPA，6PB 在PBD中，2 BDPD，PB边上的高为 2 10 2 15 2 10 6 2 1 PBD S 9 分 设点PBDC到平面的距离为h ，由 BCDPPBDC VV ， PMSS BCDPBD 3 1 h 3 1 ， 即3)2 4 3 ( 3 1 h 2 15 3 1 2 5 152 h ， 所以三棱锥PBDC的高为 5 152 。 12 分 法二：由（1）知ADBM 且ABCDPM平面 y x z “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 9 为为坐标原点，以向量以
14、MPMBMAM,x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标 系。 );0 , 3, 2();0 , 3, 0();0 , 0 , 0(CBM);3, 0 , 0();, 0 , 1(POD )0 , 3, 1 ();3, 0 , 1 ();0 , 0 , 2(DBDPCB 8 分 设平面PBD的一个法向量为),(zyxn 0z3xnDP且0y3xnDB 令3x ，得 ），（1-1-3n 10 分 5 152 5 32 n nCB d 所以三棱锥的高为 5 152 12 分 19 （本小题 12 分） 解： （1）4, 6yx 2 分 8 1 82 22 1 8 24 1 8 6 449 =0.7
15、 356 8 668 8 ii i i i x yxy b xx 因为40.7 60 .2aybx , 所以回归直线方程为0.7.2 0yx , 5 分 当14x 时, 6 . 92 . 0147 . 0 y , 即利润约为9.6万元. 6 分 （2）记 3 名成员的方案分别为 21,a a ； 21,b b ； 21,c c 从中任选 2 个方案的基本事件含有：),( 21 aa、),( 11 ba、),( 21 ba、),( 11 ca、),( 21 ca、),( 12 ba、 ),( 22 ba、),( 12 ca、),( 22 ca、),( 21 bb、),( 11 cb、),( 21
16、 cb、),( 12 cb、),( 22 cb、),( 21 cc 共 15 种。 10 分 其中这 2 个方案出自同一个人的基本事件含有),( 21 aa 、 ),( 21 bb 、 ),( 21 cc ，共 3 种。 “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 10 5 1 15 3 p 。 答：这 2 个方案出自同一个人的概率为 5 1 12 分 20 （本小题12 分） 解： （1）设,P x y， 00 ,M x y，根据中点公式得 0 0 8 2 0 2 x x y y ， 解得 0 0 28 2 xx yy 2 分 由 22 00 16xy，得 22 28216xy 点 P的
17、轨迹方程是 2 2 44xy. 5 分 （2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线ykx，由相切得2 1 4 2 k k 3 3 k,所以切线方程为xy 3 3 , 8 分 当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线0 xya a 由相切有224, 2 2 4 a a ，切线方程为 224 yx 11 分 综上：切线方程为xy 3 3 或224 yx. 12 分 21（本小题12 分） 解：（1） 设圆的方程为 22 0 xyDxEyF 因为点 (1, 1)A 和 (2, 2)B 在圆上， 圆心C 在直线: 10l xy 上， “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 11 所以 1
18、 10 44220 ()10 22 DEF DEF DE ，解得6,E4,F12D ， 3 分 所以圆的方程为 22 64120 xyxy，即 22 3225xy 4 分 （2）设圆心 C 到直线 m 的距离为 h(h0)，H 为 DE 的中点，连接 CH. 在CDE 中，|DE|2 |CE|2|CH|22 2 25h， CDE 的面积为 SCDE1 2|DE| |CH| 1 2 2 2 25h hh 2 25h 7 分 SCDE)25( 22 hh 2 25 2 25 22 hh ， 当且仅当 h225h2，即 h 2 25 时等号成立， 此时CDE 的面积取得最大值 9 分 CH 11 n
19、23 |32n| 11 2 2 |n-1|h 2 25 ， |n-1|5，n-4 或 n=6,故存在 n-4 或 n=6，使得CDE 的面积最大，最大值 为 2 25 ，此时直线 m 的方程为 yx-4 或 yx+6. 12 分 22 （本小题12 分） 解： （1）证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有， “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 12 因为平面，平面，所以平面 3 分 （2）在图甲中，连.ACEFOAEOCFOOEFAC 交于 ，由，可得 为、中点 由勾股定理可得,AOEACEF90即即，在图乙中有,EFAOEF OC 11 111 , ,3. AEFDBCFE AOB
20、CFEOAEFDAOOC 平面平面 平面，C平面且 在图甲中，3, BCOE SS 四形四形AO FD 11111 1 3322 3 A E B C F DAE B O CCA O F D VVV 7 分 （3）方法一、由（1） 1111 / /,/ /,AEDFCEBDFCAEEBE平面同理平面又 1111 / /,.AEBDFCDFCBAEBC平面平面二面角的平面角与的平面角互补 11 1 11 11 , , . AHEBCFAHEB EBEHEHAHH EBAEHEBEA AEHAEBC 平面 又且 平面 为二面角的平面角，记为 在图甲中，EHOHAORt A OHA H 11 2 33
21、2 2 ,3, 333 中中， 1 2 3 8122 515 3 ,cos. 99352 5 3 EA 所求角的余弦值为 15 5 12 分 “六校联考”半期考高二数学第 页（共 6 页） 13 方法二、 如图建立空间直角坐标系. 1 111 2 22 3333 (0,0,),(,0,0),(, 1,0),(,1,0),(,0,0) 33333 11 2 32 22 32 (,0,)(,1,) 223333 AECFG FDEAD 可得 记平面 1 D FC的一个法向量为 ( , , )nx y z 1 ( , , ) (0, 1,0)0 3232 ( , , ) (,1,)0 3333 n GCx y zy n GDx y zxyz 记 6 1,(1,0,)(0,0,1) 2 xnEBCFm ，又平面的一个法向量为 10 分 6 (1,0,) (0,0,1) 15 2 cos, 56 1 01 4 n m 所求角的余弦值为 15 5 12 分
