1、 1 黑龙省哈尔滨市宾县第二中学 2022 届高二上学期第二次月考 数学试题（理科） 一、一、选择题选择题(共共 12 小题小题,每小题每小题 5.0 分分,共共 60 分分) 1.已知条件已知条件 p：|x1|2，条件，条件 q：|x|a，且，且非非 p 是是非非 q 的必要不充分条件，则实数的必要不充分条件，则实数 a 的取的取 值范围是值范围是( ) A 0a1 B 1a3 Ca1 D a3 2.已知命题已知命题 p： x*, +， ，cos 2xcosxm0 的否定为假命题，则实数的否定为假命题，则实数 m 的取值范围是的取值范围是 ( ) A* ,+ B * ,+ C 1,2 D*
2、,+) 3.已知命题已知命题 p： xR，x22xa0.若若 p 为真命题，则实数为真命题，则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) Aa1 Ba1 Ca1 D a1 4.定长为定长为 6 的线段， 其端点的线段， 其端点 A， B 分别在分别在 x 轴，轴， y 轴上移动， 则轴上移动， 则 AB 中点中点 M 的轨迹方程是的轨迹方程是( ) Ax2y29 Bxy6 C 2x 2 y212 D x22y212 5.F1、F2是椭圆是椭圆 1 的两个焦点，的两个焦点，A 为椭圆上一点，且为椭圆上一点，且AF1F245 ，则，则 AF1F2的面积的面积 为为( ) A 7 B C D 6.已知
3、直线已知直线 l：xy30，椭圆，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是，则直线与椭圆的位置关系是( ) A 相交相交 B 相切相切 C 相离相离 D 相切或相交相切或相交 7.已知已知 F1，F2为双曲线为双曲线 C：x2y22 的左、 右焦点， 点的左、 右焦点， 点 P 在在 C 上，上， |PF1| 2|PF2|， 则， 则 cosF1PF2 等于等于( ) 2 A B C D 8.双曲线双曲线 C 与椭圆与椭圆1 有相同的焦距，一条渐近线的方程为有相同的焦距，一条渐近线的方程为 x2y0，则双曲线，则双曲线 C 的 的 标准方程为标准方程为( ) Ay21 B y21 或或 y21 C
4、x21 或或 y21 D y21 9.过抛物线过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于的焦点的直线交抛物线于A， B两点，两点， O为坐标原点， 则为坐标原点， 则 的值是 的值是( ) A 12 B 12 C 3 D 3 10.过点过点(1,1)且与抛物线且与抛物线 y2x 有且仅有一个公共点的直线有有且仅有一个公共点的直线有( ) A 1 条条 B 2 条条 C 3 条 条 D 4 条条 11.设空间四点设空间四点 O，A，B，P 满足满足 m n ，其中 ，其中 mn1，则，则( ) A 点点 P 一定在直线一定在直线 AB 上上 B 点 点 P 一定不在直线一定不在直线 AB 上上 C
5、点点 P 可能在直线可能在直线 AB 上，也可能不在直线上，也可能不在直线 AB 上 上 D 与 与 的方向一定相同 的方向一定相同 12.已知已知 M(5，1,2)，A(4,2，1)，O 为坐标原点，若为坐标原点，若，则点，则点 B 的坐标应为的坐标应为( ) A(1,3，3) B(9,1,1) C(1，3,3) D( 9，1，1) 二、二、填空题填空题(共共 4 小题小题,每小题每小题 5.0 分分,共共 20 分分) 13.已已知知|a|2 ， ，|b| ，a b，则，则a，b_. 14.点点 M(5,3)到抛物线到抛物线 x2ay(a0)的准线的距离为的准线的距离为 6，那么抛物线的方
6、程是 ，那么抛物线的方程是_ 15.椭圆椭圆 1 与双曲线与双曲线 1 有相同的焦点，则有相同的焦点，则 a 的值是的值是_ 16.抛物线抛物线 x22py(p0)的焦点是双曲线的焦点是双曲线 1 的一个焦点，则该抛物线的方程是的一个焦点，则该抛物线的方程是 _ 3 三、三、解答题解答题(共共 6 小题小题,其中其中 17 题题 10 分，分，1822 每小题每小题 12.0 分分,共共 70 分分) 17 . 命题命题 p：不等式：不等式 x22ax40 对于一切对于一切 xR 恒成立，命题恒成立，命题 q：直线：直线 y(a1)x2a 10 经过一、三象限，已知经过一、三象限，已知 pq
7、为真，为真，pq 为假，求为假，求 a 的取值范围的取值范围 18. 经过点经过点 M(2,2)作直线作直线 l 交双曲线交双曲线 x2 1 于于 A，B 两点，且两点，且 M 为为 AB 的中点的中点 求直线求直线 l 的方程；的方程； 19.已知斜率为已知斜率为 1 的直线的直线 l 过椭圆过椭圆 1 的下焦点，交椭圆于的下焦点，交椭圆于 A、B 两点，求弦两点，求弦 AB 的长的长 4 20.已知抛物线已知抛物线 y2x 与直线与直线 yk(x1)相交于相交于 A，B 两点两点 (1)求证：求证：OAOB； (2)当当 AOB 的面积等于的面积等于时，求时，求 k 的值的值 5 21.已
8、知已知 a(1,5，1)，b(2,3,5) (1)当当(ab)(a3b)时，求实数时，求实数 的值；的值； (2)当当(a3b)(ab)时，求实数时，求实数 的值的值 22.如图所示，已知四棱锥如图所示，已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，的底面为直角梯形，ABDC，DAB90 ，PA底面底面 ABCD，且，且 PAADDC AB 1，M 是是 PB 的中点的中点 (1)证明：面证明：面 PAD面面 PCD； (2)求求 AC 与与 PB 所成角的余弦值；所成角的余弦值； (3)求面求面 AMC 与面与面 BMC 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 6 高二第二次月考理科数学高二第二次
9、月考理科数学答案解析答案解析 1.【答案】C 【解析】由|x1|2，得 x12 或 x12，解得 x3 或 x1； 由|x|a，若 a0，得 xR，若 a0，得 xa 或 xa. p 是 q 的必要不充分条件，不等式|x1|2 的解集为|x|a 的解集的真子集， 则当 a0 时，符合条件，当 a0 时，a1.a1.故选 C. 2【答案】C 【解析】依题意，cos 2xcosxm0 在 x*0, 2+上恒成立，即 cos 2xcosxm.令 f(x) cos 2xcosx2cos2xcosx12(cos + 1 4) 29 8，由于 x*0, 2+，所以 cosx0,1，于是 f(x)1,2，因
10、此实数 m 的取值范围是1,2 7 3【答案】B 【解析】依题意不等式 x22xa0 对 xR 恒成立，所以必有 44a0，解得 a 1. 4【答案】A 【解析】当 A，B 都不过原点时， ABO 为直角三角形，AB 为斜边，M 为 AB 中点，故|OM| 1 2|AB|3，所以 M 的轨迹是以 O 为圆心，3 为半径的圆 方程为 x2y29.当 A、B 之一为原点 O 时，M 为(0， 3)或( 3,0)适合方程 5【答案】B 【解析】|F1F2|22，|AF1|AF2|6，|AF2|6|AF1|. |AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1| |F1F2|cos 45 |AF1| 2
11、4|AF 1|8，|AF1| 7 2. 则 S1 2 7 2 22 2 2 7 2. 6【答案】C 【解析】 7【答案】C 【解析】由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2 2， |PF1|2|PF2|4 2， 则 cosF1PF2|1| 2:|2|2;|12|2 2|1|2| （42） 2:（22）2;42 24222 3 4. 8.【答案】B 9【答案】D 【解析】设 A(1 2 4 ，1)，B(2 2 4 ，2)，则 (1 2 4 ，1)，? (2 2 4 ，2)，则 8 (1 2 4 ，1) (2 2 4 ，2)1 222 16 y1y2.又AB 过焦点， 设 AB 方程为 x
12、ay1， 代入 y24x 中得， y24aya0，则有 y1y24， （12） 2 16 y1y2（;4） 2 16 43，故选 D. 10【答案】B 【解析】因为点(1,1)在抛物线 y2x 上，所以作与 y2x 只有一个公共点的直线有两条，其 中一条为切线，一条为平行于 x 轴的直线 11【答案】A 【解析】已知 mn1，则 m1n， (1n) n n n n( ) n .因为 0，所以 和 共线，即点 A，P，B 共线，故选 A. 12【答案】B 【解析】 ，(9,1,1) 13.【答案】3 4 【解析】cosa，b | 2 2 ，a，b3 4 . 14【答案】x212y 【解析】抛物线
13、 x2ay(a0)的准线方程为 y 4， 436，a12， 抛物线方程为 x212y. 15【答案】1 【解析】a0，焦点在 x 轴上，4aa2，a1. 16【答案】x212y 【解析】双曲线的焦点坐标是(0， 3)，根据题意，知抛物线的焦点坐标只能是(0，3)，即 23，p6，故抛物线的方程是 x 212y. 17.【答案】若 p 真，则有 4a2160，解得2a2. 9 若 q 真，则有 1a0，即 a1. pq 真，pq 假，p 真 q 假或 p 假 q 真 若 p 真 q 假，则 1a2，若 p 假 q 真，则 a2. 故所求的 a 的取值范围是(，21,2) 18【答案】(1)设 A
14、(x1，y1)，B(x2，y2)，则 1 2 1 2 4 = 1， 2 2 2 2 4 = 1， 得(x1x2)(x1x2)（1:2） （1;2） 4 0. 又 x1x24，y1y24，1;2 1;24k， 直线 l 的方程为 y24(x2)，即 4xy60. 19【答案】设 A、B 的坐标分别为 A(x1，y1)、B(x2，y2)由椭圆方程知 a28，b24， c2 2 2，椭圆的下焦点 F 的坐标为 F(0，2)， 直线 l 的方程为 yx2.将其代入 2 8 2 4 1，化简整理得 3x24x40， x1x24 3，x1 x2 4 3， |AB|(2 1)2+ (2 1)22(2 1)2
15、 2(2 1)2+ 4122(4 3) 2 4 ( 4 3) 82 3 . 20.【答案】(1)证明 如图，由方程组 2= ， = ( + 1)， 10 消去 x 并整理，得 ky2yk0. 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系知 y1 y21. kOA kOB 1 1 2 2 1 ;1 2 2 ;2 2 1 121，OAOB. (2)解 设直线与 x 轴交于点 N，显然 k0. 令 y0，则 x1，即点 N(1,0) S OABS OANS OBN 1 2|ON|y1| 1 2|ON|y2| 1 2|ON|y1y2| 1 2 1 （1+ 2） 2 412 1 2 ( 1
16、 ) 2 + 4 10， k 1 6. 21.【答案】解 a(1,5，1)，b(2,3,5)， a3b(1,5，1)3(2,3,5)(1,5，1)(6,9,15)(7，4，16)，ab(1,5， 1)(2,3,5)(，5，)(2,3,5)(2,53，5) (1)(ab)(a3b)， ，解得 . (2)(a3b)(ab)， (7，4，16) (2,53，5)0， 即 7(2)4(53)16(5)0，解得 . 22.【答案】因为 PAAD，PAAB，ADAB，以 A 为坐标原点，AD 长为单位长度， 如图建立空间直角坐标系， 11 则各点坐标为 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)
17、，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1, 1 2)， (1) (0,0,1)， (0,1,0)，故 0， ，APDC， 又由题设知：ADDC，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线， 由此得 DC面 PAD，又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD面 PCD； (2) (1,1,0)， (0,2，1)， | | 2，| | 5， 2，cos ， 10 5 ， 由此得 AC 与 PB 所成角的余弦值为 10 5 ； (3)在MC上取一点N(x， y， z)， 则存在R， 使 ， (1x,1y， z)， (1,0, 1 2)， x1，y1，z1 2. 要使 ANMC，只需 0，即 x1 2z0，解得 4 5， 可知当 4 5时，N 点坐标为( 1 5,1, 2 5)，能使 0， 此时， (1 5,1, 2 5)， (1 5,1, 2 5)， 由 0， 0，得 ANMC，BNMC， ANB 为所求二面角的平面角， | | 30 5 ，| | 30 5 ， 4 5， 12 cos ， 2 3， 故所求的二面角的余弦值为2 3.
