1、 限时练限时练(一一) 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 Mx|x22x0，N2，1，0，1，2，则 MN( ) A. B.1 C.0，1 D.1，0，1 解析 Mx|0 x2，N2，1，0，1，2，MN1. 答案 B 2.设(2i)(3xi)3(y5)i(i 为虚数单位)， 其中 x， y 是实数， 则|xyi|等于( ) A.5 B. 13 C.2 2 D.2 解析 易得 6x(32x)i3(y5)i(x，yR). 6x3， 32xy5， x3， y4， 故|xyi|34i|5. 答案 A
2、 3.已知等差数列an的前n项和为Sn， 且a2a80， S1133， 则公差d的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 a2a82a50，a50， 又 S11（a 1a11）11 2 11a633， a63，从而公差 da6a53. 答案 C 4.设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件 是( ) A.存在一条直线 a，a，a B.存在一条直线 a，a，a C.存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D.存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b 解析 对于 A， a， a， 则平面 ， 可能平行， 也可能相交， 所以 A 不是 的一个充分条件.对于 B
3、，a，a，则平面 ， 可能平行，也可能相交，所 以 B 不是 的一个充分条件.对于 C，由 ab，a，b，a，b 可 得 或 ， 相交，所以 C 不是 的一个充分条件.对于 D，存在两条异面 直线 a，b，a，b，a，b，如图，在 内过 b 上一点作 ca，则 c，所以 内有两条相交直线平行于 ，则有 ，所以 D 是 的一个充 分条件. 答案 D 5.设双曲线的一条渐近线为方程 y2x，且一个焦点与抛物线 y24x 的焦点相同， 则此双曲线的方程为( ) A.5 4x 25y21 B.5y25 4x 21 C.5x25 4y 21 D.5 4y 25x21 解析 抛物线 y24x 的焦点为点(
4、1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲 线的方程为x 2 a2 y2 b21(a0， b0)， 由题意得 b a2， a2b21， 解得 a 5 5 ， b2 5 5 ， 所以双 曲线方程为 5x25 4y 21. 答案 C 6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀 老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件 A 为“4 名同学所报项目各不相同”，事件 B 为“只有甲同学一人报关怀老人项 目，则 P(A|B)的值为( ) A.1 4 B.3 4 C.2 9 D.5 9 解析 P(B)3 3 44，P(AB) A33 44，
5、由条件概率 P(A|B)P（AB） P（B） A 3 3 33 2 9. 答案 C 7.在如图所示的ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，CD 上，AB3， AC2，BAC 60 ，BD2AD，CE2ED，则向量BE AB( ) A.9 B.4 C.3 D.6 解析 根据题意，AB3，BD2AD，则 AD1， 在ADC 中，又由 AC2，BAC60 ， 则 DC2AD2AC22AD ACcosBAC3， 即 DC 3，所以 AC2AD2DC2， 则 CDAB， 故BE AB(BD DE ) AB BD AB DE AB BD AB 32cos 180 6. 答案 D 8.设定义在 R 上的偶
6、函数 f(x)满足：f(x)f(4x)，且当 x0，2时，f(x)xex 1，若 af(2 022)，bf(2 019)，cf(2 020)，则 a，b，c 的大小关系为( ) A.cba B.abc C.cab D.bac 解析 因为 f(x)是偶函数， 所以 f(x)f(x)f(4x)，则 f(x)的周期为 4， 则 af(2 022)f(2)，bf(2 019)f(3)f(43)f(1)，cf(2 020)f(0). 又当 x0，2时，f(x)xex1，知 f(x)1ex0. f(x)在区间0，2上单调递减， 因此 f(2)f(1)f(0)，即 abc. 答案 B 二、多项选择题：本题共
7、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.(2020 聊城模拟)已知双曲线 C 过点(3， 2)且渐近线为 y 3 3 x，则下列结论正 确的是( ) A.C 的方程为x 2 3y 21 B.C 的离心率为 3 C.曲线 yex 21 经过 C 的一个焦点 D.直线 x 2y10 与 C 有两个公共点 解析 双曲线的渐近线为 y 3 3 x，设双曲线 C 的方程为x 2 3y 2(0).又 双曲线 C 过点(3， 2)，3 2 3 ( 2)2，解得 1，故 A 正确.此时 C 的
8、离心率 为 31 3 2 3 3 ，故 B 错误.双曲线 C 的焦点为(2，0)，(2，0)，曲线 yex 21 经过点(2，0)，故 C 正确.把直线方程代入双曲线 C 的方程并整理，得 x26x9 0，所以 0，故直线 x 2y10 与双曲线 C 只有一个公共点，所以 D 错 误.故选 AC. 答案 AC 10.(2020 青岛质检)已知函数 f(x)sin2x2 3sin xcos xcos2x，xR，则( ) A.2f(x)2 B.f(x)在区间(0，)上只有 1 个零点 C.f(x)的最小正周期为 D.直线 x 3为函数 f(x)图象的一条对称轴 解析 已知函数 f(x)sin2x2
9、3sin xcos xcos2x3sin 2xcos 2x 2sin 2x 6 ， xR， 则2f(x)2， A 正确； 令 2x 6k， kZ， 则 x k 2 12， kZ，则 f(x)在区间(0，)上有 2 个零点，B 错误；f(x)的最小正周期为 ，C 正确； 当 x 3时， f 3 2sin(2 3 6)2， 所以直线 x 3为函数 f(x)图象的一条对称轴， D 正确.故选 ACD. 答案 ACD 11.在某次高中学科竞赛中，4 000 名考生的竞赛成绩(单位：分)统计如图所示，60 分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法 中正确的是( ) A.成绩
10、在70，80)的考生人数最多 B.不及格的考生人数为 1 000 C.考生竞赛成绩的平均数约为 70.5 D.考生竞赛成绩的中位数约为 75 解析 由频率分布直方图可知，成绩在70，80)的考生人数最多，所以 A 正确. 不及格的人数为 4 000(0.010.015)101 000，所以 B 正确.考生竞赛成绩的 平 均 数 约 为 (450.01 550.015 650.02 750.03 850.015 950.01)1070.5，所以 C 正确.设考生竞赛成绩的中位数约为 x0，因为(0.01 0.0150.02)100.450.5，所以 0.45(x070)0.030.5，解得 x0
11、71.7，D 错误.故选 ABC. 答案 ABC 12.下列结论正确的是( ) A.若 ab0，cd a d B.若 xy0，且 xy1，则 x1 y y 2xlog2(xy) C.设an是等差数列，若 a2a10，则 a2 a1a3 D.若 x0，)，则 ln(1x)x1 8x 2 解析 对于 A，由 cdd0，则1 d 1 c0，又 ab0，所以 a d b c，则 b c a d，故 A 正确.对于 B，取 x2，y 1 2，则 x 1 y4， y 2x 1 8，log2(xy) log25 21，故 B 不正确.对于 C，由题意得 a1a32a2 且 a1a3，所以 a21 2(a1
12、a3)1 22 a1a3 a1a3，故 C 正确.对于 D，设 h(x)ln(1x)x 1 8x 2，则 h(x) 1 1x1 x 4 x（x3） 4（x1），当 0x3 时，h(x)0，则 h(x)单调递减，h(x)0 且 x0 时， 1 x， cos x1， 此时 f(x) ，排除 C 选项，故选 D. 答案 D 8.在ABC 中，AB3，AC2，BAC120 ，点 D 为 BC 边上的一点，且BD 2DC ，则AB AD ( ) A.1 3 B.2 3 C.1 D.2 解析 以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示. 则 A(0，0)，B(3，0)，C(
13、1， 3)，BD 2DC ，BD 2 3BC 2 3(4， 3) 8 3， 2 3 3 ，则 D 1 3， 2 3 3 ， AD 1 3， 2 3 3 ，AB (3，0)， 所以AB AD 31 30 2 3 3 1. 答案 C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.(2020 淄博模拟)甲、乙、丙三家企业的产品成本(万元)分别为 10 000，12 000， 15 000，其成本构成比例如图，则下列关于这三家企业的说法正确的是( ) A.成本最大的企业
14、是丙 B.其他费用支出最高的企业是丙 C.支付工资最少的企业是乙 D.材料成本最高的企业是丙 解析 由扇形统计图可知，甲企业的材料成本为 10 00060%6 000(万元)，支 付工资 10 00035%3 500(万元)，其他费用支出为 10 0005%500(万元)； 乙企业的材料成本为 12 00053%6 360(万元)，支付工资为 12 00030% 3 600(万元)，其他费用支出为 12 00017%2 040(万元)； 丙企业的材料成本为 15 00060%9 000(万元)，支付工资为 15 00025% 3 750(万元)，其他费用支出为 15 00015%2 250(万
15、元). 所以成本最大的企业是丙，其他费用支出最高的企业是丙，支付工资最少的企业 是甲，材料成本最高的企业是丙.故选 ABD. 答案 ABD 10.(2020 海南模拟)将函数f(x)sin(2x)(0)的图象向右平移 4个单位长度后 得到函数 g(x)sin 2x 6 的图象，则下列说法正确的是( ) A. 6 B.函数 f(x)的最小正周期为 C.函数 f(x)的图象关于点 3，0 成中心对称 D.函数 f(x)的一个单调递减区间为 12， 5 12 解析 由题意可知函数 f(x)的最小正周期 T2 2 ，B 正确；将函数 f(x)sin(2x )(0b0，则下列不等关系正确的是( ) A.
16、b alg alg b 2 C.a1 b ab 解析 对于 A，因为b a b4 a4 b（a4）a（b4） a（a4） 4（ba） a（a4），又 ab0， 所以b ab0， 得ab 2 ab， 所以 lg ab 2 lg ab， 即 lg ab 2 lg alg b 2 ， 故 B 正确；因为 a1 b b1 a (ab) 1 b 1 a (ab)ab ab (ab) 1 1 ab ， 又 ab0， 所以 a1 b b1 a 0， 即 a1 bb 1 a， 故 C 错误； 因为 ab0， 所以 a b0， 则( a b)2ab2 ab， 而( ab)2ab， 即( a b)2( ab)2
17、2b2 ab2(b ab)，又 ab0，所以 b ab0，所以( a b)2( ab)2， 即 a b2c 10|PF2|13 3 ，且 cos PF2F1|PF 2|2|F1F2|2|PF1|2 2|PF2| |F1F2| 5 13115)1 2(10.68)0.16， 该年级学生此 次数学成绩在 115 分以上的人数大约为 0.161 000160. 答案 160 14.曲线 y1 2 x2在点(1，1)处的切线方程为_. 解析 y1 2 x2 x x2，y x2x （x2）2 2 （x2）2，y|x 12，曲线 在点(1，1)处的切线斜率为 2，所求切线方程为 y12(x1)，即 2xy
18、 10. 答案 2xy10 15.已知集合 Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n，nN*.将 AB 的所有元素 从小到大依次排列构成一个数列an.记 Sn为数列an的前 n 项和， 则使得 Sn12an 1成立的 n 的最小值为_，此时 Sn_.(本小题第一空 3 分，第二 空 2 分) 解析 所有的正奇数和 2n(nN*)按照从小到大的顺序排列构成an，在数列an 中，25前面有 16 个正奇数，即 a2125，a3826.当 n1 时，S1112a224，不 符合题意；当 n2 时，S2312a336，不符合题意；当 n3 时，S3612a4 48，不符合题意；当 n4 时，S41012a
19、560，不符合题意；当 n26 时，S2621（141） 2 2（12 5） 12 4416250312a28540， 符合题意.故使得 Sn12an1成立的 n 的最小值为 27. 答案 27 546 16.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 BC1上运动，有下列判断： 平面 PB1D平面 ACD1； A1P平面 ACD1； 异面直线 A1P 与 AD1所成角的取值范围是 0， 3 ； 三棱锥 D1APC 的体积不变. 其中，正确的是_(把所有正确判断的序号都填上). 解析 在正方体中，B1D平面 ACD1，B1D平面 PB1D， 所以平面 PB1D平面 ACD1，所
20、以正确.连接 A1B，A1C1，如图，容易证明平面 A1BC1平面 ACD1，又 A1P平面 A1BC1，所以 A1P平面 ACD1，所以正确. 因为 BC1AD1，所以异面直线 A1P 与 AD1所成的角就是直线 A1P 与 BC1所成的 角，在A1BC1中，易知所求角的范围是 3， 2 ，所以错误.VD1APCVC AD1P，因为点 C 到平面 AD1P 的距离不变，且AD1P 的面积不变，所以三棱锥 D1APC 的体积不变，所以正确. 答案 限时练限时练(三三) 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.
21、(2020 河南联检)已知集合 AxN|x28x，B2，3，6，C2，3，7，则 B(AC)( ) A.2，3，4，5 B.2，3，4，5，6 C.1，2，3，4，5，6 D.1，3，4，5，6，7 解析 因为 AxN|0x81，2，3，4，5，6，7，所以AC1，4，5， 6，所以 B(AC)1，2，3，4，5，6.故选 C. 答案 C 2.若 z(3i)(a2i)(aR)为纯虚数，则 z( ) A.16 3 i B.6i C.20 3 i D.20 解析 因为 z3a2(6a)i 为纯虚数，所以 3a20，解得 a2 3，所以 z 20 3 i.故选 C. 答案 C 3.(2020 潍坊模
22、拟)甲、乙、丙、丁四位同学各自对变量 x，y 的线性相关性进行试 验，并分别用回归分析法求得相关系数 r，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.87 哪位同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性？( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析 由于丁同学求得的相关系数 r 的绝对值最接近于 1，因此丁同学的试验结 果能体现出两变量有更强的线性相关性.故选 D. 答案 D 4.设 aln 1 2，b5 1 2，clog 1 32，则( ) A.cba B.acb C.cab D.bac 解析 由题意易知aln 2， b51 2， clog32.因为 1 2log3
23、3log32ln 21， 051 24 1 2 1 2，所以bca，所以 acb.故选 B. 答案 B 5.(2020 青岛质检)已知某市居民在 2019 年用手机支付的个人消费额 (元)服从正 态分布 N(2 000，1002)，则该市某居民在 2019 年用手机支付的消费额在(1 900， 2 200内的概率为( ) 附： 随机变量服从正态分布N(， 2)， 则P()0.682 7， P(2 2)0.954 5，P(33)0.997 3. A.0.975 9 B.0.84 C.0.818 6 D.0.477 2 解析 服从正态分布 N(2 000，1002)，2 000，100，则 P(1
24、 900 2 200)P()1 2P(22)P(0，故 ab. 法二 可考虑用函数的单调性解题.令 f(x) 2x1 2x 111 2 1 1 2x 11，则 f(x)在定 义域内单调递减，所以 af(10)bf(12). 答案 ab 14.(2020 深圳统测)很多网站利用验证码来防止恶意登录， 以提升网络安全.某马拉 松赛事报名网站的登录验证码由 0，1，2，9 中的四个数字随机组成，将从左 往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如 0123).已知某人收到了一 个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是 1 的概率为_. 解析 由 0，1，2，9 中的四个数字随机组成的“递增型验
25、证码”共有 C410个， 而首位数字是 1 的“递增型验证码”有 C38个.因此某人收到的“递增型验证码” 的首位数字是 1 的概率 p C38 C410 4 15. 答案 4 15 15.设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点为 F，直线 4x3y200 过点 F 且与双曲线 C 在第二象限的交点为 P，O 为原点，|OP|OF|，则双曲线 C 的右 焦点的坐标为_，离心率为_.(本小题第一空 2 分，第二空 3 分) 解析 如图，直线 4x3y200 过点 F，F(5，0)，半焦距 c5，则右焦 点为 F2(5， 0).连接 PF2.设点 A 为 PF 的中点， 连
26、接 OA， 则 OAPF2.|OP|OF|， OAPF，PF2PF.由点到直线的距离公式可得|OA|20 5 4，|PF2|2|OA| 8.由勾股定理，得|FP|FF2|2|PF2|26.由双曲线的定义，得|PF2|PF|2a 2，a1，离心率 ec a5. 答案 (5，0) 5 16.(2020 厦门质检)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3， 点 N 是棱 A1B1的中 点，点 T 是棱 CC1上靠近点 C 的三等分点，动点 Q 在侧面 D1DAA1(包含边界)内 运动，且 QB平面 D1NT，则动点 Q 所形成的轨迹的长度为_. 解析 因为 QB平面 D1NT，所以点 Q 在
27、过点 B 且与平面 D1NT 平行的平面内， 如图，取 DC 的中点 E1，取 A1G1，则平面 BGE1平面 D1NT.延长 BE1，交 AD 的延长线于点 E，连接 EG，交 DD1于点 I.显然，平面 BGE平面 D1DAA1GI， 所以点 Q 的轨迹是线段 GI.DE1綊1 2AB，DE1 为EAB 的中位线，D 为 AE 的中点.又 DIAG，DI1 2AG1，GI （21） 232 10. 答案 10 限时练限时练(四四) 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 Ax|ylog2(x2)
28、，Bx|x29，则 A(RB)( ) A.2，3) B.(2，3) C.(3，) D.(2，) 解析 Ax|ylog2(x2)(2，)，Bx|x29(，33， )，RB(3，3)，则 A(RB)(2，3). 答案 B 2.设 x，yR，i 为虚数单位，且34i z 12i，则 zxyi 的共轭复数在复平面 内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 z34i 12i （34i）（12i） 5 11 5 2 5i，则z 11 5 2 5i，z 对应点 11 5 ，2 5 在 第一象限. 答案 A 3.(2020 福建漳州适应性测试)如图是某地区从 1 月 2
29、1 日至 2 月 24 日的新冠肺炎 每日新增确诊病例变化曲线图. 若该地区从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列 构成数列an，an的前 n 项和为 Sn，则下列说法中正确的是( ) A.数列an是递增数列 B.数列Sn是递增数列 C.数列an的最大项是 a11 D.数列Sn的最大项是 S11 解析 因为 1 月 28 日新增确诊人数小于 1 月 27 日新增确诊人数， 即 a7a8， 所以 an不是递增数列，所以 A 错误；因为 2 月 23 日新增确诊病例数为 0，所以 S33 S34，所以数列Sn不是递增数列，所以 B 错误；因为 1 月 31
30、 日新增病例数最 多，从 1 月 21 日算起，1 月 31 日是第 11 天，所以数列an的最大项是 a11，所以 C 正确；由 an0，知 Sn1Sn，故数列Sn的最大项是最后一项，所以 D 错误. 故选 C. 答案 C 4.大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村小学进行支 教，若每个村小学至少分配 1 名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为 ( ) A. 1 12 B.1 2 C.1 3 D.1 6 解析 大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村小学进 行支教，每个村小学至少分配 1 名大学生，基本事件总个数 nC24A3336，
31、小明 恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数 mA33C23A2212，所以小明恰好分配 到甲村小学的概率 pm n 12 36 1 3. 答案 C 5.(2020 荆门模拟)在二项式 x 1 2 1 2x 7 的展开式中，有理项的项数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 该二项展开式的通项为 Tr1Cr7x 7r 2 1 2x r Cr7 1 2 r x 73r 2 ，r0，1，2， 7.当 r1，3，5，7 时，Tr1为有理项，共有 4 项.故选 D. 答案 D 6.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACAA1 2，BC2，点 D 为 BC 的中点，则异面直线 AD 与
32、A1C 所成的角为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解析 以 A 为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所 示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，A1(0，0， 2)，B( 2，0，0)，C(0， 2， 0)， D 2 2 ， 2 2 ，0 ， AD 2 2 ， 2 2 ，0 ，A1C (0， 2， 2)， cosAD ，A1C AD A1C |AD |A1C | 1 2，AD ，A1C 3. 答案 B 7.已知 A，B 是圆 O：x2y24 上的两个动点，|AB |2，OC 1 3OA 2 3OB ，若 M 是线段 AB 的中点，则OC O
33、M 的值为( ) A. 3 B.2 3 C.2 D.3 解析 由OC 1 3OA 2 3OB ，又OM 1 2(OA OB )， 所以OC OM 1 3OA 2 3OB 1 2(OA OB ) 1 6(OA 22OB23OA OB )， 又OAB 为等边三角形，所以OA OB 22cos 60 2，OA 24，OB24，所以 OC OM 3. 答案 D 8.(2020 天津适应性测试)已知函数 f(x) x 22x，x0， 2x4 x ，x0. 若函数 F(x)f(x)|kx 1|有且只有 3 个零点，则实数 k 的取值范围是( ) A. 0， 9 16 B. 9 16， C. 0，1 2 D
34、. 1 16，0 0， 9 16 解析 当 k1 2时，|kx1| 1 2x1 1 2x1，x2， 11 2x，x20， 作出函数 y 1 20 x1 的图象，如图.由图可得函数 yf(x)的图象与 y 1 20 x1 的图象有且只有 3 个交点，此时 F(x)有且只有 3 个零点，排除 A.故选 D. 答案 D 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.已知 0cab0，则下列不等式成立的是( ) A.cacb B. a acabc D.logaclogb
35、c 解析 构造函数 ycx，因为 0cb0，根据 指数函数的单调性得 cacb，故 A 正确；由题意得ac a 1c a， bc b 1c b，因为 0cab0，所以 0c a c b，即 0 ac b b bc，故 B 错 误；由题意得 a b c a b，整理得 ba c0，logbc0， 又 0logca 1 logcb，则 logaclogbc，故 D 正确.故选 AD. 答案 AD 10.已知 f(x)Asin(x)B A0，0，| 2 的图象如图所示，则函数 f(x)的 对称中心可以为( ) A. 2 3 ，0 B. 6，1 C. 6，1 D. 3，1 解析 由图象知 A31 2
36、2，B31 2 1， 又 T2 7 12 12 ，所以 2. 由 2 12 22k(kZ)且|0)上任意一点，A，B 是双曲 线 C 上关于坐标原点对称的两点.设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2(k1k20)， 若|k1|k2|t 恒成立，且实数 t 的最大值为2 3 3 ，则下列说法正确的是( ) A.双曲线 C 的方程为x 2 3y 21 B.双曲线 C 的离心率为 2 C.函数 yloga(x1)(a0，a1)的图象恒过双曲线 C 的一个焦点 D.直线 2x3y0 与双曲线 C 有两个交点 解析 设 A(x1，y1)，P(x2，y2).由 A，B 是双曲线 C 上关于坐标原点对
37、称的两点， 得 B(x1， y1)， 则x 2 1 3 y21 m1， x22 3 y22 m1.两式相减， 得 x21x22 3 y 2 1y22 m ， 所以y 2 1y22 x21x22 m 3.又直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，所以 k1k2 y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 y21y22 x21x22 m 3.所以|k1|k2|2 |k1|k2|2 m 3，当且仅当|k1|k2|时取等号.又|k1|k2|t 恒成 立，且实数 t 的最大值为2 3 3 ，所以 2 m 3 2 3 3 ，解得 m1.因此双曲线 C 的方 程为x 2 3y 21，则 A 项正确.因为 a
38、 3，b1，所以 c a2b22，所以双曲 线 C 的离心率 ec a 2 3 2 3 3 ，则 B 项不正确.双曲线 C 的左、右焦点分别为 (2，0)，(2，0)，而当 x2 时，yloga(21)loga10，所以函数 yloga(x 1)(a0， a1)的图象恒过双曲线 C 的一个焦点(2， 0)， 则 C 项正确.由 2x3y0， x2 3y 21 消去 y， 得 x29， 此方程无实数解， 所以直线 2x3y0 与双曲线 C 没有交点， 则 D 项不正确.故选 AC. 答案 AC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确的答案填写在各小 题的横线上. 1
39、3.设an是公差不为零的等差数列， Sn为其前 n 项和.已知 S1， S2， S4成等比数列， 且 a35，则数列an的通项公式为_. 解析 设等差数列an的公差为 d(d0)， 则由 S1， S2， S4成等比数列， 得 S22S1S4， 即(2a33d)2(a32d) (4a32d).又 a35，所以(103d)2(52d)(202d)，解 得 d2.所以数列an的通项公式为 ana3(n3)d2n1. 答案 an2n1 14.已知点 E 在 y 轴上，点 F 是抛物线 y22px(p0)的焦点，直线 EF 与抛物线交 于 M，N 两点，若点 M 为线段 EF 的中点，且|NF|12，则
40、 p_. 解析 由题意知， 直线EF的斜率存在且不为0， 故设直线EF的方程为yk xp 2 ， 与抛物线方程 y22px 联立，得 k2x2p(k22)xp 2k2 4 0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x2p 2 4 . 又 F p 2，0 ，点 M 为线段 EF 的中点，得 x1 p 2 2 p 4. 由|NF|x2p 212，得 x212 p 2. 由 x1x2p 4 12p 2 p 2 4 ，得 p8 或 p0(舍去). 答案 8 15.(2020 长郡中学适应性考试)如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 点 M，N，E 分别为棱 AA1，A
41、B，AD 的中点，以 A 为圆心，1 为半径，分别在面 ABB1A1和面 ABCD 内作弧 MN 和 NE，并将两弧各五等分，分点依次为 M，P1， P2，P3，P4，N 以及 N，Q1，Q2，Q3，Q4，E.一只蚂蚁欲从点 P1出发，沿正方体 的表面爬行至点 Q4，则其爬行的最短距离为_. (参考数据：cos 9 0.987 7，cos 18 0.951 1，cos 27 0.891 0) 解析 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 点 M， N， E 分别为棱 AA1， AB， AD 的中点，以 A 为圆心，1 为半径，分别在平面 ABB1A1和平面 ABCD 内作弧 MN
42、 和 NE.将平面 ABCD 绕 AB 旋转至与平面 ABB1A1共面的位置，如图(1)，则 P1AQ4180 10 8144 ，所以 P1Q42sin 72 .将平面 ABCD 绕 AD 旋转至与平 面 ADD1A1共面的位置，将 ABB1A1绕 AA1旋转至与平面 ADD1A1共面的位置，如 图(2)， 则P1AQ490 5 290 126 ， 所以 P1Q42sin 63 .因为 sin 63 sin 72 ， 且由诱导公式可得 sin 63 cos 27 ， 所以最短距离为|P1Q4|2sin 63 20.891 0 1.782 0. 图(1) 图(2) 答案 1.782 0 16.已
43、知函数 f(x) x2，xa， x2，xa， 若函数 f(x)在 R 上是单调的，则实数 a 的取值范 围是_；若对任意的实数 x1a，总存在实数 x2a，使得 f(x1)f(x2)0， 则实数 a 的取值范围是_(本小题第一空 2 分，第二空 3 分). 解析 令 x2x2，得 x1 或 x2.作出函数 yf(x)的图象如图所示，若函数 f(x)在 R 上单调，只需 a2.若对任意的实数 x1a，总存在实数 x2a，使得 f(x1) f(x2)0，可得 x12x220，即x22x12，即有 a20，解得 a2. 答案 2，) (，2 限时练限时练(五五) 一、单项选择题：本大题共 8 小题，
44、每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数 z i 1i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.1 2 B.1 2 C.1 2i D.1 2i 解析 z i 1i i（1i） （1i）（1i） i 2 1 2，z 的虚部为 1 2. 答案 A 2.已知集合 A1， 0， 1， 2， 3， B x|x2 x10 ， 则 AB 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由x2 x10，得 x2 或 x1，则 Bx|x2，或 x1，AB2， 3，AB 中有 2 个元素. 答案 B 3.已知函数 f(x) sin x 6 ，x0， 2
45、x1，x0， 则 f(2)f(1)( ) A.6 3 2 B.6 3 2 C.7 2 D.5 2 解析 f(2)sin 2 6 1 2，f(1)2 113. f(2)f(1)31 2 7 2. 答案 C 4.在某项检测中，测量结果服从正态分布 N(2，1)，若 P(X1)，则 ( ) A.0 B.2 C.3 D.5 解析 依题意，正态曲线关于 x2 对称，又 P(X1)，因此 13， 2. 答案 B 5.(2020 天津适应性测试)如图， 长方体 ABCDA1B1C1D1的体积为 36， E 为棱 CC1 上的点，且 CE2EC1，则三棱锥 EBCD 的体积是( ) A.3 B.4 C.6 D
46、.12 解析 CE2EC1，VEBCD1 3 1 2 2 3VABCDA1B1C1D1 1 9364.故选 B. 答案 B 6.函数 f(x)x22ln|x|的图象大致是( ) 解析 f(x)x22ln|x|为偶函数，排除 D. 当 x0 时，f(x)x22ln x，f(x)2x2 x 2（x1）（x1） x ，所以当 0x1 时， f(x)1 时，f(x)0，f(x)为增函数，排除 B，C，故选 A. 答案 A 7.(2020 北京西城区二模)若向量 a 与 b 不共线， 则“a b|a|b|” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 设 a 与 b 的夹角是 .若 2|ab|a|b|， 则 4|ab|2(|a|b|)2， 即 8a b3|a|2 3|b|22|a|b|， 所以 cos 3 |a| |b| |b| |a| 2 8 .又|a| |b| |b| |a|2(当且仅当|a|b|时， 取等号)， 所以 cos 1 2.由 a b0，得 cos 0，所以“a b|a|b|”的充分不 必要条件.故选 A. 答案 A 8.若双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的中心为 O，过 C 的右顶点和右焦点分别作 垂直于
