1、第四章知识点第四章知识点 1 过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行如果两条直线都和第三条直线平行，这两条
2、直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补 15 定理定理 三角形两边的和大于第三边三角形两边的和大于第三边 16 推论推论 三角形两边的差小于第三边三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于 180 18 推论推论 1 直角三角形的两个锐角
3、互余直角三角形的两个锐角互余 19 推论推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等全等 24 推论推论(AAS) 有两角和
4、其中一角的对边对应相等的两个三角形全等有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集
5、合角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）即等边对等角） 31 推论推论 1 等腰三角形顶角的平分等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么
6、这两个角所对的边也相等（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论推论 2 有一个角等于有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线
7、上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交
8、，那么交点在对称轴上两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45 逆定理逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理勾股定理 直角三角形两直角边直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边的平方和、等于斜边 c 的平方，即的平方，即 a2+b2=c2 47 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a、b、c 有关系有关系 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形
9、 48 定理定理 四边形的内角和等于四边形的内角和等于 360 49 四边形的外角和等于四边形的外角和等于 360 50 多边形内角和定理多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（边形的内角的和等于（n-2）180 51 推论推论 任意多边的外角和等于任意多边的外角和等于 360 52 平行四边形性质定理平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等 54 推论推论 夹在两条平行线间的夹在两条平行线间的平行线段相等平行线段相等 55 平行四边形性质定理平行四边形性质定理 3 平行四边形的
10、对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直
11、角 初二数学的方法初二数学的方法 数学的定义、法则、公式、定理等一定要记熟，有些最好能背诵，朗朗上口。比如大家熟悉的数学的定义、法则、公式、定理等一定要记熟，有些最好能背诵，朗朗上口。比如大家熟悉的“整式乘法三个公式整式乘法三个公式”，我看在座的有，我看在座的有的背得出，的背得出， 有的就背不出。在这里，我向背不出的同学敲一敲警钟，如果背不出这三个公式，将会对今后的学习造成很大的麻烦，因为今后的学习将会大量有的就背不出。在这里，我向背不出的同学敲一敲警钟，如果背不出这三个公式，将会对今后的学习造成很大的麻烦，因为今后的学习将会大量 地用到这三个公式， 特别是初二即将学的因式分解， 其中相当重要
12、的三个因式分解公式就是由这三个乘法公式推出来的， 二者是相反方向的变形。地用到这三个公式， 特别是初二即将学的因式分解， 其中相当重要的三个因式分解公式就是由这三个乘法公式推出来的， 二者是相反方向的变形。 对数学的定义、法则、公式、定理等，理解了的要记住，暂时不理解的也要记住，在记忆的基础上、在应用它们解决问题时再加深理解。打对数学的定义、法则、公式、定理等，理解了的要记住，暂时不理解的也要记住，在记忆的基础上、在应用它们解决问题时再加深理解。打 一个比方，数学的定义、法则、公式、定理就像木匠手中的斧头、锯子、墨斗、刨子等，没有这些工具，木匠是打不出家具的；有了一个比方，数学的定义、法则、公
13、式、定理就像木匠手中的斧头、锯子、墨斗、刨子等，没有这些工具，木匠是打不出家具的；有了这些工具，这些工具， 再加上娴熟的手艺和智慧，就可以打出各式各样精美的家具。同样，记不住数学的定义、法则、公式、定理就很难解数学题。而记住了这些再配再加上娴熟的手艺和智慧，就可以打出各式各样精美的家具。同样，记不住数学的定义、法则、公式、定理就很难解数学题。而记住了这些再配 以一定的方法、技巧和敏捷的思维，就能在解数学题，甚至是解数学难题中得心应手。以一定的方法、技巧和敏捷的思维，就能在解数学题，甚至是解数学难题中得心应手。 二、几个重要的数学思想 1、“方程方程”的思想的思想 数学是研究事物的空间形式和数量
14、关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是“方程”。比如等速运动中，路程、速 度和时间三者之间就有一种等量关系，可以建立一个相关等式：速度*时间=路程，在这样的等式中，一般会有已知量，也有未知量，像这样含有未知量的等式就是“方 程”，而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解方程。我们在小学就已经接触过简易方程，而初一则比较系统地学习解一元一次方程，并总结出解一元一次方程 的五个步骤。如果学会并掌握了这五个步骤，任何一个一元一次方程都能顺利地解出来。初二、初三我们还将学习解一元二次方程、二元二次方程组、简单的三角方 程；到了高中我们还将学习指数方程、对数方程
15、、线性方程组、参数方程、极坐标方程等。解这些方程的思维几乎一致，都是通过一定的方法将它们转化成一元一 次方程或一元二次方程的形式，然后用大家熟悉的解一元一次方程的五个步骤或者解一元二次方程的求根公式加以解决。物理中的能量守恒，化学中的化学平衡式， 现实中的大量实际应用，都需要建立方程，通过解方程来求出结果。因此，同学们一定要将解一元一次方程和解一元二次方程学好，进而学好其它形式的方程。 所谓的“方程”思想就是对于数学问题，特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系，善于用“方程”的观点去构建有关的方程，进而用解方程的方法去 解决它。 2、“数形结合”的思想 大千世界，“数”与“形”无处
16、不在。任何事物，剥去它的质的方面，只剩下形状和大小这两个属性，就交给数学去研究了。初中数学的两个分支枣-代数和几何，代 数是研究“数”的，几何是研究“形”的。但是，研究代数要借助“形”，研究几何要借助“数”，“数形结合”是一种趋势，越学下去，“数”与“形”越密不可分，到了高中，就出 现了专门用代数方法去研究几何问题的一门课，叫做“解析几何”。在初三，建立平面直角坐标系后，研究函数的问题就离不开图象了。往往借助图象能使问题明朗化， 比较容易找到问题的关键所在，从而解决问题。在今后的数学学习中，要重视“数形结合”的思维训练，任何一道题，只要与“形”沾得上一点边，就应该根据题意画出草 图来分析一番，
17、这样做，不但直观，而且全面，整体性强，容易找出切入点，对解题大有益处。尝到甜头的人慢慢会养成一种“数形结合”的好习惯。 3、“对应”的思想 “对应”的思想由来已久，比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”，将两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“2”；随着学习的深 入，我们还将“对应”扩展到对应一种形式，对应一种关系，等等。比如我们在计算或化简中，将对应公式的左边,对应 a , y 对应 b ，再利用公式的右边直接得出原式 的结果 即。这就是运用“对应”的思想和方法来解题。初二、初三我们还将看到数轴上的点与实数之间的一一对应，直角坐标平面上的点与一对有序实数之间的一一对
18、 应，函数与其图象之间的对应。“对应”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用。 三、自学能力的培养是深化学习的必由之路 在学习新概念、新运算时，老师们总是通过已有知识自然而然过渡到新知识，水到渠成，亦即所谓“温故而知新”。因此说，数学是一门能自学的学科，自学成才 最典型的例子就是数学家华罗庚。 我们在课堂上听老师讲解， 不光是学习新知识， 更重要的是潜移默化老师的那种数学思维习惯， 逐渐地培养起自己对数学的一种悟性。 我去佛山一中开家长会时， 一中校长的一番话使我感触良多。他说：我是教物理的，学生物理学得好，不是我教出来的，而是他们自己悟出来的。当然，校长是谦虚的，但他说明了一个道理， 学
19、生不能被动地学习，而应主动地学习。一个班里几十个学生，同一个老师教，差异那么大，这就是学习主动性问题了。 自学能力越强，悟性就越高。随着年龄的增长，同学们的依赖性应不断减弱，而自学能力则应不断增强。因此，要养成预习的习惯。在老师讲新课前，能不能运 用自己所学过的已掌握的旧知识去预习新课，结合新课中的新规定去分析、理解新的学习内容。由于数学知识的无矛盾性，你所学过的数学知识永远都是有用的，都 是正确的，数学的进一步学习只是加深拓广而已。因此，以前的数学学得扎实，就为以后的进取奠定了基础，就不难自学新课。同时，在预习新课时，碰到什么自己 解决不了的问题，带着问题去听老师讲解新课，收获之大是不言而喻
20、的。有些同学为什么听老师讲新课时总有一种似懂非懂的感觉，或者是“一听就懂、一做就错”， 就是因为没有预习，没有带着问题学，没有将“要我学”真正变为“我要学”，力求把知识变为自己的。学来学去，知识还是别人的。检验数学学得好不好的标准就是会不 会解题。听懂并记忆有关的定义、法则、公式、定理，只是学好数学的必要条件，能独立解题、解对题才是学好数学的标志。 四、自信才能自强 在考试中，总是看见有些同学的试卷出现许多空白，即有好几题根本没有动手去做。当然，俗话说，艺高胆大，艺不高就胆不大。但是，做不出是一回事，没有 去做则是另一回事。稍为难一点的数学题都不是一眼就能看出它的解法和结果的。要去分析、探索、
21、比比画画、写写算算，经过迂回曲折的推理或演算，才显露出条 件和结论之间的某种联系，整个思路才会明朗清晰起来。你都没有动手去做，又怎么知道自己不会做呢？即使是老师，拿到一道难题，也不能立即答复你。也同样要 先分析、研究，找到正确的思路后才向你讲授。不敢去做稍为复杂一点的题（不一定是难题，有些题只不过是叙述多一点），是缺乏自信心的表现。在数学解题中， 自信心是相当重要的。要相信自己，只要不超出自己的知识范畴，不管哪道题，总是能够用自己所学过的知识把它解出来。要敢于去做题，要善于去做题。这就叫做“在 战略上藐视敌人，在战术上重视敌人”。 具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽
22、略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和 一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解 题过程也不尽相同。有些同学老师讲过的题会做，其它的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就干瞪眼，无从下手。当然，做题先从哪儿下手是一件棘手 的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中 选择与其它条件有关的、或与结论有关的、或与题目中的隐含条件有关的，进行推理或演算。
23、一般难题都有多种解法，条条大路通北京。要相信利用这道题的条件， 加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。 数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地对付那无限的题目。题目并 不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟 能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要；一是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。 解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃；
24、只有自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关， 迎来属于自己的春天。 2006 年初二上学期数学竞赛辅导试卷 一次函数 2006.10 一、选择题（每小题 5 分，共 30 分） 1（04 镇江中考）已知 abc0，并且 则直线 一定经过（ ） A第一、三象限 B、第二、三象限 C第三、四象限 D、第一、四象限 2（12 届江苏）无论 k 为何值，一次函数（2k1）x（k3）y（k11）=0 的图像必经过定点（ ） A（0，0） B（0，11） C（2，3） D无法确定 3（05 黑龙江竞赛题）已知正比例函数 y=（2m1）x 的图像上有两点 A（x1，y1），
25、B（x2，y2），当 x1x2 时，有 y1y2，那么 m 的取值范围是（ ） Am2 B m2 C m D m 4（广西）如右图是函数 y=x 的图像，设点 P 关于 x 轴的对称点 P在 y=x 上，如果 P 点的横坐标为 2.5，那么 P的纵坐标为（ ） A2.5 B 2.5 C 1 D 0.5 5（18 届江苏）在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点，设 k 为整数，当直线 y=x2 与 y= kx +k 的交点为整点时，k 的值可取（ ） A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个 6（04 黄冈中考）某班同学在探究弹簧的长度与外力的变化关系时，实验得到相应数
26、据如下表： 砝码的质量 x（克） 0 50 100 150 200 250 300 400 500 指针位置 y（厘米） 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5 则 y 与 x 的函数图像是（ ） A B C D 二、填空题（每小题 6 分，共 30 分） 7（05 黑龙江）一次函数 y=kx+2 图像与 x 轴交点到原点的距离为 4，那么 k 的值为_。 8（04 呼和浩特）一次函数 y= kx +b 中，y 随 x 的增大而减小，且 kb0，则这个函数的图像必定经过第_象限。 9（江苏省竞赛题）已知一次函数 y= kx + b， kb0，则这样的一次函数的图像必经过的公共象限有_
27、个，即第_象限。 10（04 无锡） 点 A 为直线 y=2x+2 上一点，点 A 到两坐标轴距离相等，则点 A 的坐标为_。 11（05 天津）若正比例函数 y=kx 与 y=2x 的图像关于 x 轴轴对称，则 k 的值等于_。 三、解答题（每小题 10 分，共 40 分） 12、 已知 A（2，3），B（3，1），P 点在 x 轴上，且PA+PB最小，求点 P 的坐标。 13、A 单位有 10 人和 B 单位 x 人组成一个旅游团去某地旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买 12 张全票，则其余半价优惠；乙旅行社的收费标准是：旅游团购团体 票，按原价的 70%优惠，这两家旅行社的每张票原价是
28、300 元。 （1）分别写出旅游团到甲、乙旅行社购票的总费用 y（元）与 x 的函数关系式。 （2）你认为选择哪家旅行社更优惠？ 14、（05 江西中考）如图，直线 L1、L2 相交于点 A，L1 与 x 轴的交点坐标为（1，0），L2 与 y 轴的交点坐标为（0，2），结合图像解答下列问题： （1）求出直线 L2 表示的一次函数的表达式； （2）当 x 为何值时，L1、L2 表示的两个一次函数的函数值都大于 0？ 15、（黄石市应用能力测试题）新中国成立以来，东西部经济发展大致经历了两个阶段:第一阶段是建国初期到 1980 年，这阶段东西部的经济差距逐步缩小；第二阶 段是 1980 年到 1998 年，这期间，由于各种原因，东西部的经济差距逐步拉大，仅就农民人均年收入的差距来看，下表可以说明： 年份 1978 年 1980 年 1998 年 东西部农民年收入差额（元） 2000 0 2700 如果 1980 年到 1998 年东西部农民人均年收入差额每年增大值都相同，试根据表中有关数据， （1）建立 1980 年至 1998 年东西部农民人均年收入差额 y（元）随年份变化的函数关系式； （2）请你推算出 1990 年东西部农民人均年收入差额。
