1、. 2011 年卓越联盟自主招生数学试题年卓越联盟自主招生数学试题 (1)向量a，b均为非零向量，(a-2b)a，(b-2a)b，则a，b的夹角为 (A) 6 ? (B) 3 ? (C) 2 3 ? (D) 5 6 ? (2)已知 sin2(?+?)=nsin2?，则 tan() tan() ? ? ? ? 22等于 (A) 1 1 n n ? ? (B) 1 n n? (C) 1 n n? (D) 1 1 n n ? ? (3)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1 所成角的正弦值为 (A) 15 3 (
2、B) 15 5 (C) 5 3 (D) 5 5 (4)i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则 2 22 1 zz zi ? ? ? 的最大值为 (A)2-1 (B)2-2 (C)2+1 (D)2+2 (5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，ABC 三个顶点都在抛物线上，且ABC 的重心为抛物线的焦点， 若BC边所在直线的方程为 4x+y-20=0，则抛物线方程为 (A)y 2=16x (B)y 2=8x (C)y 2=-16x (D)y 2=-8x (6)在三棱锥ABCA1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于 2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为 (A)3 (B)2 (C
3、) 3 2 (D) 2 2 (7)若关于x的方程 | 4 x x ? =kx 2有四个不同的实数解，则 k的取值范围为( ) (A)(0，1) (B)( 1 4 ，1) (C)( 1 4 ，+) (D)(1，+) (8)如图，ABC内接于O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交O于G、 F，交O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为 (A)5 (B)6 (C)7 (D)22 (9)数列an共有 11 项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，10满足这种条件的不同数列的个数为( ) (A)100 (B)120 (C)140 (D)16
4、0 (10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为 2 7 ? 的旋转，?表示坐标平面关于y轴的镜面反射用?表示 变换的复合，先做?，再做?，用? k表示连续 k次的变换，则? 2?3?4是( ) (A)? 4 (B)? 5 (C)? 2? (D)? 2 . (11)设数列an满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an ()设bn=an+1-an，证明：若ab，则bn是等比数列； ()若lim n? (a1+a2+an)=4，求a，b的值 (12)在ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC ()求k的取值范围； ()若SABC=1，问k为何值时，BC最短？ (13)
5、已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切 ()求椭圆的方程； ()过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值 (14)一袋中有a个白球和b个黑球从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑 球不再放回，另补一个白球放到袋中在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn ()求EX1； ()设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1=a+k)，k=0，1，b； ()证明：EXn+1=(1- 1 ab? )EXn+1 (15)()设f(x)=xlnx，求f(x)； ()设 00
6、，Sn为其前项之和，则 Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 2 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1，Z2，Z20，则复数 Z19951 ，Z19952 ， Z199520 所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在 100 个小伙子中，如果某人不亚于其他 99 人，就称他为棒小伙子，那么，100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 4 已知方程|x2n|
7、=k x (nN*)在区间(2n1，2n+1上有两个不相等的实根，则 k 的取值范围是( ) (A)k0 (B)01) 2.用数学归纳法证明： fn(x)= ? ? ? ? ?y nC 1 n1y n2+(1)iC i ni y n2i+(1)n 2，(i=1，2， n 2，n为偶数) y nC 1 n1y n2+(1)iC i ni+(1) n1 2C n1 2 n+1 2 y，(i=1，2，n1 2 ，n为奇数) 模拟题答案 模拟一 1. 解：99(y1)2=9(y+1)2，?8y220y+8=0，?y=2 或1 2，相应的，x=0，或 x= 3 . 此三点连成一个正三角形选 C 2. 解
8、：n=1536n(1 2) n(n1) 2 ，故 110作商比较： 又，12 9 =15363?(1 2) 66361，13 12=1536?( 1 2) 78660，2=sin(cos|x|)0，3=cos(1|x|)2 5. ：g(x)= x+ 1 x2= 1 2x+ 1 2x+ 1 x2?3 3 1 4= 3 2 3 2当且仅当1 2x= 1 x2即 x= 3 2时 g(x)取得最小值 p 2= 3 2，4qp 2 4 =3 2 3 2，?p=232，q=3 2 3 2+34 由于3210707，即O2HO390 ，即此圆上 还可再放下 2 个满足要求的点故选B 二 1. 解 由已知，得
9、1 20 由图象可得，x=2n+1 时，k x?1即 k? 1 2n+1故选 B 又解：y=(x2n)2与线段 y=k2x(2n10 且 (2n 1)2 (4n+k2)(2n 1)+4n20 ， (2n+1)2 (4n+k2)(2n+1)+4n2?0，2n10，logcos1sin10， 设 logsin1cos1=a，则得(sin1)a=cos11；logcos1sin1=b，则(cos1)b=sin1cos1，01，本题中取 n=1995)连结对边相应分点，把矩形 ABCD 分成 n2个小 矩形 AB 边上的分点共有 n+1 个，由于 n 为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两
10、个相邻分点异色， 则可得 A、B 异色)，不妨设相邻分点 E、F 同色考察 E、F 所在的小矩形的另两个顶点 E?、F?，若 E?、F? 异色，则EFE?或DFF?为三个顶点同色的小直角三角形若 E?、 F?同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，这样依 次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色 同样，BC 边上也存在两个相邻的顶点同色，设为 P、Q，则考察 PQ 所在的小矩形，同理，若 P、Q 所在小矩形的另一横边两个顶点异 色，则存在三顶点同色的小直角三角形否则，PQ 所在列的小矩形 的每条横边两个顶点都同色 A(75,25) B(25,75) y= 1 3x y=3
11、x y x 100 20 10020O A B C D E F G H M N P Q O 2 2 2 T l2 l1 P Q R S l E FH G M N QP E F B C D A . 现考察 EF 所在行与 PQ 所在列相交的矩形 GHNM，如上述，M、H 都与 N 同色，MNH 为顶点同色的直角 三角形 由 n=1995，故MNHABC，且相似比为 1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色 证明证明 2：首先证明：设 a 为任意正实数，存在距离为 2a 的同色两点任取一点 O(设为红色点)，以 O 为圆心， 2a 为半径作圆，若圆上有一个红点，则存在距离为 2a 的两个红点，若
12、圆上没有红 点， 则任一圆内接六边形 ABCDEF 的六个顶点均为蓝色， 但此六边形边长为 2a 故 存在距离为 2a 的两个蓝色点 下面证明：存在边长为 a， 3a，2a 的直角三角形，其三个顶点同色如上证，存 在距离为 2a 的同色两点 A、B(设为红点)，以 AB 为直径作圆，并取圆内接六边形 ACDBEF，若 C、D、E、F 中有任一点为红色，则存在满足要求的红色三角形若 C、D、E、F 为蓝色，则存在满足要求的蓝色三角形 下面再证明本题：由上证知，存在边长为 a， 3a，2a 及 1995a，1995 3a，1995?2a 的两个同色三角形，满 足要求 证明证明 3：以任一点 O 为
13、圆心，a 及 1995a 为半径作两个同心圆，在小圆上任取 9 点，必有 5 点同色，设为 A、 B、C、D、E，作射线 OA、OB、OC、OD、OE，交大圆于 A?，B?，C?，D?，E?，则此五点中必存在三点同 色，设为 A?、B?、C?则?ABC 与?A?B?C?为满足要求的三角形 模拟三 一 1. 解：y=(n+1)x1)(nx1)， |AnBn|=1 n 1 n+1，于是|A 1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|=1992 1993，选 B 2. 解：(x? 1y 2)=0 表示 y轴右边的半圆，(y+ 1x 2)=0 表示 x轴下方的半圆，故选D 3. 解： 4 i
14、=1 Si4S，故 4 i=1 Si4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时， 4 i=1 Si接近 2S，故选A 4. 解：x 2=4x4根为 x=2 C=2A，?B=1803A，sinB=2sinA?sin3A=2sinA， ?34sin 2A=2A=30，C=60，B=90选 B 5. 解：2z 1 z2 =cos 3 isin 3 |z2|=8，z1、z2的夹角=60S=1 248 3 2 =8 3选A 6. 解：f(20x)=f10+(10x)=f10(10x)=f(x)=f(20+x) f(40+x)=f20+(20+x)=f(20+x)=f(x) 是周期函数； f(x)=f(4
15、0x)=f(20+(20x)=f(20(20x)=f(x) 是奇函数选C 二 1. 解：16y 2=15xz，y=2xz x+z，?164x 2z2=15xz(x+z)2由 xz0，得(x+z) 2 xz =64 15，? x z+ z x =34 15 2. 解：7x=5x+2k，或 7x=5x+2k，(kZ)?x=k，x=1 6k (kZ)，共有 7 解 3. 解：正方体共有 8 个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可 选出 4 条，又可以选出 4 条两两异面的线(如图)，故所求k的最大值=4 4. 解：cosOZ1Z3=3 2+5272 2?3?5 =1 2即OZ 1Z3
16、=120， arg(z 2 z1)= 3 或5 3 FE D C B A A B C D D C B A Z2 Z3 Z1 x O y . arg(z 2 z1) 3= 5. 解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4， 相减，得anan+1an+2(a4an)=an+4an，由anan+1an+2?1，得an+4=an 又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4 a1+a2+?+a100=25(1+1+2+4)=200 6. 解：
17、f(x)= (x 22)2+(x3)2 (x21)2+x2，表示点(x，x2)与点 A(3， 2)的距离及B(0，1)距离差的最大值由于此二点在抛物线两侧，故过此二点 的直线必与抛物线交于两点 对于抛物线上任意一点， 到此二点距离之差大于 |AB|=10即所求最小值为 10 三 证明： 1 k= 2 k+k 2 k+1+k=2( k+1k) 于是得 2 80 k=1 (k+1k) 80 k=1 1 k1+2 80 k=1 (kk1) 即 16 80 k=1 1 k1+2( 801)1+2(91)=17 四 解：过m作平面l，作AP于P，AP与l确定平面，=l?，l?m=K 作BQ，CR，垂足为Q、R，则Q、Rl?，且AP=BQ=CR=l与m的 距离d 连PD、QE、RF，则由三垂线定理之逆，知PD、QE、RF都m PD=15d 2，QE= 49 4 d 2，RF= 10d 2 当D、E、F在K同侧时 2QE=PD+RF， ? 494d 2= 15d 2+ 10d2解之得 d=6 当D、E、F不全在K同侧时 2QE=PDRF，? 494d 2= 1
