1、. 3.1 3.1 相似形相似形 3.1.13.1.1平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长 度、长度比的问题。在数学学习与研究中，我们发现 平行线常能产生一些重要的长度比。 在一张方格纸上，我们作平行线 123 , ,l l l（如图 3.1-1 ）， 直 线a交 123 , ,l l l于 点, ,A B C， 2,3ABBC?， 另 作 直 线b交 123 , ,l l l于 点 , ,ABC，不难发现 2 . 3 A BAB B CBC ? 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
2、。 如图 3.1-2， 123 /lll，有 ABDE BCEF =。当然，也可以得出 ABDE ACDF ?。在运用该定理 解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例。 例例1 如图 3.1-2， 123 /lll，且2,3,4,ABBCDF=求 ,DE EF。 解解: 3 2 ,/l/ll 321 ? EF DE BC AB ?, ? 28312 ,. 235235 DEDFEFDF? ? 例例 2 在ABC?中，,D E为边,AB AC上的点，/DEBC， 求证： ADAEDE ABACBC ?。 证明 （1） /,DEBCADEABCAEDACB? ADE
3、?ABC?，. ADAEDE ABACBC ? 证明（2）如图 3.1-3，过A作直线/lBC， 图 3.1-1 图 3.1-2 图 3.1-3 . /,lDEBC ADAE ABAC ?。 过E作/EFAB交AB于D，得BDEF,因而.DEBF? /,. AEBFDE EFAB ACBCBC ? . ADAEDE ABACBC ? 从上例可以得出如下结论： 平行于三角形的一边的直线截其它两边 （或两边的延长线） ， 所得的对应线段成比例。平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例。 例例 3 已知ABC?，D在AC上，:2:1AD DC ?
4、，能否在AB上找到一点E，使得线 段EC的中点在BD上。 解设能找到，如图 3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作/EGAC交BD 于G。 /,EGAC EFFC?，CDFEGF?，且EGDC?， BADBEGADEGADEG?, 2 1 , 2 1 /，且 1 , 2 BEEG BAAD ? E?为AB的中点。 可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上。 我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾 则不存在。 例 4 在ABC?中，AD为BAC?的平分线，求证： ABBD ACDC =。 证明 过 C 作 CE/AD，交 BA 延长线于 E，
5、 DC BD AE BA CEAD?,/?, ?AD 平分CADBADBAC?, 由/ADCE知,ACEDACEBAD?, EACE?,AEAC ? ? A BB D A CD C = 例 4 的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的 两边之比） 。 图 3.1-4 图 3.1-5 . 图 3.1-6 练习练习 1 1如图 3.1-6， 123 /lll，下列比例式正确的是（ ） A ADCE DFBC = B ADBC BEAF = C CEAD DFBC = D. AFBE DFCE = 2如图 3.1-7，/,/,DEBC EFAB5,ADcm=3,2,DB
6、cm FCcm=求BF。 3 如图， 在ABC?中， AD 是角 BAC 的平分线， AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长。 4如图，在ABC?中，BAC?的外角平分线AD交BC的延长线于点D， 求证： ABBD ACDC =。 图 3.1-7 图 3.1-8 . 5如图，在ABC?的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点，使 BD=CE，DE 延长线交 BC 的延长线于 F。求证： DFAC EFAB =。 3.13.12 2相似形相似形 我们学过三角形相似的判定方法， 想一想， 有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪 些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例 5 如图 3
7、.1-11，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，CDBBAC?。 求证：CBDDAC?。 证明:在OAB?与ODC?中，DOCAOBCDOBAO?, OAB?ODC?， OC OB OD OA ?，即 OAOD OBOC =。 又OAD?与OBC?中，BOCAOD?， AOD?BOC?， ?CBDDAC?。 例 6 如图 3.1-12,在ABCR ?t中，BAC?为直角，DBCAD于?。 求证： （1）BCBDAB? 2 ，BCCDAC? 2 ； （2）CDBDAD? 2 证明（1）中，和在BDARBACR?tt BBCABADB? ? ,90,BAC?BDA? BA BC BD BA ?
8、,即BCBDAB? 2 。 同理可证得BCCDAC? 2 。 （2） 中，和在CADRABDR?ttCADBADCDAADB? ? 90,90, 图 3.1-11 图3.1-12 . ABDR ? tCADR ?t, AD DC BD AD ?,即DCBDAD? 2 。 我们把这个例题的结论称为射影定理射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用。 例 7 在ABC?中 ，,DBCAD于?,EABDE于?,FACDF于?求 证 ： AC AF AB AE ?。 证明:? ,DBCAD于?ADB?为直角三角形， 又,EABDE于? 由射影定理，知ABAEAD? 2 。 同理可得ACAFAD? 2 。
9、? AC AF AB AE ? 例 8 如图 3.1-14，在ABC?中，D为边BC的中点，E为边AC上的任意一点，BE交 AD于点O。某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： （1） 当 11 211 AE AC = + 时，有 22 321 AO AD = + 。 （如图 3.1-14a） （2） 当 11 312 AE AC = + 时，有 22 422 AO AD = + 。 （如图 3.1-14b） （3） 当 11 413 AE AC = + 时，有 22 523 AO AD = + 。 （如图 3.1-14c） 在图 3.1-14d 中，当 1 1 AE ACn = + 时，参
10、照上述研究结论，请你猜想用 n 表示 AO AD 的一 般结论，并给出证明（其中 n 为正整数） 。 解：依题意可以猜想：当 1 1 AE ACn = + 时，有 2 2 AO ADn = + 成立。 证明 过点 D 作 DF/BE 交 AC 于点 F，?D 是 BC 的中点，?F 是 EC 的中点， 图3.1-13 图3.1-14 . 由 1 1 AE ACn = + 可知 1AE ECn =， n2 2 n 2 ? ? AF AE EF AE ，。 n2 2 ? ? AF AE AD AO 。 想一想，图 3.1-14d 中，若 1AO ADn =，则? AE AC = （参考答案： 1-
11、n2 1 ） 。 本题中采用了从特殊到一般的思维方法。 我们常从一些具体的问题中发现一些规律， 进 而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 。数学的发展史就是不断探索的历史。 练习练习 2 1.D 是ABC?的边 AB 上的一点，过 D 点作 DE/BC 交 AC 于 E。已知 AD：DB=2：3， 则 BCEDADE SS 四边形 : ? 等于（ ） A2:3 B4:9 C4:5 D4:21 2.若一个梯形的中位线长为 15， 一条对角线把中位线分成两条线段。 这两条线段的比是 3:2，则梯形的上、下底长分别是_。 3.已知：ABC?的三边长分别是 3，4，5，与其相似的 , CBA?的最大
12、边长是 15，求: ABC S?。 4已知：如图 3.1-16，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。(1).请判断四边形 EFGH 是什么四边形，试说明理由；(2).若四边形 ABCD 是平行 四边形，对角线 AC、BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？ 图3.1-16 . 5如图 3.1-17,点 C、D 在线段 AB 上，PCD?是等边三角形，(1).当 AC、CD、DB 满 足怎样的关系时，ACP?PDB?？(2).当ACP?PDB?时，求APB?的度数。 习题习题 3.1 A 组组 1.如图 3.1-18，ABC?中，AD=DF=
13、FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ） ADE=1，BC=7 BDE=2，BC=6 CDE=3，BC=5 DDE=2，BC=8 2.如图 3.1-19，BD、CE 是ABC?的中线，P、Q 分别是 BD、CE 的中点，则:PQ BC等于 （ ） A1：3 B1：4 C1：5 D1：6 3.如图 3.1-20，ABCD 中，E 是 AB 延长线上一点，DE 交 BC 于点 F，已知 BE：AB=2：3， 4? ?BEF S，求 CDF S?。 图3.1-17 图3.1-18 图3.1-19 图3.1-20 . 图3.1-22 图3.1-23 图3.1-24 图3.1-25 4.如图 3.1-
14、21，在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，ACBE ?交 AC 于 F，过 F 作 FG/AB 交 AE 于 G，求证：FCAFAG? 2 。 B 组组 1.如图 3.1-22， 已知ABC?中， AE： EB=1： 3， BD： DC=2： 1， AD 与 CE 相交于 F， 则 E FA F F CF D + 的值为（ ） A 1 2 B1 C 3 2 D2 2.如图 3.1-23，已知ABC?周长为 1，连结ABC?三边的中点构成第二个三角形，再连结第 二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第 2003 个三角形周长为（ ） A 1 2002 B 1 2003 C 200
15、2 1 2 D 2003 1 2 3.如图 3.1-24，已知 M 为ABCD 的边 AB 的中点，CM 交 BD 于点 E，则图中阴影部分的面 积与ABCD 面积的比是（ ） A 1 3 B 1 4 C 1 6 D 5 12 4.如图 3.1-25，梯形 ABCD 中，AD/BC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF/AD。 (1)求证：OE=OF；(2)求 OEOE ADBC +的值；(3)求证： 112 ADBCEF +=。 图3.1-21 . C 组组 1.如图 3.1-26，ABC?中，P 是边 AB 上一点，连结 CP。 要使ACP?ABC?，还要补充的一个条件是_。 若ACP
16、?ABC?，且:2:1AP PB=，则:BC PC=_。 2.如图 3.1-27，点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且DAEBDCBAC?。 求证:AECDADBE?；根据图形的特点，猜想 BC DE 可能等于那两条线段的比 （只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想。 3.如图 3.1-28，在Rt ABCV中，AB=AC， ? ?90A，点 D 为 BC 上任一点，ABDF ?于 F，ACDE ?于 E，M 为 BC 的中点，试判断MEF?是什么形状的三角形，并证明你的 结论。 图3.1-26 图3.1-27 图 3.1-28 . 4.如图 a，BDCDBDAB
17、?,垂足分别为 B、D，AD 和 BC 相交于 E，BDEF ?于 F， 我 们 可 以 证 明 111 ABCDEF +=成 立 。 若 将 a 中 的 垂 直 改 为 斜 交 ， 如 图 b ， /,ABCD ADBC、相交于 E，EF/AB 交 BD 于 F，则： 111 ABCDEF +=还成立吗？ 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；请找出 EBDBCDABD SSS ? 和,之间的 关系，并给出证明。 A B C E D F b . 答案：答案： 练习 1 1D 2设 510 , 283 DEADx BFxx BCABx ? ? ，即 10 3 BF ?。 3 535 ,
18、. 49 ABBD BDcm ACDC ? 4 作/CFAB交AD于F， 则 A BB D C FD C ?， 又A F CF A EF A C? ? ?得 ,ACCF? ABBD ACDC ?。 5作/EGAB交BC于G， AC CE AB EG CABCEG?，?即 , ACCEDB ABEGEG ? DFAC EFAB ?。 练习 2 1D 212，18 3 2 115 3 46,()654. 25 ABCA B C SS? ? 4 （1）因为 1 /, 2 EHBD FG所以EFGH是平行四边形； （2）当ACBD?时，EFGH为 菱形；当,ACBD ACBD?时，EFGH为正方形。 5 （1）当 2 CDAC BD?时，ACP?PDB?； （2）120oAPB?。 习题 3.1 A 组 1B 2.B 3.9? ?CDF S。 4BF为直角三角形ABC斜边上的高， 2 BFAF FC?，又可证 ,AGBF? 2 AGAF FC?。 B 组 1C 2.C 3.A 4（1）
