1、. 3 33 3 圆圆 3 33 31 1 直线与圆，圆与圆的位置关系直线与圆，圆与圆的位置关系 设有直线l和圆心为O且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？ 观察图 3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离dr时，直线 和圆相离相离，如圆O与直线 1 l；当圆心到直线的距离dr=时，直线和圆相切相切，如圆O与直线 2 l；当圆心到直线的距离dr时，直线和圆相交相交，如圆O与直线 3 l。 在直线与圆相交时，设两个交点分别为 A、B。若直线经过圆心，则 AB 为直径；若直 线不经过圆心，如图 3.3-2，连结圆心O和弦AB的中点M的线段OM垂直于这条弦AB。 且在R
2、t OMAV中，OA为圆的半径r，OM为圆心到直线的距离d，MA为弦长AB的一 半，根据勾股定理，有 222 () 2 AB rd-=。 当直线与圆相切时，如图 3.3-3，,PA PB为圆O的切线，可得PAPB?，.OAPA?， 且在POARt?中， 222 POPAOA?。 图 3.3-2 图 3.3-3 图 3.3-4 图 3.3-5 图 3.3-1 . 如图 3.3-4，PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线，我们可以证得PTBPAT?， 因而 2 PTPA PB?。 例例 1 如图 3.3-5，若O 的半径 OB=5cm，弦 AB=6cm，D 是弧 AB 的中点，求弦 BD 的 长度。
3、 解:连结 OD，交 AB 于点 E。 ?D 是弧 AB 的中点,O 是圆心，。cm3 2 1 ,?ABAEBEABOD 在BOERt?中，OB=5cm,BE=3cm, 22 4.OEOBBEcm? 5,1.ODcmDEcm?在DEBRt?中，BE=3cm,DE=1cm,10.BDcm? 例例 2 若圆的两条平行弦的长度分别为 6 和64，且这两条线的距离为 3。求该圆的半 径。 解:设圆的半径为r，分两种情况（如图 3.3-6） ： 若O在两条平行线的外侧， 如图（1） ，AB=6，CD=64，则由3OMON-=， 得 22 9243rr-=，解得5r =。 （2）若O在两条平行线的内侧（含
4、线上） ，AB=6，CD=64， 则由3OMON+=，得39r24r 22 ?，无解。综上可得，圆的半径为 5。 设圆 1 O与圆 2 O半径分别为, ()R r Rr?，它们可能有哪几种位置关系？ 图 3.3-6 图 3.3-7 图 3.3-8 . 观察图 3.3-7，两圆的圆心距为 12 OO，不难发现：当 12 OORr?时，两圆相内切，如 图（1） ；当 12 OORr?时，两圆相外切，如图（2） ；当 12 OORr?时，两圆相内含，如 图（3） ；当 12 RrOORr? ?时，两圆相交，如图（4） ；当 12 OORr?时，两圆相外 切，如图（5）. 例例 3 设圆 1 O与圆
5、2 O的半径分别为 3 和 2， 12 4OO ?，,A B为两圆的交点，试求两圆 的公共弦AB的长度。 解:连AB交 12 OO于C，则 12 OOAB?，且C为AB的中点， 设ACx?，则 22 12 9,4,OCxO Cx? 22 12 944OOxx?， 解得 3 15 8 x ?。 故弦AB的长为 3 15 2 4 x ?。 练习练习 1 1.如图 3.3-9，O 的半径为 17cm，弦 AB=30cm，AB 所对的劣弧和优弧的中点 分别为 D、C，求弦 AC 和 BD 的长。 图 3.3-9 . 2.已知四边形 ABCD 是O 的内接梯形，AB/CD，AB=8cm,CD=6cm,
6、O 的半径等于 5cm，求梯形 ABCD 的面积。 3.如图3.3-10， O的直径AB和弦CD相交于点E，1,5,60 , o AEcm EBcmDEB? 求 CD 长。 4若两圆的半径分别为 3 和 8，圆心距为 13，试求两圆的公切线的长度。 图 3.3-10 . 3 33 32 2 点的轨迹点的轨迹 在几何中， 点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形， 它是符合某个条件的所有点 组成的。例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到 一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点 都在这个圆上。这个圆就叫做到定点的距离等于定
7、长r的点的轨迹。 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形， 叫做符合这个条件的点的轨迹轨迹。 这里含有 两层意思： （1） 图形是由符合条件的那些点组成的， 就是说， 图形上的任何一点都满足条件； （2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上。 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹。 从上面对圆的讨论，可以得出： （1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆。到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆。 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段 两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂
8、直平分线上。所以有下面的轨迹： （2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： （3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 例 3O 过两个已知点A、B，圆心O的轨迹是什么？画出它的图形。 分析：如图 3.3-11，如果以点O为圆心的圆经过点A、B， 那么OAOB=； 反过来，如果一个点O到A、B两点距离相等，即OAOB=， 那么以O为圆心，OA 为半径的圆一定经过A、B两点。
9、这就是说，过A、B点的圆的圆心的轨迹，就是到A、B两点距离相等的点的轨迹， 即和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹。 答：经过A、B两点的圆的圆心 O 的轨迹是线段AB的垂直平分线。 练习练习 2 1.画图说明满足下列条件的点的轨迹： 到定点A的距离等于3cm的点的轨迹； 到直线l的距离等于2cm的点的轨迹； 图 3.3-11 . 已知直线/ABCD，到AB、CD的距离相等的点的轨迹。 2.画图说明，到直线l的距离等于定长d的点的轨迹。 习题习题 3.3 A 组组 1.已知弓形弦长为 4，弓形高为 1，则弓形所在圆的半径为（ ） A3 B 5 2 C3 D4 2.在半径等于 4 的圆中，垂直平
10、分半径的弦长为（ ） A4 3 B3 3 C2 3 D3 3.AB 为O 的直径，弦CDAB?，E 为垂足，若 BE=6，AE=4，则 CD 等于（ ） . 图 3.3-12 A2 21 B4 6 C8 2 D2 6 4.如图 3.3-12，在O 中，E 是弦 AB 延长线上的一点，已知 OB=10cm,OE=12cm， 30 , o OEB?求 AB。 B 组组 1.如图 3.3-13，已知在ABCR ?t中，90 ,5,12, o CACcm BCcm?以 C 为圆 心，CA 为半径的圆交斜边于 D，求 AD。 2.如图 3.3-14，在直径为 100mm 的半圆铁片上切去一块高为 20m
11、m 的弓形铁片，求弓 形的弦 AB 的长。 图 3.3-13 图 3.3-14 . 3.如图 3.3-15，ABC?内接于O，D 为弧 BC 的中点，AEBC?于 E。 求证：AD 平分OAE?。 4.如图 3.3-16，90oAOB?，C、D 是弧 AB 的三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、 F，求证：AE=BF=CD。 5.已知线段4ABcm=。画出到点A的距离等于3cm的点的轨迹，再画出到点B的距 离等于2cm的点的轨迹，指出到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的点，这 样的点有几个？ 图 3.3-16 图 3.3-15 . 答案：答案： 练习 1 1.取 AB
12、中点 M，连 CM，MD，则,CMAB DMAB?，且 C，O，M，D 共线， 81517 22 ?OM, 25?CM,9?DM,5 34,3 34ACcm BDcm?。 2 O 到 AB，CD 的距离分别为 3cm,4cm， 梯形的高为 1cm 或 7cm， 梯形的面积为 7 或 49 2 cm。 3. 半径为 3cm，OE=2cm。,OF=3,2 6CDcm?。 4.外公切线长为 12，内公切线长为4 3。 练习 2 1.(1)以 A 为圆心，3cm 为半径的圆； （2）与l平行，且与l距离为 2cm 的两条平行线； （3） 与 AB 平行，且与 AB,CD 距离相等的一条直线。 2.两条平行直线，图略。 习题 3.3 A 组 1B 2.A 3.B 4.AB=16cm。 B 组 1.作CMAD?于 M，AB=13cm, 13 60 ?CM,cm 13 50 ?AD。 2.AB=80cm。 3.先证BAOEAC? ?，再证OADDAE? ?。 4先证明75 , o AECACE?再证 AE=BF=AC=CD。 5有 2 个，图略。
