1、. 2.常见不等式的解法常见不等式的解法 2.1 一元二次一元二次不等式的解法不等式的解法 初中我们学过二次方程? 2 00axbxca?，二次函数? 2 0yaxbxc a?，本节课 我们解一元二次不等式? ? ? 2 00axbxca? ?， 三者之间有什么联系吗？先看一个简单的 问题 问题问题 1： 请求出一元二次方程 2 230?xx的实数根， 并作出二次函数 2 23?yxx的 图象根据你的所得，你能求出不等式 2 230?xx的解集吗？ 2 230?xx的解集呢？ 这体现了什么数学思想？ 注：通过一个具体的例子，让学生初步感受一元二次方程、二次函数、一元二次不等式 三者之间的联系方
2、程的根在图象上如何体现？不等式的解集在图象上如何展现？老师 在授课时要点透这两个问题该例体现了数形结合的思想，也展示了函数、方程与不等式三 位一体的思想 问题问题 2：如何求解不等式 2 230?xx？ 注： 有些学生可能会仿照上面的思路画图求解， 有些学生可能会立刻发现该不等式可化 为 2 230?xx（乘以1?，不等式变号） ，前面已经解过了！这体现了转化与化归的数学思 想，也为后面求解一元二次不等式 2 0?axbxc时限定0?a埋下伏笔 问题问题 3：体会以上两个问题中所渗透的方法和思想，你能否总结出一般的一元二次不等 式? ? ? 2 00axbxca? ?该如何求解吗？ 问：首先0
3、?a，那我们就要研究0?a和0?a两种情况了？ 答：只用研究一种就可以了！ 问：为什么？ 答：像前面一样，0?a可以转化转化为0?a（乘以1?，不等式变号） 问：很好！那我们就只研究0?a吧！0a ?时不等式怎么解？ 答：先求方程 2 0?axbxc的根 12 ,x x，解集是 1 ?xx或 2 ?xx 追问：方程一定有根吗？ 学生恍然大悟：不一定！所以要分类讨论分类讨论！ 注： “解集”一词初中可能未曾接触，这里向学生解释一下即可在这样的一问一答， 相互启发中，那份神秘的解集表才千呼万唤始出来，此时她的出现自然而然，顺理成章可 以带领学生一起填表，也可以让学生自己独立填表 . 约定 0a ?
4、 二次方程 2 0axbxc? 的根 二次函数 2 yaxbxc? 的图象 二次不等式 2 0axbxc? 的解集 二次不等式 2 0axbxc? ? 的解集 0? ? 0? ? 0? ? 这个表格虽然简单，却将四大数学思想函数与方程、转化与化归、数形结合、分类 讨论融为一体，正可谓表格虽小，思想俱全所以，一元二次不等式是渗透数学思想的绝好 素材，老师们一定要好好加工、设计、利用 课堂例题课堂例题 例例 1 解下列不等式 （1） 2 20xx?； （2） 2 340xx?； （3） 2 4410xx? ?； （4） 2 250xx?； （5） 2 42025xx? 解解： （1）? 2 201
5、201xxxxx? ? ?或2x ?； 注 1：这里向学生介绍等价符号“?” ，数学解题就是在不断转化，而且往往是等价转 化，等价符号“?”的使用可使过程的书写更加流畅； 注 2：通过此题向学生交代解不等式的过程书写规范前面的讲解我们做得很细致 要解一个不等式，得先解相应的方程，画二次函数图象，看图写答案但实际解题时却不必 如此，就像上面那样写即可； 注 3：等学过集合（区间）后，最后还要把不等式的范围写成集合（区间）的形式 （2）? 22 34034014014xxxxxxx? ? ?； （3）? 2 2 1 4410210 2 xxxx? ?； （4）? 2 2 250140xxxx?是任
6、意实数； （5） 22 42025420250xxxx? 法 1：解方程 2 420250xx?得 55 2 2 x ? ?，结合二次函数 2 42025yxx?的 图象，知0y ?的解集是 55 255 2 22 x ? ?； . 法 2： 2 22 255505 255 2 420255 424222 xxxxxx ? ? ? ? 55 255 2 22 x ? ? 问：这几个解不等式的例子中，有时因式分解，有时配方，有时又要解方程的根在一 道具体的题目中，我们该如何选择呢？ 答：其实没有本质区别，因式分解优先先判断能否因式分解，对于不能（在整数范围 内）分解因式的我们就要解（无理）根了，
7、可以用求根公式，也可以直接配方 例例 2 若关于x的不等式 2 0axbxc?的解集为23x?，求解下列不等式： （1） 2 0axbxc?； （2） 2 0cxbxa?； （3） 2 0axbxc?； （4） 2 0cxbxa? 解解：由题设条件知0a ?，且方程 2 0axbxc?的根为 2 和 3，由韦达定理得到 23 2 3 b a c a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，则5ba? ?，6ca? （1） 2 0axbxc?即 2 560axaxa? 2 560230xxxx? ? 32x? ? ? ?； （2） 2 0cxbxa?即 2 650axaxa? 2 651 021
8、310xxxx? ? 11 32 x?； （3） 2 0axbxc?即 2 560axaxa? 2 560160xxxx? ? 16x? ? ?； （4） 2 0cxbxa?即 2 650axaxa? 2 651 01 610xxxx? ? 1 6 x? ?或1x ? 另解另解： （1） 2 0axbxc?即? 2 0axbxc?，此处的x?相当于原不等式中 的x，所以23x? ? ?，32x? ? ?； （2） 由题设条件知不等式 2 0axbxc?的解集为23x? 2 00cxbxax? 即 2 11 0cba xx ? ? ? ? ，此处的 1 x 相当于不等式中的x，所以 1 23 x
9、 ?， 11 32 x?； . （3）笔者暂未发现另解，恳请读者指教； （4）由（3）知不等式 2 0axbxc? ?的解集为16x? ? 2 0cxbxa?即 2 11 0cba xx ? ? ? ? 2 11 0abc xx ? ? ? ? ? ，此处的 1 x ?相当于不等式中的x， 所以 1 16 x ? ? ?， 1 6 x ? ?或1x ? 注 1： “另解”用代换的观点深度挖掘不等式间的内在联系，有一定的技巧性，而且涉 及简单分式不等式的求解，视学生的情况决定是否介绍； 注 2：另解也可结合图象的变换来看，帮助理解； 注 3：笔者并未挖掘出（3）中不等式与原不等式的联系，恳求读者指教 课后作业课后作业 1.解下列不等式： （1） 2 5760xx?； （2） 2 44150xx?； （3） 2 230xx?； （4）?90xx?； （5） 2 940x ?； （6）?1234xxxx?； （7） 2 362xx? 2.已知不等式 2 320axx?的解集为1x ?或xb?，求实数 a，b 的值
